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1、华东师范大学2007年数分试题及解答1 判断题1. 设在的邻域内有定义且有界，若不存在，则存在数列，使得，而和都存在，但是不相等.解：正确，任取一包含于，收敛于的数列，由于有界，存在子列，使得收敛;但是由于不存在，及Heine归结原理（逆否命题），得到结论.2. 设在有限区间上可导，且在上有界，则在上有界.解答：正确.设，取定，我们有 ，在与之间，即得在上有界.3. 设数项级数收敛，则级数收敛.解答：错.反例，收敛，而发散.4. 设在上有连续的导函数，若，则对任意，.解答：对.将零延拓至整个，记延拓后函数为，则按段光滑，且，利用Fourier级数收敛定理，即得结论.5. 设在处连续，且，则在处
2、可微.解答：错.考虑函数，显然在处连续，但是在处不可微.2 计算题1. 求；解：；2. 求，其中，为非零常数.解：.3. 求级数的和函数和收敛区域.解：设，显然有，于是当时，收敛；当时，发散.显然收敛，当，或者时，收敛，故级数的收敛域是；设，从而.4. 设在上有连续的二阶导数，求，.解：由，知， .5. 求，其中是球面被平面，截得的球冠部分.解：， .三1. 设是一列有界的正实数列，求证：.证明：证法一 对，使得，当时，由，对于上述，当时，有，取，当时，有,故有.证法二 由知，.对任意，当，有，从而，于是，故有.2. 设是定义在上的函数，满足：对任意，存在，使得在有.求证：存在，使得在上有.证
3、明：，取题目所示的区间及，.由于.利用有限覆盖定理，存在，使得，取，则，使得，.3. 设是定义在上的连续函数，且收敛.若含参量反常积分在上一致收敛.求证：对任意的，.证明：由题设条件，（1） 收敛，使得时，有；（2） 在上一致收敛，对于上述，存在，使得时，取，有，,于是从而对, 而由的任意性，有，再由的连续性，及的任意性，即得，.4. 设是定义在上的连续函数列，且，（1） ；（2） 对任意，在上一致收敛于零.求证：对任意上的连续函数，成立.证明：由题意，知（1） 在上连续，从而有界，使得，（2） 由，知，使得当时，；（3） 在处连续，而有，使得时，有；（4） 对于上述的，在上一致收敛于零，而有对上述，,使得当，时，取，当时，,从而，又，于是结论得证.5. 设在上有连续的偏导数，且在上恒为零，求证.证明：.
