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1、1,第 3 章 点、直线和平面的投影,2, 点的投影与点的直角坐标的关系,点的投影, 点的三面投影 及 投影关系，已知两投影求第三投影, 两点的相对位置 （看图的基础）,直线的投影, 直线对投影面的相对位置 （三类七种）, 直线上的点 （从属关系）, 两直线的相对位置 （平行、相交、交叉、垂直）,平面的投影, 平面的表示法及形式转换, 平面相对于投影面的位置 （三类七种）, 平面内的点和直线,3,1.点在三投影面体系中的投影,一. 点的投影,由空间点A分别向V、H、W面进行投影,得正面投影a、水平投影a、侧面投影a”,将三面投影展开摊在一个平面上，得三面投影图。,4, 点的投影与点的直角坐标,
2、点的投影规律（投影关系）,点AW面 X坐标 aOZ aOY,点AV面 Y坐标 aOX aOZ,点AH面 Z坐标 aOX a”OY,X,Z,y,x,x,z,y,z,Y,y,aa OX （长对正）,aa” OZ （高平齐）,aOXa”OZ （宽相等）,两投影连线垂直于投影轴,45,5,例：画出点A(15,5,10)的投影及空间位置,a,a,a,A,a,A,Y,6,例 作点A (30,50,50)、B (70,20,0) 的三面投影，,及其空间位置。,7,例：根据点的两面投影求第三投影,3. 特殊位置的点 （重点讨论位于投影面上的点）,8,正面投影看高低 水平投影看前后 侧面投影看前后,B点在A点的
3、左后下方,4 两点的相对位置及重影点,9,O,(b),(d),重影点,点A在B的正上方，它们的水平投影重影，被挡者括住表示。,点C在D的正前方，它们的正面投影重影。,当两点的某投影重影时，可从另外的两面投影上看出其先后位置。,10,例:已知点A在点B之前5，之上9，之右8，求点A的投影。,11,二 直线的投影,直线对投影面的相对位置,直线上的点,两直线的相对位置,立体上直线的分析,12,1. 直线对一个投影面的投影特性,平行,垂直,倾斜,P 投影小于实长 ab = AB Cos,ABP 投影反映实长 ab=AB,AB P 投影有积聚性 ab,AB,据此，将分别研究直线对三个投影面的投影特性。,
4、13, 直线的投影由两端点同名投影的连线确定,根据直线两端点的相对 位置 判别AB的指向(方向),正面投影看高低 水平投影看前后 侧面投影看前后,14,(1) 一般位置直线,投影特性：三个投影均倾斜于投影轴， 均不反映实长、倾角.,2. 直线相对投影面的位置,15,16,(2) 投影面平行线,17,X,Z,Y,O,X,O,z,Y,Y,水平线,= AB H = AB V = AB W,投 影特性,1. 在所平行的投影面上,反映实长, 并反映与相邻投影面的倾角；,2. 另二投影平行于相应的投影轴。,18,X,O,Z,Y,Y,正平线,19,X,Z,O,Y,Y,侧平线,20,投影面平行线,21,(3)
5、 投影面垂直线,22,铅垂线,23,正垂线,24,侧垂线,25,投影面垂直线,26,a,a,a,例题1,例：过点A向右上方作一正平线AB,使其实长为25，与H面的倾角=30。,27,例题2,例:根据直线的两投影判断其空间位置.,X,O,g,g,X,O,a,a,b,b,X,O,c,d,d,h,h,O,正平线,侧平线,水平线,一般位置直线,侧垂线,铅垂线,c,28,O,侧平线,一般线,一般线,水平线,正垂线,正平线,29,a,b,c,a,b,c,s,ab,c,s,棱线分析,s,SA ,SC ,AC ,一般位置线,侧平线,水平线,30,读投影弯铁丝,31,直线上点的投影特性: 1、点的投影在直线的同
6、面投影上(从属关系不变)。 2、点分割线段之比，投影后比值不变。即：,AC:CB=ac:cb= ac : cb= ac : cb,3. 属于直线的点,点K属于直线AB吗?,32,例1：判断点C是否在线段AB上。,在,不在,a,b,不在,应用定比定理,33,例: 在直线AB上取一点C，使其到V面为20。,b,a,b,a,X,O,c,c,例: 在直线EF上找一点K,使EK:KF=2:3。,k,k,34,例：已知点K在线段AB上，求点K的正面投影。,解法一： （借助第三投影）,解法二： （应用定比定理）,a,b,35,线段实长、倾角、投影、坐标差之间的几何关系,要记住这个图（随时能用两根杆模拟出来）
7、, 一般位置直线的倾角和线段实长,36,直角三角形中，三条边和一个倾角共四个参数，只要知道任意两个，即可画出直角三角形，求得另两个参数。,直角三角形中,斜边为线段的实长,两直角边分别为线段的投影及坐标差.,37,Z,AB,ab,Z,b,X,a,b,a,直角三角形法,=,=,=,分析：欲求，只能借助直线与H面的几何关系。,例1：已知线段投影，求线段的实长和倾角,38,X,O,V,H,Y,b,X,a,b,a,O,AB,ab,Y,=,=,AB,=,例2：求一般位置直线段的实长和倾角,Y,分析：欲求，只能借助直线与V面的几何关系。,39,a,b,a,b,X,O,Z,Z,C,在AB上量取 AC=25,c
