《高考数学 第二章第十二节导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例复习课件 文 新人教A版》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高考数学 第二章第十二节导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例复习课件 文 新人教A版(60页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、1.了解函数单调性和导数的关系,能利用导数研究 函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项 式函数一般不超过三次),导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例,2了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件; 会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函 数一般不超过三次);会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次) 3会利用导数解决某些实际问题,理 要 点 一、函数的单调性与导数 1函数f(x)在某个区间(a,b)内的单调性与其导数的正负 有如下关系: (1)若 ,则f(x)在这个区间内单调递增; (2)若 ,则f(x)在这个区间内单调递减; (3)若 ,则f(x)在这
2、个区间内是常数,f(x)0,f(x)0,f(x)0,2利用导数判断函数单调性的一般步骤 (1)求 ; (2)在定义域内解不等式 ; (3)根据结果确定f(x)的单调区间,f(x),f(x)0或f(x)0,二、函数的极值与导数 1函数的极小值 函数yf(x)在点xa的函数值f(a)比它在xa附近其它点的函数值都小,f(a)0,而且在点xa附近的左侧 ,右侧 ,则点a叫做函数yf(x)的极小值点,f(a)叫做函数yf(x)的极小值,f(x)0,f(x)0,2函数的极大值 函数yf(x)在点xb的函数值f(b)比它在点xb附近的其他点的函数值都大,f(b)0,而且在点xb附近的左侧 ,右侧 ,则点b
3、叫做函数yf(x)的极大值点,f(b)叫做函数yf(x)的极大值 极小值点,极大值点统称为极值点,极大值和极小值统称为极值,f(x)0,f(x)0,三、函数的最值 1如果在区间a,b上函数yf(x)的图象是一条 的曲线,那么它必有最大值和最小值,连续不断,2求函数yf(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤 (1)求函数yf(x)在(a,b)内的 (2)将函数yf(x)的各极值与 比 较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值,极值,端点处的函数值f(a)、f(b),究 疑 点 1若函数f(x)在(a,b)内单调递增,那么一定有f(x)0吗? f(x)0是否是f(x)在(a,b)内单调递增的
4、充要条件?,提示:函数f(x)在(a,b)内单调递增,则f(x)0,f(x)0是f(x)在(a,b)内单调递增的充分不必要条件,2导数为0的点一定是极值点吗?,提示:不一定如f(x)x3,f(0)0.但f(x)3x20,则f(x)x3在(,)上是增函数,故x0不是f(x)x3的极值点,3函数的极值和函数的最值有什么联系和区别?,提示:极值是指某一点附近函数值的比较,因此,同一函数在某一点的极大(小)值,可以比另一点的极小(大)值小(大);最大、最小值是指闭区间a,b上所有函数值的比较因而在一般情况下,两者是有区别的,极大(小)值不一定是最大(小)值,最大(小)值也不一定是极大(小)值,但如果连
5、续函数在区间(a,b)内只有一个极值,那么极大值就是最大值,极小值就是最小值,题组自测,答案:B,3已知aR,函数f(x)(x2ax)ex(xR,e为自然对 数的底数) (1)当a2时,求函数f(x)的单调递增区间; (2)函数f(x)是否为R上的单调函数,若是,求出a的取值范围;若不是,请说明理由,(2)若函数f(x)在R上单调递减, 则f(x)0对xR都成立, 即x2(a2)xaex0对xR都成立 ex0,x2(a2)xa0对xR都成立,(a2)24a0,即a240,这是不可能的 故函数f(x)不可能在R上单调递减 若函数f(x)在R上单调递增,则f(x)0对xR都成立, 即x2(a2)x
6、aex0对xR都成立 ex0,x2(a2)xa0对xR都成立 而(a2)24aa240,故函数f(x)不可能在R上单调递增 综上可知函数f(x)不可能是R上的单调函数,在题3条件下,试讨论函数f(x)的单调区间,解:(1)当a0时,f(x)x2ex, f(x)(x22x)ex, 令f(x)0,得20,即当x(,2)或x(0,)时,函数f(x)单调递减 (2)当a0时,f(x)x2(a2)xaex. 令g(x)x2(a2)xa. (a2)24aa240,g(x)有两个零点,归纳领悟 求可导函数单调区间的一般步骤和方法: (1)确定函数f(x)的定义域 (2)求f(x),令f(x)0,求出它们在定
