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1、1.了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究 函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项 式函数一般不超过三次),导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例,2了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件； 会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函 数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次) 3会利用导数解决某些实际问题,理 要 点 一、函数的单调性与导数 1函数f(x)在某个区间(a，b)内的单调性与其导数的正负 有如下关系： (1)若 ，则f(x)在这个区间内单调递增； (2)若 ，则f(x)在这个区间内单调递减； (3)若 ，则f(x)在这
2、个区间内是常数,f(x)0,f(x)0,f(x)0,2利用导数判断函数单调性的一般步骤 (1)求 ； (2)在定义域内解不等式 ； (3)根据结果确定f(x)的单调区间,f(x),f(x)0或f(x)0,二、函数的极值与导数 1函数的极小值 函数yf(x)在点xa的函数值f(a)比它在xa附近其它点的函数值都小，f(a)0，而且在点xa附近的左侧 ，右侧 ，则点a叫做函数yf(x)的极小值点，f(a)叫做函数yf(x)的极小值,f(x)0,f(x)0,2函数的极大值 函数yf(x)在点xb的函数值f(b)比它在点xb附近的其他点的函数值都大，f(b)0，而且在点xb附近的左侧 ，右侧 ，则点b
3、叫做函数yf(x)的极大值点，f(b)叫做函数yf(x)的极大值 极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值,f(x)0,f(x)0,三、函数的最值 1如果在区间a，b上函数yf(x)的图象是一条 的曲线，那么它必有最大值和最小值,连续不断,2求函数yf(x)在a，b上的最大值与最小值的步骤 (1)求函数yf(x)在(a，b)内的 (2)将函数yf(x)的各极值与 比 较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值,极值,端点处的函数值f(a)、f(b),究 疑 点 1若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f(x)0吗？ f(x)0是否是f(x)在(a，b)内单调递增的
4、充要条件？,提示：函数f(x)在(a，b)内单调递增，则f(x)0，f(x)0是f(x)在(a，b)内单调递增的充分不必要条件,2导数为0的点一定是极值点吗？,提示：不一定如f(x)x3，f(0)0.但f(x)3x20，则f(x)x3在(，)上是增函数，故x0不是f(x)x3的极值点,3函数的极值和函数的最值有什么联系和区别？,提示：极值是指某一点附近函数值的比较，因此，同一函数在某一点的极大(小)值，可以比另一点的极小(大)值小(大)；最大、最小值是指闭区间a，b上所有函数值的比较因而在一般情况下，两者是有区别的，极大(小)值不一定是最大(小)值，最大(小)值也不一定是极大(小)值，但如果连
5、续函数在区间(a，b)内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值,题组自测,答案：B,3已知aR，函数f(x)(x2ax)ex(xR，e为自然对 数的底数) (1)当a2时，求函数f(x)的单调递增区间； (2)函数f(x)是否为R上的单调函数，若是，求出a的取值范围；若不是，请说明理由,(2)若函数f(x)在R上单调递减， 则f(x)0对xR都成立， 即x2(a2)xaex0对xR都成立 ex0，x2(a2)xa0对xR都成立,(a2)24a0，即a240，这是不可能的 故函数f(x)不可能在R上单调递减 若函数f(x)在R上单调递增，则f(x)0对xR都成立， 即x2(a2)x
6、aex0对xR都成立 ex0，x2(a2)xa0对xR都成立 而(a2)24aa240，故函数f(x)不可能在R上单调递增 综上可知函数f(x)不可能是R上的单调函数,在题3条件下，试讨论函数f(x)的单调区间,解：(1)当a0时，f(x)x2ex， f(x)(x22x)ex， 令f(x)0，得20，即当x(，2)或x(0，)时，函数f(x)单调递减 (2)当a0时，f(x)x2(a2)xaex. 令g(x)x2(a2)xa. (a2)24aa240，g(x)有两个零点,归纳领悟 求可导函数单调区间的一般步骤和方法： (1)确定函数f(x)的定义域 (2)求f(x)，令f(x)0，求出它们在定
