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1、【精品】高一数学 2.7对数(备课资料) 大纲人教版必修备课资料一、对数定义解释1.如果a(a0且a1)的b次幂等于N,就是abN,那么数b叫做以a为底的对数,记作:logaNb(a0且a1)2.对数定义中为什么规定a0且a1呢?因为:(1)若a0时,则N为某些值时,b值不存在.如:blog28不存在.(2)若a0时,N不为0时,b不存在.如log02不存在(可解释为0的多少次方是2呢?)N为0时,b可以是任何正数,是不惟一的,即log00有无数个值.(可解释为0的任何非零正次方都是零)(3)若a1时,N不为1时,b不存在.如log13不存在.N为1时,b可以为任何数,是不惟一的,即log11
2、有无数多个值.因此,规定:a0且a1.二、参考例题例11000的常用对数记为a;的自然对数记为b;则a、b的大小关系是A.ab B.abC.abD.不能确定解:由题意知:alg1000lg1033.blne1.显然ab,故选A.例2若2.5x1000,0.25y1000,则 .解:由2.5x1000,得xlog2.51000.由0.25y1000得ylog0.251000log10002.5log10000.25log1000log100010.例3设M0,1,N11a,lga,2a,a,是否存在a的值,使MN1?解:由题意,须使集合N中有一个元素1.若11a1,则a10.这时lgalg101
3、.这与集合中元素互异矛盾.a10;若2a1,则a0,此时lga无意义,2a1;若lga1,则a10与()情形相同;若a1,这时11a10,lgalg10,2a2.N10,0,2,1.此时MN0,1,这与MN1矛盾.综上所述:不存在a值,使MN1.评述:此题之所以分类讨论,是因为“1”元素所对应的集合中元素不确定,应要求学生通过此题体会数学中的分类讨论思想.三、参考练习题1.求下列各式中的x.(1) log8x=; (2)logx27=;(3)log2(log5x)=0;(4)log3(lgx)=1.解:(1)由log8x=得x=即x=.(2)由logx27=得=27,即=33故x=34=81.
4、(3)由log2(log5x)=0得log5x=20=1,故x=51=5.(4)由log3(lgx)=1,得lgx=3故x=103=1000.2.(1)求log84的值.(2)已知loga2=m,loga3=n,求a2m+n的值.分析:本题考查对数的定义、对数式与指数式的互化,及利用互化解题.解:(1)设log84=x,根据对数的定义有8x=4.即23x=22,x=,即log84=.另法:log84=22=log22=;(2)loga2=m,loga3=n.am=2,an=3,则a2m+n=(am)2an=223=12.评述:此题不仅是简单的指、对数互化.同时还涉及到常见的幂的运算法则的应用.
5、备课资料参考练习题1.下列各式正确的个数是log4162 log164 log101002 log100.012A.0 B.1 C.2 D.4解:log416log4422,正确.log16,正确.log10100log101022,正确.log1010-22,正确.故选D.2.以下四个命题中是真命题的是若log5x3,则x15;若log25x,则x5;logx0,则x;若log5x3,则xA. B.C.D.解:若log5x3,则x5315,错误.若log25x,则x5,正确.若logx0,则x不存在,错误.若log5x3,则x5-3,正确.故选C.3.当a0且a1,x0,y0,nN*,下列各
6、式不恒等的是A.loganxlogaxB.logaxnlogaC.xD.logaxnlogaynn(logaxlogay)解:logax不恒为1,x不恒成立故选C.4.已知lgalgb(a0,b0),那么A.abB.ab或ab1C.abD.ab1解:由lgalgb,得lgalgb或lgalgbab或a即ab或ab1故选B.5.log6log4(log381) .解:原式log6log4(log33)4log6(log44)log610.6.若loglog3(lnx)0,则x .解:loglog3(lnx)0,log3(lnx)1lnx3,xe3.7.log2 .解:=log2)=log2=lo
