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1、1資訊安全導論課程教材現代密碼：拉開數學序幕現代密碼：拉開數學序幕中興資科詹進科 (jkjancs.nchu.edu.tw)中興資管陳育毅 (chenyuyinchu.edu.tw) 2資訊安全導論課程教材拉開數學序幕課程模組大綱拉開數學序幕課程模組大綱回顧凱撒加密法(Caesar Cipher) 回顧凱撒加密法(Caesar Cipher) - 以數字表示數學公式的變化 模乘法數學小魔女一書有更完好的說明在繼續介紹數論之前看個影片吧3資訊安全導論課程教材回顧凱撒加密法回顧凱撒加密法(Caesar Cipher) abcdzyxefabcdzyxefabcdzyxefabcdzyxef凱撒大帝
2、凱撒大帝前方軍士前方軍士m e e t p h h w pmwtm e e t 明文：明文：meet me after the toga party密文：密文：phhw ph diwhu wkh wrjd sduwbpmwthh4資訊安全導論課程教材回顧凱撒加密法回顧凱撒加密法(Caesar Cipher) 000102032524230405000102032524230405000102032524230405000102032524230405凱撒大帝凱撒大帝前方軍士前方軍士12040419150707221512221912040419明文：明文：meet me after the t
3、oga party密文：密文：phhw ph diwhu wkh wrjd sduwb151222190707假设把英文字母改成以假设把英文字母改成以 0025 數字數字表示表示5資訊安全導論課程教材加密加密(Encryption)的公式的公式C=(M+K) mod 26解密解密(Decryption)的公式的公式M=(C-K) mod 26回顧凱撒加密法回顧凱撒加密法(Caesar Cipher) 000102032524230405000102032524230405000102032524230405000102032524230405h120404191507072212040419明
4、文：明文：meet me after the toga party密文：密文：phhw ph diwhu wkh wrjd sduwb6資訊安全導論課程教材加密加密(Encryption)的公式的公式C=(M+K) mod 26解密解密(Decryption)的公式的公式M=(C-K) mod 26數學公式的變化數學公式的變化 模乘法模乘法 Sarah Flannery假假设设加密的公式換成加密的公式換成C=(MK) mod 26而解密是而解密是，這樣可行嗎？，這樣可行嗎？1999年愛爾蘭、歐洲青少年科學家首獎7資訊安全導論課程教材加密加密(Encryption)的公式的公式C=(M5) mo
5、d 26數學公式的變化數學公式的變化 模乘法模乘法Sarah Flannery 0 0 0 0 1 5 1 5 2 10 2 10 3 15 3 15 4 20 4 20 5 25 5 25 6 4 6 4 7 9 7 9 8 14 8 14 9 19 9 1910 2410 2411 311 312 812 813 1313 1314 1814 1815 2315 2316 216 217 717 718 1218 1219 1719 1720 2220 2221 121 122 622 623 1123 1124 1624 1625 2125 21加密公式假加密公式假设设是這樣的模乘法，是
6、這樣的模乘法，推算一切的能推算一切的能够够，明文與密文，明文與密文對應關係如右為一對一對應。對應關係如右為一對一對應。假假设设字母編碼字母編碼0025，每個號，每個號碼碼都會對應到另一個都會對應到另一個0025之間之間的號碼，也就是的號碼，也就是說說任一明文任一明文字母會對應到某個密文字母。字母會對應到某個密文字母。1999年愛爾蘭、歐洲青少年科學家首獎8資訊安全導論課程教材加密加密(Encryption)的公式的公式C=(M5) mod 26數學公式的變化數學公式的變化 模乘法模乘法Sarah Flannery1204041908202017明文：明文：meet me after the t
7、oga party密文：密文：iuur iu azruh rju rsea xahrq112 560 8 226 4 520 22620 4 520 22620 119 595 22617這樣就是加密啦！這樣就是加密啦！接下來，告訴他要怎麼解密接下來，告訴他要怎麼解密舉例來舉例來說說9資訊安全導論課程教材數學公式的變化數學公式的變化 模乘法模乘法Sarah Flannery明文：明文：meet me after the toga party密文：密文：iuur iu azruh rju rsea xahrq加密加密(Encryption)的公式的公式C=(M5) mod 2612040419這
8、樣就是加密啦！這樣就是加密啦！接下來，告訴他要怎麼解密接下來，告訴他要怎麼解密解密解密(Decryption)的公式的公式M=(C5) mod 2608202017舉例來舉例來說說10資訊安全導論課程教材解密解密(Decryption)的公式的公式M=(C5) mod 26數學公式的變化數學公式的變化 模乘法模乘法Sarah Flannery明文：明文：meet me after the toga party密文：密文：iuur iu azruh rju rsea xahrq08202017解密還不簡單解密還不簡單剛剛加密是乘以剛剛加密是乘以 5，那解密就除以那解密就除以 5 吧！吧！8 51