7、义域内的一切实根 (3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的 各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函 数f(x)的定义区间分成若干个小区间 (4)确定f(x)在各个开区间内的符号，根据f(x)的符号判 定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性,题组自测,1设f(x)x(ax2bxc)(a0)在x1和x1处均有极 值，则下列点中一定在x轴上的是 () A(a，b)B(a，c) C(b，c) D(ab，c),答案：A,2(2010安徽高考)设函数f(x)sinxcosxx1,0 x 2，求函数f(x)的单调区间与极值,3已知函数f(x)x3mx2nx2的图象
8、过点(1，6)， 且函数g(x)f(x)6x的图象关于y轴对称 (1)求m、n的值及函数yf(x)的单调区间； (2)若a0，求函数yf(x)在区间(a1，a1)内的极值,由f(x)0得x2或x0， 故f(x)的单调递增区间是(，0)(2，)； 由f(x)0得0 x2， 故f(x)的单调递减区间是(0,2) (2)由(1)得f(x)3x(x2)， 令f(x)0得x0或x2， 当x变化时，f(x)、f(x)的变化情况如下表：,由此可得： 当0a1时，f(x)在(a1，a1)内有极大值f(0)2，无极小值； 当a1时，f(x)在(a1，a1)内无极值； 当1a3时，f(x)在(a1，a1)内有极小
9、值f(2)6，无极大值； 当a3时，f(x)在(a1，a1)内无极值 综上得：当0a1时，f(x)有极大值2，无极小值； 当1a3时，f(x)有极小值6，无极大值； 当a1或a3时，f(x)无极值,归纳领悟 求可导函数f(x)极值的步骤： (1)确定函数的定义域； (2)求导数f(x)； (3)求方程f(x)0的根； (4)检验f(x)在方程f(x)0的根的左右两侧的符号，如果 在根的左侧附近f(x)0，右侧附近f(x)0，那么函数yf(x)在这个根处取得极小值,题组自测 1函数f(x)2x33x212x5在0,3上的最大值是 _，最小值是_,解析：f(x)6x26x12， 令f(x)0，即6
10、x26x120， 则x1或x2. 又x0,3，故x1应舍去 当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如表：,f(x)max5，f(x)min15.,答案：515,2已知f(x)ax32ax2b(a0)，是否存在正实数a，b使 得f(x)在区间2,1上的最大值是5，最小值是11？若 存在，求出a，b的值及相应函数f(x)；若不存在，请说 明理由,因此f(0)必为最大值， f(0)5，得b5， f(2)16a5，f(1)a5， f(1)f(2)， f(2)16a511， a1，f(x)x32x25.,已知函数f(x)ax3x2bx(其中常数a，bR)，g(x)f(x)f(x)是奇函数 (1)求f(
11、x)的表达式； (2)讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间1,2上的最大值与最小值,归纳领悟 求函数yf(x)在a，b上的最大值与最小值的步骤如下： (1)求函数yf(x)在(a，b)内的极值； (2)将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较， 其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值,答案：C,2面积为S的一矩形中，其周长最小时的边长是 _,归纳领悟 利用导数解决生活中优化问题的一般步骤 1分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学 模型，写出实际问题中变量之间的函数关系yf(x)，根据实际意义确定定义域； 2求函数yf(x)的导数f(x)，解方程f(x)0
12、得出定义域 内的实根，确定极值点； 3比较函数在区间端点和极值点处的函数值大小，获得所 求的最大(小)值； 4还原到原实际问题中作答,一、把脉考情 从近两年的高考试题来看，对导数的考查表现在以下几个方面： (1)导数的简单应用，包括求函数的极值，求函数的单调区间， 证明函数的增减性等，出现率较高 (2)应用问题，利用导数来解决一些实际问题 (3)综合考查，将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的 单调性、方程根的分布、解析几何中的切线问题等有机地结合在一起，设计综合试题,(4)从题型上看，导数的简单应用主要出现在选择题和填空 题中，属容易题应用和综合考查问题一般作为压轴题出现，属于较难题型 预测2012年高考仍将以利用导数研究函数的单调性与极值为主要考向，同时也应注意利用导数研究生活中的优化问题,点 击 此 图 片 进 入“课 时 限 时 检 测”,
