弹塑性力学基础.

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1、材 料 力 学,中国地质大学力学教学部,弹塑性力学基础,李 同 林,中国地质大学 力学教研室,第一章 绪 论,一、 学科分类 弹塑性力学,二、 弹塑性力学的研究对象,三、 弹塑性力学的基本思路与研究方法,四、 弹塑性力学的基本任务,五、 弹塑性力学基本假设,六、 弹塑性力学发展概况,七、张量概念及其基本运算,一、学科分类 弹塑性力学,按运动与否分： 静力学：研究力系或物体的平衡问题，不涉及 物体运动状态的改变；如飞机停在地 面或巡航。,1、学科分类, 按研究对象分：, 一般力学： 研究对象是刚体。研究力及其与 运动的关系。分支学科有理论力学，分析力学等。, 流体力学：研究对象是气体或液体。涉及

2、到： 水力学、空气动力学等学科。, 固体力学：研究对象是可变形固体。研究材料 变形、流动和断裂时的力学响应。其分支学科有： 材料力学、结构力学、弹性力学、 塑性力学、 弹塑性力学、断裂力学、流变学、疲劳等。,2、弹塑性力学,弹塑性力学是固体力学的一个重要分支 学科，是研究可变形固体受到外荷载或温度 变化等因素的影响而发生的应力、应变和位 移及其分布规律的一门科学，是研究固体在 受载过程中产生的弹性变形和塑性变形阶段 这两个紧密相连的变形阶段力学响应的一门 科学。,二、 弹塑性力学的研究对象,在研究对象上，材料力学的研究对象是固体，且基本上是各种杆件，即所谓一维构件。,造成两者间这种差异的根本原

3、因是什么呢？,弹塑性力学研究对象也是固体，是不受 几何尺寸与形态限制的能适应各种工程技术 问题需求的物体。,三、弹塑性力学的基本思路与研究方法,1、弹塑性力学分析问题的基本思路,弹塑性力学与材料力学同属固体力学的 分支学科，它们在分析问题解决问题的基本 思路上都是一致的，但在研究问题的基本方 法上各不相同。其基本思路如下：,(1) 受力分析及静力平衡条件 (力的分析),物体受力作用处于平衡状态，应当满足的条件 是什么？（静力平衡条件）, 弹塑性力学研究问题的基本方法,1、涉及数学理论较复杂，并以其理论与解 法的严密性和普遍适用性为特点； 2、弹塑性的工程解答一般认为是精确的； 3、可对初等力学

4、理论解答的精确度和可靠 进行度量。,四、 弹塑性力学的基本任务,可归纳为以下几点： 1建立求解固体的应力、应变和位移分布规律的 基本方程和理论； 2给出初等理论无法求解的问题的理论和方法， 以及对初等理论可靠性与精确度的度量； 3确定和充分发挥一般工程结构物的承载能力， 提高经济效益； 4为进一步研究工程结构物的强度、振动、稳定 性、断裂等力学问题，奠定必要的理论基础。,五、 弹塑性力学的基本假设,（1）连续性假设：假定物质充满了物体所 占有的全部空间，不留下任何空隙。,（2）均匀性与各向同性的假设：假定物体内 部各点处，以及每一点处各个方向上的 物理性质相同。,（3）力学模型的简化假设： （

5、A）完全弹性假设 ； （B）弹塑性假设。, 几何假设小变形条件,（A）在弹塑性体产生变形后建立平衡方程时，可以 不考虑因变形而引起的力作用线方向的改变；,从而使得平衡条件与几何变形条件线性化。,（B）在研究问题的过程中可以略去相关的二次及二 次以上的高阶微量；,假定物体在受力以后，体内的位移和变形是微小 的，即体内各点位移都远远小于物体的原始尺寸，而 且应变( 包括线应变与角应变 )均远远小于1。根据 这一假定：,六、弹塑性力学发展概况, 1678年英国科学家虎克(R.Hooke)提出 了固体材 料的弹性变形与所受外力成正比虎克定律。, 19世纪20年代，法国科学家纳维叶 ( C.L.M.H.

