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1、【精品】高一数学 3.5等比数列的前n项和（备课资料） 大纲人教版必修备课资料参考练习题1.若数列an的前n项和为Sn=an1(a0),则这个数列是A.等比数列B.等差数列C.等比或等差数列D.非等差数列分析：若a=1,则Sn=0,an=0则an为等差数列；若a1,则=a，an为等比数列答案：C2.等比数列an中，若S6=91,S2=7,则S4为A.28 B.32 C.35 D.49分析：由Sn=,得=7， S6=91 得：=13,即(q2)2+q212=0,q2=3代入得：,S4=(19)=28.答案：A3.数列an的通项公式为an=,若Sn=9,则n等于A.9B.10C.99D.100分析
2、：由an=得Sn=(1+(=1+若Sn=9,即1+=9,n=99答案：C4.使数列，前n项之积大于105，则自然数n值为A.6 B.9 C.11 D.12分析：由已知得：105，即105,1+2+3+n55,55,解得n10答案：C5.已知两数的等差中项是10，等比中项是8，则以这两数为根的一元二次方程是A.x2+10x+8=0B.x210x+64=0C.x2+20x+64=0D.x220x+64=0解：设两数为a,b,则a+b=20,ab=64a,b为x220x+64=0的两根.答案：D6.在等比数列中，若S10=10,S20=30,则S30= .解法一：由S10=a1+a2+a10=10,
3、S20=a1+a2+a20=10+q10(a1+a2+a10)=(1+q10)10=30q10=2,q20=4,S30=S20+a21+a30=S20+q20(a1+a2+a10)=70.解法二：在等比数列中，S10,S20S10,S30S20成等比数列，又S10=10,S20S10=20,S30S20=40,S30=40+S20=40+30=70.答案：707.在正实数组成的等比数列中，若a4a5a6=3,则log3a1+log3a2+log3a8+log3a9= .解：原式=log3a1a2a8a9=log3(a4a6)2=2log3a4a6=4log3a5又a4a5a6=a53=3,a5
4、=原式=4log3=4log3log33=.答案：8.在等比数列中，a1+a2+a3+a5=3,a6+a7+a8+a9+a10=9,则a11+a12+a13+a14+a15= .分析：设等比数列an的公比为q,则a6+a7+a8+a9+a10=q5(a1+a2+a3+a4+a5)即9=3q5,q5=3,q10=9又a11+a12+a13+a14+a15=q10(a1+a2+a3+a4+a5)=93=27.答案：279.已知等差数列an的公差d0，且a1,a3,a9成等比数列，则= .分析：a1,a3,a9成等比数列，（a1+2d）2=a1(a1+8d)即a1=d,.答案：10.数列1，2，3，
5、的前n项和为 .分析：Sn=1+2+3+n=(1+)+(2+)+(3+)+(n+)=(1+2+3+n)+( +)=答案： 11.已知等比数列中an：1，2，4，8，它的第n项为an，求a3n.解：an=a1qn1=2n1,an=2n1a3n=23n112.已知数列an中，Sn是它的前n项和，并且Sn+1=4an+2(n=1,2,),a1=1(1)设bn=an+12an(n=1,2,),求证bn是等比数列;(2)设cn=(n=1,2,),求证cn是等差数列；（3）求数列an的通项公式及前n项和公式.解：（1）Sn+1=4an+2Sn+2=4an+1+2 得Sn+2Sn+1=4an+14an(n=
6、1,2,)，即an+2=4an+14anan+22an+1=2(an+12an)bn=an+12an(n=1,2,)bn+1=2bn由此可知，数列bn是公比为2的等比数列.由S2=a1+a2=4a1+2,又a1=1,得a2=5b1=a22a1=3,bn=32n1(2)cn= (n=1,2,),cn+1cn=将bn=32n1代入，得cn+1cn=(n=1,2,)由此可知：数列cn是公差为的等差数列，c1= ,故cn=+(3)cn=an=2ncn=(3n1)2n2(n=1,2,)当n2时，Sn=4an1+2=(3n4)2n1+2.由于S1=a1=1也适合于此式,前n项公式为Sn=(3n4)2n1+
