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1、1,代数系统定义 同类型与同种的代数系统 子代数 积代数,5.2 代数系统及其子代数、积代数,2,代数系统定义与实例,定义 非空集合 S 和 S 上 k 个一元或二元运算 f1, f2, , fk 组成的系统称为一个代数系统, 简称代数，记做 V=. S 称为代数系统的载体， S 和运算叫做代数系统的成分. 有的代数系统定义指定了S中的特殊元素，称为代数常数, 例如二元运算的单位元.有时也将代数常数作为系统的成分.,3,实例, , 是代数系统， + 和 分别表示普通加法和乘法. 是代数系统， + 和 分别表示n 阶 (n2) 实矩阵的加法和乘法. 是代数系统，Zn0, 1, , n-1， 和
2、分别表示模 n 的加法和乘法，x,yZn， xy = (xy) mod n，xy = (xy) mod n 也是代数系统， 和为并和交，为绝对补,4,同类型与同种代数系统,定义 (1) 如果两个代数系统中运算的个数相同，对应运算的元数相同，且代数常数的个数也相同，则称它们是 同类型的 代数系统. (2) 如果两个同类型的代数系统规定的运算性质也相同，则称为 同种的 代数系统. 例1 V1 = , V2 = , 为 n 阶全 0 矩阵，E 为 n 阶单位矩阵 V3 = ,5,V1, V2, V3是同类型的代数系统 V1, V2是同种的代数系统 V1, V2与V3不是同种的代数系统,同类型与同种代
3、数系统（续）,6,子代数,定义 设V= 是代数系统，B 是 S 的非空子集 ，如果 B 对 f1, f2, , fk 都是封闭的，且 B 和 S 含有相同的代数常数，则称 是 V 的子代数系统，简称 子代数. 有时将子代数系统简记为 B. 实例 N是 和的子代数. N0是的子代数，但不是的子代数 说明： 子代数和原代数是同种的代数系统 对于任何代数系统 V ，其子代数一定存在.,7,关于子代数的术语,最大的子代数 就是V 本身. 如果V 中所有代数常数构成集合 B，且 B 对V 中所有运算封闭，则 B 就构成了V 的最小的子代数. 最大和最小子代数称为V 的平凡的子代数. 若 B 是 S 的真
4、子集，则 B 构成的子代数称为V 的真子代数 . 例2 设V=，令 nZ = nz | zZ，n 为自然数，则 nZ 是 V 的子代数, 当 n = 1 和 0 时，nZ 是 V 的平凡的子代数，其他的都是 V 的非平凡的真子代数.,8,积代数,定义 设 V1=和 V2=是代数系统，其中 o 和 是二元运算. V1 与 V2 的 积代数 是V=, , S1S2 , = 例3 V1=, V2=, 积代数 , ZM2(R) , o = ,9,积代数的性质,定理 设 V1 = 和 V2 = 是代数系统，其中 o 和 是二元运算. V1 与 V2 的积代数是 V= (1) 若 o 和 运算是可交换的，
5、那么 运算也是可交换的 (2) 若 o 和 运算是可结合的，那么 运算也是可结合的 (3) 若 o 和 运算是幂等的，那么 运算也是幂等的 (4) 若 o 和 运算分别具有单位元 e1 和 e2，那么 运算 也具有单位元 (5) 若 o 和 运算分别具有零元 1 和 2，那么 运算 也具有零元 (6) 若 x 关于 o 的逆元为 x1, y 关于 的逆元为 y1，那 么关于 运算也具有逆元,10,5.3 代数系统的同态与同构,同态映射的定义 同态映射的分类 单同态、满同态、同构 自同态 同态映射的性质,11,同态映射的定义,定义 设 V1=和 V2=是代数系统，其中 和 是二元运算. f: S
6、1S2, 且x,yS1, f (xy) = f(x) f( y), 则称 f 为V1到 V2 的同态映射，简称同态.,12,更广泛的同态映射定义,定义 设 V1=和 V2=是代数系统，其中 和 是二元运算. f: S1S2, 且x,yS1 f (x y) = f(x) f(y) , f (x y) = f(x) f(y) 则称 f 为V1到 V2 的同态映射，简称同态. 设 V1=和 V2=是代数系统，其中 和 是二元运算. 和 是一元运算， f: S1S2, 且x,yS1 f (xy)=f(x)f(y), f (xy)=f(x)f(y), f ( x)=f(x) 则称 f 为V1到 V2 的