9、.6糟糕，這樣糟糕，這樣#$%&不對！不對！哦，我搞錯了哦，我搞錯了除以除以5，就是乘以，就是乘以1/5，也就是要乘以也就是要乘以5的乘法反元素，的乘法反元素，可是在可是在mod 26的情況下，的情況下，1/5不是不是5的乘法反元素。的乘法反元素。我再找找我再找找11資訊安全導論課程教材數學公式的變化數學公式的變化 模乘法模乘法Sarah Flannery明文：明文：meet me after the toga party密文：密文：iuur iu azruh rju rsea xahrq08202017120404198 221168 22612 220 221420 226 4 220 2
10、21420 226 4 117 221357 2261921才是才是5 mod 26的乘法反元素的乘法反元素解密解密(Decryption)的公式的公式 M=(C ) mod 262112資訊安全導論課程教材解密解密(Decryption)的公式的公式 M=(C21) mod 26數學公式的變化數學公式的變化 模乘法模乘法Sarah Flannery 0 0 0 0 1 21 1 21 2 16 2 16 3 11 3 11 4 6 4 6 5 1 5 1 6 22 6 22 7 17 7 17 8 12 8 12 9 7 9 710 210 211 2311 2312 1812 1813 1
11、313 1314 814 815 315 316 2416 2417 1917 1918 1418 1419 919 920 420 421 2521 2522 2022 2023 1523 1524 1024 1025 525 5解密公式假解密公式假设设是這樣的模乘法，是這樣的模乘法，推算一切能推算一切能够够，密文對應回到，密文對應回到明文也正是一對一對應回去。明文也正是一對一對應回去。也就是也就是說說解密的解密的 Key 是是21(加密與解密的加密與解密的Key不同哦不同哦)13資訊安全導論課程教材加密加密(Encryption)的公式的公式C=(M ) mod 26數學公式的變化數學公式
12、的變化 模乘法模乘法Sarah Flannery 0 0 0 0 1 4 1 4 2 8 2 8 3 12 3 12 4 16 4 16 5 20 5 20 6 24 6 24 7 2 7 2 8 6 8 6 9 10 9 1010 1410 1411 1811 1812 2212 2213 013 014 414 415 815 816 1216 1217 1617 1618 2018 2019 2419 2420 220 221 621 622 1022 1023 1423 1424 1824 1825 2225 22前面的例子也可以前面的例子也可以說說是運氣好，是運氣好，找到找到5與與2
13、1兩把兩把Key做模乘法能做模乘法能一對一對應。一對一對應。我們再來試一個例子，假我們再來試一個例子，假设设加密加密Key改為改為4，就沒有一對一對應。，就沒有一對一對應。也就是一個密文字母能也就是一個密文字母能够够由兩種由兩種明文字母對應而來，就無法判別明文字母對應而來，就無法判別如何解密回去，這樣會失敗的！如何解密回去，這樣會失敗的！414資訊安全導論課程教材加密加密(Encryption)的公式的公式C=(MK) mod 26數學公式的變化數學公式的變化 模乘法模乘法Sarah Flannery前面前面胜胜利例子選利例子選5與與21兩把兩把Key不是我運氣好，實際上是因為不是我運氣好，實
14、際上是因為我懂數學，知道要能我懂數學，知道要能胜胜利做出利做出一對一對應的充分必要條件一對一對應的充分必要條件Key值值必須與必須與mod值值互質。互質。解密解密(Decryption)的公式的公式M=(CK-1) mod 2615資訊安全導論課程教材加密加密(Encryption)的公式的公式C=(MK) mod 26數學公式的變化數學公式的變化 模乘法模乘法Sarah Flannery雖然用了乘法替代雖然用了乘法替代Caesar加密加密的加法，可是我沒的加法，可是我沒說說這個方法這個方法比比Caesar加密更平安加密更平安唷唷！因為！因為同樣运用暴力破解試同樣运用暴力破解試25次即可次即可
15、解開密文。解開密文。不過，我能讓它更平安點不過，我能讓它更平安點解密解密(Decryption)的公式的公式M=(CK-1) mod 2616資訊安全導論課程教材加密加密(Encryption)的公式的公式C=(MK) mod 676數學公式的變化數學公式的變化 模乘法模乘法Sarah Flannery在在Playfair加密法課程中，我們加密法課程中，我們看到加解密過程以兩個字母為看到加解密過程以兩個字母為單位，兩兩字母合在一同編碼單位，兩兩字母合在一同編碼就有就有2626=676種種(0675)能能够够的數字，以這樣為單位，的數字，以這樣為單位，Key可選擇的範圍就更大，當然用可選擇的範圍
16、就更大，當然用暴力破解也就需求試更多次。暴力破解也就需求試更多次。所以假所以假设设以更多字母為單位做以更多字母為單位做加密，會越來越平安吧！加密，會越來越平安吧！解密解密(Decryption)的公式的公式M=(CK-1) mod 67617資訊安全導論課程教材數學小魔女一書有更完好的說明數學小魔女一書有更完好的說明Sarah Flannery到目前為止，雖然還沒有介紹到到目前為止，雖然還沒有介紹到怎麼設計出怎麼設計出夠夠平安的現代密碼。平安的現代密碼。可是很重要的，我們全部都是用可是很重要的，我們全部都是用數學來思索的，而這也就是現代數學來思索的，而這也就是現代密碼學的發展基礎，後續我們會密碼學的發展基礎，後續我們會一步步更深化介紹，這次例子的一步步更深化介紹，這次例子的完好完好說說明可參考數學小魔女明可參考數學小魔女一書。一書。
