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1、【精品】高中数学 4.2复数的运算第三课时教案 旧人教版必修4.2.3复数的乘法教学目标一、教学知识点1.理解并掌握复数乘法的运算法则.2.理解并掌握虚数单位i的运算律，in是周期出现的.3.掌握1的立方虚根的运算性质：2=,3=1,2+1=0.4.理解并掌握复数的模与共轭的关系：z2=z=2.二、能力训练要求1.能运用乘法运算法则计算有关复数乘法运算的题目.2.会运用in和1的立方虚根的运算性质解题.3.灵活运用复数的模与共轭的关系式z2=2=z解题，并深化它的应用.三、德育渗透目标1.培养学生分析问题与解决问题的能力，提高学生的运算能力，培养学生实际动手操作（运算、画图）能力.2.培养学生
2、的数形结合、分类讨论、方程、等价转化（实与虚）等数学思想，训练他们的优良的解题方法，培养他们的辩证唯物主义观点，提高学生的科学文化素质（包括数学素质）.3.培养学生的数学新理念、数学与文化的观念，让学生对数学充满兴趣和欢愉.教学重点复数的代数形式、乘法运算法则、in的周期性变化、1的立方虚根的性质是本节课教学的重点内容,乘法运算是四则运算的核心部分，是知识之间衔接的桥梁.教学难点复数的代数形式的乘法运算法则的规定、in的周期性规律、的性质是教学的难点.教学方法建构主义观点在高中数学课堂教学中的实践的教学方法.在学生掌握两个多项式的乘法运算法则，“a+b”问题的乘法法则的基础上进行大胆的类比和猜
3、想，让学生主动建构复数的代数形式的乘法运算法则.继续让学生建构z=2=2和复数乘法运算所满足的交换律、结合律和分配律.教具准备实物投影仪（或幻灯机、幻灯片）.教学过程.课题导入我们已经学习了复数的代数形式的加法（板书）的运算法则和有关的运算律.当时，同学们都说可以把加法运算看作是关于i的多项式的加法合并同类项.这节课我们将学习复数的代数形式的乘法(课题,只要在已板书的基础上进行修改即可,将“加”修改为“乘”，这样既使学生积极回顾了以前所学的内容，同时又使学生对改换后而提出的新问题积极思考，产生强烈的求知欲望，调动学生的积极性，为积极主动建构新知识而作好准备).讲授新课 ( 一)知识建构师初中学
4、习了多项式乘以多项式，你们能把(a+b)(c+d)化简吗（a、b、c、d是有理数）？积还是无理数吗？生按多项式乘法运算法则展开即可.(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd=(ac+2bd)+(ad+bc) .a、b、c、dQ,ac,2bd,ad,bc都是有理数.ac+2bdQ,ad+bcQ.而是无理数，（a+b）(c+d)是无理数.师若将“”换为“i”，其中i是虚数单位，能化简吗?（a、b、c、d都是实数）生可以.(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2=(ac-bd)+(ad+bc)i.(i2=-1,才能合并) a、b、c、dR，ac-bdR,ad+bcR.(ac-bd
5、)+(ad+bc)i是复数.师这就是两个复数的代数形式的乘法运算法则，于是有：规定复数的乘法按照以下的法则进行：设z1=a+bi,z2=c+di(a、b、c、dR)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i.其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成-1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.师实数的乘法满足哪些运算律？复数中能类比吗？生实数中的乘法运算满足交换律、结合律以及分配律.这些在复数集中的乘法运算也是成立的,即z1、z2、z3C,有(1)z1z2=z2z1,(2)(z1z2)z3=z1（z2z3）,
6、(3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.师完全正确，你们能证明吗？请三位同学到黑板上写，其余同学在下面写.设z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,z3=a3+b3i(a1、a2、a3、b1、b2、b3R).生甲z1z2=(a1+b1i)(a2+b2i)=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i,z2z1=(a2+b2i)(a1+b1i)=(a2a1-b2b1)+(b2a1+a2b1)i,又a1a2-b1b2=a2a1-b2b1,b1a2+a1b2=b2a1+a2b1,z1z2=z2z1.生乙(z1z2)z3=(a1+b1i)(a2+b2i)(a3+b3i)=(a1a2-b1b2
7、)+(b1b2+a1b2)i(a3+b3i)=(a1a2-b1b2)a3-(b1a2+a1b2)b3+(b1a2+a1b2)a3+(a1a2-b1b2)b3i=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2b3+a1a2b3-b1b2b3)i,同理可证z1(z2z3)=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2a3+a1a2b3-b1b2b3)i,(z1z2)z3=z1(z2z3).生丙z1(z2+z3)=(a1+b1i)(a2+b2i)+(a3+b3i)=(a1+b1i)(a2+a3)+(b2+b3)i=a1(a