7、g24=28.若a0,a1,x0,y0,xy,下列式子中正确的个数是(1)logaxlogay=loga(x+y);(2)logaxlogay=loga(xy);(3)loga=logaxlogay;(4)logaxy=logaxlogay.A.0 B.1C.2 D.3分析:对数的运算实质是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减、乘的运算.在运算中要注意不能把对数符号当作表示数的字母参与运算.如:logaxlogax,logax是不可分开的一个整体.4个选项都把对数符号当作字母参与运算,因而都是错误的.应选A.9.对于a0,a1,下列说法中,正确的是若M=N,则logaM=logaN;若
8、logaM=logaN,则M=N;若logaM2=logaN2,则M=N;若M=N,则logaM2=logaN2.A. B.C.D.分析:在中,当M=N0时,logaM与logaN均无意义,因此logaM=logaN不成立.在中,当logaM=logaN时,必有M0,N0,且M=N.因此M=N成立.在中,当logaM2=logaN2时,有M0,N0,且M2=N2,即|M|=|N|,但未必有M=N.例如,M=2,N=2时,也有logaM2=logaN2,但MN.在中,若M=N=0,则logaM2与logaN2均无意义,因此logaM2=logaN2不成立.只有成立,应选C.评述:正确理解对数运算
9、性质公式,是利用对数运算性质公式解题的前提条件.10.若a0,a1,xy0,nN*,则下列各式:(logax)n=nlogax;(logax)n=logaxn;logax=loga;logaxn=nlogax;loga=loga其中成立的有( )A.3个 B.4个C.5个 D.6个分析:由loga=logaxlogay,logaxn=nlogax,知是错误的.解:正确,应选B.评述:默写所有对数公式,对照检查是否正确,对遗漏的公式进行证明,进一步加强理解,在此基础上加强记忆,公式一定要记住、记熟,在此基础上会用、用活.备课资料参考练习题1.计算下列各式:(1)lg12.5lglg0.5;(2)
10、 ;(3).分析:可以利用对数运算性质,将每项展开,达到相消或相约而求值;也可以利用对数的运算性质,将真数合并.解法一:(1)原式lg100lg23lg10lg24lg1lg2lg1023lg214lg2lg2211.(2)原式;(3)原式3.解法二:(1)原式lg101;(2)原式3;(3)原式3.2.选择题(1)的值为( )A. B. C. D.解: .故选C.(2)2比大( )A.3B.4C.5D.6解:22log10a2lga.又lglgalg100lga2,22lga(lga2)2lgalga24故选B.(3)已知3a5bA,且2,则A的值为( )A.15B.C. D.225解:3a
11、5bA,alog3A,blog5A,logA3,logA52logA3loga52 logA352,A215,A又A0,A 故选B.(4)如果log8alog4b25,log8blog4a27,那么log2(ab)的值为( )A.1B.3C.5D.9解:log8alog4b25,log8blog4a27,(log8alog8b)(log4b2log4a2)12log8(ab)log4(ab)212log8(ab)2log4(ab)121212log2(ab)12log2(ab)129故选D.3.已知log23a,3b7,试用a、b的式子表示log1256.解:由log23a得a,由3b7得bl
12、og37b.log1256=.备课资料一、对数式化简的基本思路例1不查表,化简:log2log212log242.评述:化简这类式子,一般有两种思路:思路一:把48、12、42分解质因数,再利用对数运算法则,把log2、log212、log242拆成若干个对数的代数和,然后再化简.思路二:由于所给的对数的底数相同,可以把各对数合并成一个对数,然后再化简计算.解法一:原式log2log2(322)log2(723)log27log232log22log232log22log27log22log23log22.解法二:原式log2.评述:上面两种解题思路,一是“正向”,利用积、商、幂、方根的对数运算法则,把各对数分成更为基本的一系列对数的代数和,由于某些对数的相互抵消,使所给对数式得到了化简;二是“逆向”,运用对数运算法则,把同底的各对数合并成一个对数,由于真数部分的约简,使所给对数式得到了化简,上面的两种解法,简单地说,一是“分”二是“合”.例2化简解法一:先用“分”的方法原式解法二:再采用“合”的方法. 原式.评述:上面给出了一