7、同态映射，简称同态.,13,例题,例1 V=, 判断下面的哪些函数是V 的自同态？ (1) f(x)=|x| (2) f(x)=2x (3) f(x)=x2 (4) f(x)=1/x (5) f(x)= x (6) f(x)=x+1,解 (2) , (5), (6) 不是自同态. (1) 是同态， f(xy) = |xy| = |x| |y| = f(x) f(y) (3) 是同态， f(xy) = (xy)2 = x2 y2 = f(x) f(y) (4) 是同态， f(xy) = 1/(xy) =1/x 1/y = f(x) f(y),14,特殊同态映射的分类,同态映射如果是单射，则称为单
8、同态； 如果是满射，则称为 满同态，这时称 V2 是 V1 的同态像，记作 V1V2； 如果是双射，则称为 同构，也称代数系统 V1 同构于V2，记作 V1V2 . 对于代数系统 V，它到自身的同态称为自同态. 类似地可以定义单自同态、满自同态和自同构.,15,同态映射的实例,例2 设V=，aZ，令 fa：ZZ，fa(x)=ax 那么 fa是V的自同态. 因为x,yZ，有 fa(x+y) = a(x+y) = ax+ay = fa(x)+fa(y) 当 a = 0 时称 f0为零同态； 当a=1时，称 fa为自同构； 除此之外其他的 fa 都是单自同态.,16,例3 设V1=, V2= ，其中
9、Q*= Q0，令 f：QQ*, f(x)=ex 那么 f 是V1到V2的同态映射，因为x, yQ有 f(x+y) = ex+y = exey = f(x) f(y). 不难看出 f 是单同态.,同态映射的实例（续）,17,同态映射的实例（续）,例4 V1=，V2=，Zn=0,1, , n-1, 是模 n 加. 令 f：ZZn，f(x) = (x)mod n则 f 是V1到 V2 的满同态. x, yZ有 f(x+y) = (x+y)mod n = (x)mod n (y)mod n = f(x) f(y),18,例5 设 V=，可以证明恰有 n 个G 的自同态， fp：ZnZn, fp (x)
10、 = (px)mod n，p = 0,1, , n1 例如 n = 6, 那么 f0为零同态； f1与 f5为同构； f2 与 f4的同态像是 0, 2, 4 ； f3 的同态像是 0, 3 .,同态映射的实例（续）,19,同态映射保持运算的算律,设V1,V2是代数系统. o,是V1上的二元运算，o,是 V2上对应的二元运算，如果 f： V1V2是满同态， 那么 (1)若o运算是可交换的（可结合、幂等的），则o运算也是可交换的（可结合、幂等的）. (2) 若o运算对运算是可分配的，则o运算对运算也是可分配的；若o 和运算是可吸收的，则 o和运算也是可吸收的。,20,(3) 若e为o 运算的单位
11、元，则 f(e)为o运算的单位元. (4) 若 为o 运算的零元，则 f() 为o运算的零元. (5) 设 uV1，若 u1 是 u 关于o运算的逆元，则 f(u1) 是 f(u)关于o运算的逆元。,同态映射保持运算的特异元素,21,同态映射的性质,说明： 上述性质仅在满同态时成立，如果不是满同态，那么相关性质在同态像中成立. 同态映射不一定能保持消去律成立. 例如 f : ZZn 是 V1= 到 V2=的同态，f(x)=(x)mod n, V1中满足消去律，但是当 n 为合数时, V2中不满足消去律.,22,例题,证 假设 f 是 V2 到 V1 的同构，那么有f：V2V1， f(1)=0. 于是有 f(1)+f(1) = f(1)(1)= f(1)=0 从而 f(1)=0，又有 f(1)=0，这与 f 的单射性矛盾.,例3 设V1= ，V2=，其中 Q 为有理数集合，Q*=Q0，+ 和 分别表示普通加法和乘法. 证明不存在 V2 到 V1 的同构.,