8、2+a3)-b1(b2+b3)+b1(a2+a3)+a1(b2+b3)i=(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)i,z1z2+z1z3=(a1+b1i)(a2+b2i)+(a1+b1i)(a3+b3i)=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i+(a1a3-b1b3)+(b1a3+a1b3)i=(a1a2-b1b2+a1a3-b1b3)+(b1a2+a1b2+b1a3+a1b3)i=(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)i,z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.(学生板演时，教师在教室内巡
9、回指导，与学生共同研究)师同学们，这三位同学证明的是否正确？生（众生齐声回答）正确！师若复数z=a+bi(a、bR),求z.生=a-bi,z=(a+bi)(a-bi)=a2-b(-b)+a(-b)+bai=a2+b2+0i=a2+b2.z=a2+b2. 师由z=a2+b2,你们能想到什么？生aa2+b2是z的模的平方，可以得到z=z2.生bz2=z2.生c不对.z2=(a+bi)2=a2-b2+2abi,而z2=a2+b2,z2z2.生d的模是,z=a2+b2,也是的模的平方，即z=z2=z2.生e对于实数a、b,a2+b2在实数范围内不能因式分解，但在复数范围内可以有a2+b2=(a+bi)
10、(a-bi)，其中i是虚数单位.生f两个互为共轭的复数之积是一个非负实数.师同学们联想的这些内容都是对的.一般地，两个互为共轭复数z、的积是一个实数，这个实数等于每一个复数的模的平方，即z=z2=2.通常也可以写成z=.这个公式很重要，在复数的计算、证明时经常用到，所以我们要熟练地掌握.对于上述命题的逆命题是否成立呢？生g成立.因为a2+b2=(a+bi)(a-bi)=z.生h不成立.也就是两个复数的积是一个非负数，则它们是共轭复数.这是个错误命题.例如，z1=i,z2=-2i,z1z2=i(-2i)=-2i2=-2(-1)=20.但z1和z2不是共轭复数.师由于复数乘法运算满足交换律与结合律
11、，那么，实数集中正整数指数幂的运算律是否可以推广到复数集中去呢？生i实数集中，有aman=a m+n;(am)n=amn;(ab)m=ambm.在复数集C中，对任何z、z1、z2C,都有zmzn=zm+n,(zm)n=zmn,(z1z2)m=z1mz2m. 生j上述推广中幂指数m、n必须满足m、nN*.师这三条的证明思想是什么？生k根据复数乘法运算法则及交换律和结合律可以求证.生i也可以使用数学归纳法进行证明.师这些思路都是有用的，请同学们课后研究其具体策略.我们知道i1=i,i2=-1,请问i3,i4,i5,i6,i7,i8,i9,i10,i11,i12分别为什么？生m分别是-i,1,i,-
12、1,-i,1,i,-1,-i,1.师从这些数中你能总结出什么规律？生n数列in是周期数列，最小周期是4,即如果nN*,我们有i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i.师如果n是整数0时，是否成立？（片刻，学生开始讨论）生o成立.因为i4n=i0=1,i4n+1=i1=i,i4n+2=i2=-1,i4n+3=i3=-i,师如果n是负整数时，上述结论还成立吗？生P不成立.因为i-1没有定义,所以无法推广.生Q成立.取n=-m(mN),则i4n=i-4m=1,i4n+1=i-4m+1=i,i4n+2=i-4m+2=-1,i4n+3=i-4m+3=-i.所以n是负整数时，关于in
13、的结论也成立.师由上面讨论,知对一切nZ,i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i都成立.师前面我们证明过： =+,由这个等式你能类比到乘法上去吗？为什么？生r可以类比，对于乘法有=.事实上，设z1=a1+b1i,z2=a2+b2i(a1、a2、b1、b2R)，z1z2=(a1+b1i)(a2+b2i)=(a1a2-b1b2)+(a1b2+b1a2)i.=(a1a2-b1b2)-(a1b2+b1a2)i.又=(a1-b1i)(a2-b2i)=a1a2-(-b1)(-b2)+a1(-b2)+(-b1)a2i=(a1a2-b1b2)+(-a1b2-b1a2)i=(a1a2-b
14、1b2)-(a1b2+b1a2)i,=.师这个公式能否推广呢？生s可以.z1,z2,znC,则=zn.师z1、z2R,z1z2与z1z2有何关系？为什么？（讨论一会儿，开始写写画画）生tz1z2=z1z2.设z1=a1+b1i,z2=a2+b2i(a1、a2、b1、b2R), z1z2=(a1a2-b1b2)+(a1b2+b1a2)i.z1z2=.又z1z2=,z1z2=z1z2.本结论也可以推广到一般形式：z1,z2,z3,znC,则z1z2zn=z1z2zn.特殊情况：z1=z2=zn=z时，zn=zn,即z的乘方的模等于模的乘方.(二)课本例题例2（课本P206）计算(1-2i)(3+4i)(-2+i).生解：原式=(3+8)+(4-6)i(-2+i)=(11-2i)(-2+i)=(-22+2)+(11+4)i=-20+15i