7、2备课资料参考练习题1.数列an为正数的等比数列，它的前n项和为80，且前n项中数值最大的项为54，它的前2n项的和为6560，求此数列的首项和公比.分析：利用等比数列的前n项和公式Sn=解题.解：若q=1，则应有S2n=2Sn,与题意不合，故q1.当q1时，由已知得：由，得=82,即q2n82qn+81=0得qn=81或qn=1(舍)qn=81,故q1.an的前n项中最大，有an=54.将qn=81代入，得a1=q1由an=a1qn1=54,得a1qn=54q即81a1=54q由得a1=2,q=3评述：在数学解题中还应有一个整体观念，如本题求出qn=81,应保留qn为一个整体求解方便.2.已
8、知数列an是等比数列，试判断该数列依次k项的和组成的数列bn是否仍为等比数列？分析：应对an的公比q分类讨论.解：设bn=a(n1)k+1+a(n1)k+2+ank,且数列an的公比为q则当q=1时，b1=b2=bn=ka1,bn为公比是1的等比数列.当q1时，bn=bn为公比是qk的等比数列.当q=1时，若k为偶数，则bn=0，此时bn不能为等比数列.若k为奇数，数列bn为公比为1的等比数列.综上：当an的公比不为1时，数列bn仍为等比数列；当an的公比为1时，若k为偶数，则bn不是等比数列；当k为奇数时，数列bn为公比为1的等比数列.3.求数列1，a+a2,a2+a3+a4,a3+a4+a
9、5+a6,的前n项和Sn.解：(1)a=0时，Sn=1;(2)a=1时，Sn=n(n+1);(3)a=1时，Sn=(4)a=1;a0时，Sn=.4.数列an中，Sn=1+kan(k0,k1)(1)证明数列an为等比数列；（2）求通项an;(3)当k=1时，求和a12+a22+an2.分析：由于条件中涉及Sn与an的关系，因此，要考虑SnSn1=an(n2)的运用，然后回答定义.（1）证明：Sn=1+kanSn1=1+kan1得SnSn1=kankan1(n2)(k1)an=kan1, (常数)（n2），an是公比为的等比数列.（2）解：S1=a1=1+ka1,a1=an=()n1=(3)解：a
10、n中a1=,q=,an2为首项为（）2,公比为（）2的等比数列.当k=1时，等比数列an2的首项为，公比为a12+a22+an2=评述：应注意an=的应用.5.已知一个项数是偶数的等比数列的首项为1，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求这个数列的公比和项数.解：设数列的公比为q，项数为2n则,得q(a1+a3+a2n1)=170q=2,又=85,即=8522n=256=28,2n=8评述：在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及到a1,n,q,an,Sn5个量，其中a1和q是基本量，利用这两个公式，可知三求二.6.等比数列an中，S4=1，S8=3，求a17+a18+a19+a20的
11、值.分析：关键是确定首项和公比.解：设此数列的首项和公比为a1和q.则由得q4=2.a17+a18+a19+a20=S20S16=q16=24=16.评述：在研究等比数列的问题中，要确定基本量a1和q,仍然离不开方程思想，在具体求解时，得到的方程往往是高次方程，因此，要注意优化与化简.7.求（x+）2+(x2+)2+(xn+)2的值分析：注意到（xn+）2=an=x2n+2,且x2n与()2n为等比数列，故可考虑拆项法.解：Sn=(x2+x4+x2n)+(+)+当x=1时， Sn=n+n+2n=4n.当x1时，Sn=+2n=评述：在运用等比数列的求和公式时，要注意分析公比是否为1.8.求数列2x2,3x3,4x4,nxn,的前n项和.分析：可以通过错位相减的方法转化为等比数列的求和问题.解：（1）当x=0时，Sn=0.(2)当x=1时，Sn=2+3+4+(n+1)= n(n+3).(3)当x1时，Sn=2x2+3x3+4x4+(n+1)xn+1xSn=2x3+3x4+4x5+nxn+1+(n+1)xn+2得：（1x）Sn=2x2+x3+x4+xn+1(n+1)xn+2=2x2+(n+1)xn+2Sn=又当x=1时，Sn=0适合Sn=评述：错位相减法是一种常用的重要的求和方法.7 / 7
