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1、第八章 第十节 直线与圆锥的位置关系理课下练兵场命 题 报 告难度及题号知识点容易题(题号)中等题(题号)稍难题(题号)直线与圆锥曲线的位置关系1、35、7、8、9相交弦的问题2、46综合应用1011、12一、选择题1设抛物线y28x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是 ()A,B2,2 C1,1 D4,4解析:设直线方程为yk(x2),与抛物线联立方程组,整理得ky28y16k0.当k0时,直线与抛物线有一个交点当k0时,由6464k20,解得1k1.所以1k1.答案:C2(2010西城模拟)设斜率为1的直线l与椭圆C:1相交于不同的两点A、B,
2、则使|AB|为整数的直线l共有 ()A4条 B5条 C6条 D7条解析:设直线AB的方程为yxb,代入椭圆C:1,可得3x24bx2b240,由16b212(2b24)0,可得b2b0)的左、右焦点分别为F1、F2,过F1作倾斜角为30的直线与椭圆有一个交点P,且PF2x轴,则此椭圆的离心率e为 ()A. B. C. D.解析:在RtPF2F1中,PF1F230,|F1F2|2c,|PF1|2|PF2|,根据椭圆的定义得|PF2|a,|PF1|a,又|PF1|2|PF2|2|F1F2|2,即a2a24c2,e.答案:A4过抛物线y24x的焦点F作两条弦AB和CD,且ABx轴,|CD|2|AB|
3、,则弦CD所在直线的方程是 ()Axy10Bxy10或xy10Cy(x1)Dy(x1)或y(x1)解析:依题意知AB为抛物线的通径,|AB|2p4,|CD|2|AB|8,显然满足条件的直线CD有两条,验证选项B,由得:x26x10,x1x26,此时|CD|x1x2p8,符合题意同理,xy10也符合题意答案:B5已知F1、F2是双曲线1(a0,b0)的两个焦点,以线段F1F2为斜边作等腰直角三角形F1MF2,如果线段MF1的中点在双曲线上,则该双曲线的离心率是 ()A. B. C. D.解析:记双曲线的焦距为2c.依题意知点M在y轴上,不妨设F1、F2分别是双曲线的左、右焦点,M在y轴正半轴上,
4、则有F1(c,0),M(0,c),线段MF1的中点坐标是(,)又线段MF1的中点在双曲线上,于是有1,即4,4,(e2)26e240,e23.又e21,因此e23,注意到()23,e.答案:C6斜率为1的直线l与椭圆y21相交于A、B两点,则|AB|的最大值为()A2 B. C. D.解析:设直线l的方程为yxt,代入y21,消去y得x22txt210,由题意得(2t)25(t21)0,即t25.弦长|AB|4.答案:C二、填空题7若斜率为的直线l与椭圆1(ab0)有两个不同的交点,且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点,则该椭圆的离心率为_解析:由题意易知两交点的横坐标为c,c,纵坐
5、标分别为,所以由2b2ac2(a2c2),即2e2e20,解得e(负根舍去)答案:8已知直线l与抛物线y28x交于A、B两点,且l经过抛物线的焦点F,A点的坐标为(8,8),则线段AB的中点到准线的距离是 _.解析:由y28x知2p8,p4.设B点坐标为(xB,yB),由AB直线过焦点F,直线AB方程为y(x2),把点B(xB,yB)代入上式得:yB(xB2)(2),解得yB2,xB,线段AB中点到准线的距离为2.答案:9已知抛物线y22px(p0)上一点M(1,m)到其焦点的距离为5,双曲线x21的左顶点为A,若双曲线的一条渐近线与直线AM垂直,则实数a_.解析:根据抛物线的焦半径公式得15
6、,p8.不妨取M(1,4),则AM的斜率为2,由已知得21,故a.答案:三、解答题10已知椭圆1(ab0)的一个顶点为A(0,1),且它的离心率与双曲线y21的离心率互为倒数(1)求椭圆的方程;(2)过点A且斜率为k的直线l与椭圆相交于A、B两点,点M在椭圆上,且满足,求k的值解:(1)双曲线y21的离心率为,椭圆的离心率为.又b1,a2.椭圆的方程为y21.(2)设直线l的方程为ykx1,A(x1,y1),B(x2,y2),M(m,n)由得(14k2)x28kx0,x1x2,x1x20.,m(x1x2),n(y1y2),点M在椭圆上,m24n24,(x1x2)2(y1y2)2(x4y)3(x
7、4y)2x1x28y1y24128y1y24.y1y20,(kx11)(kx21)k2x1x2k(x1x2)1k()10,即k2,k.此时(8k)24(14k2)064k2160k的值为.11(2010大连模拟)椭圆1(ab0)的长轴为短轴的倍,直线yx与椭圆交于A、B两点,C为椭圆的右顶点,.(1)求椭圆的方程;(2)若椭圆上两点E、F使,(0,2),求OEF面积的最大值解:(1)根据题意,ab,C(a,0),设A(t,t),则t0,1.解得t2b2,即tb,(b,b),(a,0),abb2,b1,a,椭圆方程为y21.(2)设E(x1,y1),F(x2,y2),EF中点为M(x0,y0),
8、E、F在椭圆上,则由得yy0,kEF,直线EF的方程为y(x),即x3y,代入y21,整理得4y22y210,y1y2,y1y2,|EF|y1y2|,又原点O(0,0)到直线EF的距离为h,SOEF|EF|h ,当时等号成立,所以OEF面积的最大值为.12已知椭圆C1的中心在坐标原点O,焦点在x轴上,离心率为e,点P为椭圆上一动点,点F1、F2分别为椭圆的左、右焦点,且PF1F2面积的最大值为.(1)求椭圆C1的方程;(2)设椭圆短轴的上端点为A,点M为动点,且|2,成等差数列,求动点M的轨迹C2的方程;(3)过点M作C2的切线l交C1于Q、R两点,求证:0.解:(1)设椭圆C1的方程为1(a
9、b0),c,则,所以a2b.由椭圆的几何性质知,当点P为椭圆的短轴端点时,PF1F2的面积最大,故|F1F2|bbc,解得a2,b1.故所求椭圆方程为y21.(2)由(1)知A(0,1),F1(,0),F2(,0),设M(x,y),则(,1),(x,y),(x,y1),(,1)由已知条件得x(x)y(y1)xy,整理,得M的轨迹C2的方程为x2y2.(3)证明:l的斜率存在时,设l的方程为ykxm,代入椭圆方程并整理,得(14k2)x28mkx4m240,(8mk)216(m21)(14k2)0.设Q(x1,y1),R(x2,y2),则x1x2,x1x2,所以y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2,x1x2y1y2(1k2)x1x2mk(x1x2)m2m2.又l与C2相切,所以,即5m24k240.所以0.当l的斜率不存在时,l的方程为x,带入椭圆方程得Q(,),R(,)或Q(,),R(,),此时,0.综上所述,0.- 7 -用心 爱心 专心