7、义域内的一切实根 (3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的 各实数根按由小到大的顺序排列起来,然后用这些点把函 数f(x)的定义区间分成若干个小区间 (4)确定f(x)在各个开区间内的符号,根据f(x)的符号判 定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性,题组自测,1设f(x)x(ax2bxc)(a0)在x1和x1处均有极 值,则下列点中一定在x轴上的是 () A(a,b)B(a,c) C(b,c) D(ab,c),答案:A,2(2010安徽高考)设函数f(x)sinxcosxx1,0 x 2,求函数f(x)的单调区间与极值,3已知函数f(x)x3mx2nx2的图象
8、过点(1,6), 且函数g(x)f(x)6x的图象关于y轴对称 (1)求m、n的值及函数yf(x)的单调区间; (2)若a0,求函数yf(x)在区间(a1,a1)内的极值,由f(x)0得x2或x0, 故f(x)的单调递增区间是(,0)(2,); 由f(x)0得0 x2, 故f(x)的单调递减区间是(0,2) (2)由(1)得f(x)3x(x2), 令f(x)0得x0或x2, 当x变化时,f(x)、f(x)的变化情况如下表:,由此可得: 当0a1时,f(x)在(a1,a1)内有极大值f(0)2,无极小值; 当a1时,f(x)在(a1,a1)内无极值; 当1a3时,f(x)在(a1,a1)内有极小
9、值f(2)6,无极大值; 当a3时,f(x)在(a1,a1)内无极值 综上得:当0a1时,f(x)有极大值2,无极小值; 当1a3时,f(x)有极小值6,无极大值; 当a1或a3时,f(x)无极值,归纳领悟 求可导函数f(x)极值的步骤: (1)确定函数的定义域; (2)求导数f(x); (3)求方程f(x)0的根; (4)检验f(x)在方程f(x)0的根的左右两侧的符号,如果 在根的左侧附近f(x)0,右侧附近f(x)0,那么函数yf(x)在这个根处取得极小值,题组自测 1函数f(x)2x33x212x5在0,3上的最大值是 _,最小值是_,解析:f(x)6x26x12, 令f(x)0,即6
10、x26x120, 则x1或x2. 又x0,3,故x1应舍去 当x变化时,f(x)与f(x)的变化情况如表:,f(x)max5,f(x)min15.,答案:515,2已知f(x)ax32ax2b(a0),是否存在正实数a,b使 得f(x)在区间2,1上的最大值是5,最小值是11?若 存在,求出a,b的值及相应函数f(x);若不存在,请说 明理由,因此f(0)必为最大值, f(0)5,得b5, f(2)16a5,f(1)a5, f(1)f(2), f(2)16a511, a1,f(x)x32x25.,已知函数f(x)ax3x2bx(其中常数a,bR),g(x)f(x)f(x)是奇函数 (1)求f(
11、x)的表达式; (2)讨论g(x)的单调性,并求g(x)在区间1,2上的最大值与最小值,归纳领悟 求函数yf(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤如下: (1)求函数yf(x)在(a,b)内的极值; (2)将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较, 其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值,答案:C,2面积为S的一矩形中,其周长最小时的边长是 _,归纳领悟 利用导数解决生活中优化问题的一般步骤 1分析实际问题中各量之间的关系,列出实际问题的数学 模型,写出实际问题中变量之间的函数关系yf(x),根据实际意义确定定义域; 2求函数yf(x)的导数f(x),解方程f(x)0
12、得出定义域 内的实根,确定极值点; 3比较函数在区间端点和极值点处的函数值大小,获得所 求的最大(小)值; 4还原到原实际问题中作答,一、把脉考情 从近两年的高考试题来看,对导数的考查表现在以下几个方面: (1)导数的简单应用,包括求函数的极值,求函数的单调区间, 证明函数的增减性等,出现率较高 (2)应用问题,利用导数来解决一些实际问题 (3)综合考查,将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的 单调性、方程根的分布、解析几何中的切线问题等有机地结合在一起,设计综合试题,(4)从题型上看,导数的简单应用主要出现在选择题和填空 题中,属容易题应用和综合考查问题一般作为压轴题出现,属于较难题型 预测2012年高考仍将以利用导数研究函数的单调性与极值为主要考向,同时也应注意利用导数研究生活中的优化问题,点 击 此 图 片 进 入“课 时 限 时 检 测”,