6、Navier )、柯西 ( A.L.Cauchy )和 圣文南 ( A.J.C.B.Saint Venant ) 等建立了 弹性力学的理论基础。, 法国科学家库伦(C.A.Corlomb1773年）、 屈雷斯卡(H.Tresca1864年）、 圣文南和莱 ( M.Levy ) 波兰力学家胡勃(M.T.Houber1904年）、 米塞斯(R.von Mises1913年）、 普朗特(L.Prandtl 1924) 罗伊斯(A.Reuss 1930)、享奇 （H.Hencky)、 纳戴(A.L.Nadai) 、伊留申(A.A.) 阐明了应力、应变的概念和理论； 弹性力学和弹塑性力学的基本理论框架得

7、以确立。,七、张量概念及其基本运算（附录一）,1、张量概念, 张量分析是研究固体力学、流体力学及连续介 质力学的重要数学工具 。, 张量分析具有高度概括、形式简洁的特点。, 任一物理现象都是按照一定的客观规律进行的， 它们是不以人们的意志为转移的。, 分析研究物理现象的方法和工具的选用与人们 当时对客观事物的认识水平有关，会影响问题 的求解与表述。, 所有与坐标系选取无关的量，统称为物理恒量。, 在一定单位制下，只需指明其大小即足以被说明 的物理量，统称为标量。例如温度、质量、功等。, 在一定单位制下，除指明其大小还应指出其方向 的物理量，称为矢量。例如速度、加速度等。, 绝对标量只需一个量就

8、可确定，而绝对矢量则需 三个分量来确定。, 若我们以r表示维度，以n表示幂次，则关于三维 空间，描述一切物理恒量的分量数目可统一地表 示成：,（1）, 现令n为这些物理量的阶次，并统一称这些物 理量为张量。, 二阶以上的张量已不可能在三维空间有明显直 观的几何意义，但它做为物理恒量，其分量间 可由坐标变换关系式来解决定义。,当n=0时，零阶张量，M=1，标量； 当n=1时，一阶张量，M=3，矢量； 、 、 、 当取n时，n阶张量，M=3n。, 在张量的讨论中，都采用下标字母符号，来表 示和区别该张量的所有分量。, 不重复出现的下标符号称为自由标号。自由标 号在其方程内只罗列不求和。以自由标号的

9、数 量确定张量的阶次。, 重复出现，且只能重复出现一次的下标符号称 为哑标号或假标号。哑标号在其方程内先罗列， 再不求和。,2.下标记号法, 本教程张量下标符号的变程，仅限于三维空间， 即变程为3。,3.求和约定,关于哑标号应理解为取其变程N内所有数值， 然后再求和，这就叫做求和约定。 例如：,（I-2）,（I-4）,（I-5）, 关于求和标号，即哑标有：, 求和标号可任意变换字母表示。, 求和约定只适用于字母标号，不适用于数字标号。, 在运算中，括号内的求和标号应在进行其它运算前 优先求和。例：,（I-12）,（I-13）, 关于自由标号：,在同一方程式中，各张量的自由标号相同， 即同阶且标

10、号字母相同。,自由标号的数量确定了张量的阶次。, 关于Kronecker delta（ ）符号：,是张量分析中的一个基本符号称为柯氏符号 （或柯罗尼克尔符号），亦称单位张量。其定义为：,（I-17）,4.张量的基本运算,A、张量的加减：,张量可以用矩阵表示，称为张量矩阵，如：,凡是同阶的两个或几个张量可以相加(或相减)， 并得到同阶的张量，它的分量等于原来张量中标号 相同的诸分量之代数和。 即：,其中各分量（元素）为：,（I-19）,（I-20）,B、张量的乘积, 对于任何阶的诸张量都可进行乘法运算。, 两个任意阶张量的乘法定义为：第一个张量的 每一个分量乘以第二个张量中的每一个分量， 它们所

11、组成的集合仍然是一个张量，称为第一 个张量乘以第二个张量的乘积，即积张量。积 张量的阶数等于因子张量阶数之和。例如：, 张量乘法不服从交换律，但张量乘法服从分配 律和结合律。例如：,（I-21）,（I-22）,C、张量函数的求导：, 一个张量是坐标函数，则该张量的每个分量都 是坐标参数 xi 的函数。, 对张量求导，就是把张量的每个分量都对坐标参数 求导数。, 对张量的坐标参数求导数时，采用在张量下标 符号前上方加“ ”的方式来表示。 例如： ， 就表示对一阶张量 的每一个分量对坐标参数 xi 求导。, 对张量的坐标参数求导数时，采用在张量下标 符号前上方加“ ”的方式来表示。 例如： ， 就