8、,c,例3: 在直线AB上取一点C,使AC=25,求点C的投影.,求投影长ac,40,例4:已知直线AB的V投影，且=30，求AB的H投影。,a,b,a,b,Y,Y,分析：, 直接求水平投影长，要用三角形，即直线与H面的几何关系，只有高差Z一个条件，此路不通。,已知实长或倾角补投影，通常有两种方法，即直接求线段投影长或用坐标差确定线段另一端点，有时只有一种方法（如本例）。,41,例5:已知直线AB的V投影，且AB=40，求AB的H投影。,R=40,a,b,a,b,Y,Y,Z,方法2：已知实长及Z，画出三角形确定ab长,a b,42,例6:已知直线AB的V投影，且=30，求AB的H投影。,a,b
9、,a,b,Z,H投影长,以H投影长为 半径画弧,AB真长,方法：利用已知的、Z作三角形求水平投影长ab（仅一种方法）,43,4. 两直线的相对位置, 两直线平行,投影特性,同名投影平行 ab/cd ab/cd 且长度成比例 ab:cd = ab:cd,44,例：判断图中两条直线是否平行。,对于一般位置直线，只要有两组同名投影互相平行，空间两直线就平行。,AB与CD平行。,AB与CD不平行。,对于特殊位置直线，只有两组同名投影互相平行，空间直线不一定平行。,45, 两直线相交,同名投影相交,交点符合点的投影规律.,投影特性:,46,例：过点A作直线AB， 与直线CD相交。,a,a,c,d,c,d
10、,例：过点A作水平线AB， 与直线CD相交。,a,无数解,唯一解,b,b,b,b,47, 两直线交叉,凡不满足平行和相交条件的直线为交叉两直线。,48,( ),( ),a,b,c,d,c,a,b,d,交叉两直线重影点的可见性判断,a,b,b,a,c,d,d,c,A,B,C,V,H,o,X,4,3,3 4,2,1,1 2,X,(3)4,1(2),D,49,例：,例：,50,例: 判断两直线的相对位置,1d,c 1,51,直角投影规律： 空间两条相互垂直线之一，平行于某投影面时,则在该面上的投影垂直。,若 ACAB, ABH,则 acab, 一边平行于投影面的直角投影,52,上述结论亦实用于两直线
11、交叉垂直,53,c,d,d,abcd,已知AB/H、ABCD，求cd,例:,54,例: 求点K到直线AB的距离 。,55,例: 已知直角三角形ABC，其一直角边BC在EF线上，长30，试完成三角形ABC的投影。,e,f,e,f,a,a,b,b,c,c,量取bc=30mm,56,例:求两直线AB、CD之间的距离。(习题P11. 3-17 ),n,m,m,两交叉线间距离,57,点、直线习题,点 P6 2、3,P7 4、5,直线 P8,P9 6、7,P10 9、10、12,P11 13、15、16,58,1. 平面的表示法及形式转换, 平面相对于投影面的位置, 平面内的点和直线,三 平面的投影,59
12、,1. 平面的表示法及形式转换,几何元素表示法,迹线表示法（了解）,60,平面的迹线（与投影面的交线）表示法,PV,PH,Q H,X,X,V,V,H,PV,PH,Q H,H,用垂面的积聚投影(一条线)表示平面,61,平面/P,平面 P,反映实形,实形性,积聚成直线,积聚性,缩小且类似图形,类似性,平面的投影特性取决于平面与投影面的倾角,62,投影面平行面,投影面垂直面,一般位置平面,铅垂面： H V、W,正垂面： V H、W,侧垂面： W V、H,水平面：H,正平面：V,侧平面：W, 平面相对于投影面的位置,特殊位置平面,63, 投影面平行面,正平面,水平面,侧平面,64,水平面,投影特性,在
13、所平行的投影面上的投影反映实形,另二投影积聚为平行于相应投影轴的线段,65,正垂面,铅垂面,侧垂面, 投影面垂直面,66,正垂面,投影特性,在所垂直的投影面上的投影积聚成直线，且反映平面与另两投影面的倾角,另两投影为类似图形,a,b,c,c,a,a,c,b,b,67,铅垂面,请同学叙述铅垂面的投影特性,68, 一般位置平面,投影特性 三个投影均为缩小的类似形,a,b,c,平面与三投影面均倾斜,69,平面图形二求三,x,b,a,c,b,a,z,a,c,b,c,y,y,70,例:根据平面的两投影判定平面的位置,正平面,铅垂面,侧垂面,水平面,侧垂面,侧平面,71,a,b,c,ab,c,s,棱锥表面
14、分析,一 般,侧 垂,72,例：指出立体表面的空间位置, 找出相应投影.,v,w,H,73,3. 平面上的点和直线,直线在平面上的条件 通过平面内两点； 或通过平面内一点，且平行于平面内一直线。 点在平面上的条件 点在平面内的某一直线上 故要在平面内取点，必须先在平面内取直线。,基本作图： 判定点或直线是否在平面上； 在平面上引辅助线定位点。,74,例：点K 在平面内，已知k，求k,1,1,k,2,2,辅助线（两点法）,辅助线（一点一方向法）,b,a,c,c,a,k,b,75,a,b,c,a,b,c,k,k,e,e,K点不在ABC上,【例】判定点K是否在平面ABC上？,76,例:已知点E在ABC上，求点E的正面投影。,a,b,c,c,b,a,X,77,e,d,c,e,a,b,a,b ,c,d,【例】已知平面四边形ABCD，其