12、表示对一阶张量 的每一个分量对坐标参数 xi 求导。, 如果在微商中下标符号 i 是一个自由下标，则 算子 作用的结果，将产生一个新的升高一阶 的张量； 如果在微商中，下标符号是一个哑标号，则算子 作用的结果将产生一个新的降低一阶的张量。 例如：,（I-23）,（I-24）,（I-25）,（I-25）, 如果在微商中下标符号 i 是一个自由下标，则 算子 作用的结果，将产生一个新的升高一阶 的张量； 如果在微商中，下标符号是一个哑标号，则算子 作用的结果将产生一个新的降低一阶的张量。 例如：,4.张量的分解,张量一般是非对称的。若张量 的分量满足,则称为反对称张量。显然反对称张量中标号重复的

13、分量(也即主对角元素)为零，即 。,则 称为对称张量。 如果 的分量满足,（I-27）,（I-28）,第二章 应力理论,一、应力的概念应力状态的概念,二、应力分量转换方程,三、主应力应力主方向应力张量不变量,四、最大(最小)剪应力,五、空间应力圆.应力椭球,六、应力张量的分解,七、偏斜应力张量 .主偏应力.应力偏量不变量,八、八面体应力等效应力,九、平衡（或运动）微分方程,一、应力的概念 应力状态的概念, 应力：受力物体 内某点某截面上内 力的分布集度。,1、应力的概念,2、应力状态的概念：受力物体内某点处所取 无限多截面上的应力情况的总和，就显示和表 明了该点的应力状态,必须指明两点： 1.

14、是哪一点的应力； 2.是该点哪个微截面的应力。, 表示应力的及符号规则：,正应力： 剪应力：,第一个字母表明该应力作 用截面的外法线方向同哪一个坐标轴相平行。 第二个字母表明该应力的 指向同哪个坐标轴相平行。, 应力的正负号规则：,3.应力张量,数学上，在坐标变换时，服从一定坐标变换式 的九个数所定义的量，叫做二阶张量。根据这一定 义，物体内一点处的应力状态可用二阶张量的形式 来表示，并称为应力张量，而各应力分量即为应力 张量的元素，且由剪应力等定理知，应力张量应是 一个对称的二阶张量，简称为应力张量。,据剪应力互等定理 ,应力张量应是 一个对称的二阶张量。,二.应力分量转换方程,1、任意斜截

15、面上的应力,已知 ： 求：P Px 、Py 、 Pz,斜截面外法线为 n， 方向余弦分别为 L1 、L2 、 L3； 面积： SABC=1；SOBC= L1，SOAC= L2， SOAB= L3。,则由单元体力系平衡条件： 、 、 得：,2、应力分量转换方程,表21,（210）,3、平面应力状态, 注意：材力与弹塑性力学中关于应力符号的差异。,（222）,（221）,（211）,三. 主应力 应力主方向 应力张量不变量,主平面：一点应力状态剪应力等于零的截面称为主平面； 主应力 ：主平面上的正应力称为该点的主应力； 主方向 ：主平面的法线方向即为主方向； 主单元体：由主平面截取的单元体称为主单

16、元体。,设斜截面ABC为主平面，则：,则由2-4得：,（212）,（213）,（218）,理论上可证明：当一点的应力状态确定时， 由式2-18必可求出三个实根，即为主应力，且 。主应力彼此正交。,(219),（220）, 正应力的极值就是主应力,（224）,（225）,由2-24及,得：,对上式取极值求出方向余弦式，再代回式2-25得： ，即正应力取极值截面上的剪应力为零，此正应力即为主应力。主方向彼此正交。,四.最大(最小)剪应力,讨论式（b），可得其解如表-所示：,表23, 主剪应力为：, 最大（最小）剪应力为：,（227）, 最大（最小）剪应力作用截面上一般正应 力不为零，即：,（228）,五.空间应力圆 应力椭球,莫尔应力圆,若三个坐标轴的方向都恰取为应力主方向，则由式(224)或(215)可求出用，外法线为n的斜截面上的正应