《高中数学新人教版必修一知识讲解及练习附答案知识讲解_函数与方程_提高》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学新人教版必修一知识讲解及练习附答案知识讲解_函数与方程_提高（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 高中数学新人教版必修一知识讲解及练习附答案 函数与方程 编稿：审稿： 【学习目标】 (1) 重点理解函数零点的概念，判定二次函数零点的个数，会求函数的零点； (2) 结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数零点与方程根的联 系； (3) 根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求函数零点的近似解，了解这种方法是求函数零点 近似解的常用方法. 【要点梳理】 要点一：函数的零点 1. 函数的零点 （1）一般地，如果函数( )yf x在实数处的值等于零，即()0f，则a叫做这个函数的零点. 要点诠释： 函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于
2、零； 函数的零点也就是函数)(xfy的图象与x轴交点的横坐标； 函数)(xfy的零点就是方程0)(xf的实数根 归纳： 方程0)(xf有实数根函数)(xfy的图象与x轴有交点函数)(xfy有零点 （2）二次函数的零点 二次函数 2 yaxbxc的零点个数，方程 2 0axbxc的实根个数见下表. 判别式方程的根函数的零点 0两个不相等的实根两个零点 0两个相等的实根一个二重零点 0无实根无零点 （3）二次函数零点的性质 二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号. 相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号. 引伸： 对任意函数，只要它的图象是连续不间断的，上述性质同样成立
3、. 2函数零点的判定 （1）利用函数零点存在性的判定定理 如果函数( )yf x在一个区间ab，上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即 0f a f b，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点 0 xab，使 0 0fx， 这个 0 x也就是方程( )0f x的根 . 要点诠释： 满足上述条件，我们只能判定区间内有零点，但不能确定有几个若函数在区间内单调，则只有一个； 2 若不单调，则个数不确定 若函数( )f x在区间,a b上有( )( )0f af b，( )f x在( , )a b内也可能有零点，例如 2 ( )fxx在 1,1上， 2 ( )23f xxx在
4、 区间2,4上就是这样的故( )f x在,a b内有零点，不一定有 ( )( )0f af b 若函数( )f x在区间, a b上的图象不是连续不断的曲线，( )f x在,a b内也可能是有零点，例如函 数 1 ( )1f x x 在2,2上就是这样的 （2）利用方程求解法 求函数的零点时，先考虑解方程( )0f x，方程( )0f x无实根则函数无零点，方程( )0fx有实根 则函数有零点 （3）利用数形结合法 函数( )( )( )F xf xg x的零点就是方程( )( )fxg x的实数根，也就是函数( )yf x的图象与 ( )yg x的图象交点的横坐标 要点二：一元二次方程根的分
5、布与方程系数的关系 （1）设 x1、x2是一元二次方程 ax2+bx+c=0 （a0）的两实根，则x1、x2的分布范围与一元二次方程 的系数之间的关系是： 当 x1x2 k 时，有 0 ( )0 2 f k b k a ； 当 kx1x2时，有 0 ( )0 2 f k b k a ； 当 x1kx2时， ( )0f k； 当 x1，x2（ k1，k2）时，有 1 2 12 0 ()0 ()0 2 f k f k b kk a ； 当 x1、x2有且仅有一个在（ k1，k2）时，有 12 ()()0f kf k 3 要点诠释： 讨论二次函数的根在区间的分布情况一般需从三方面考虑：判别式；区间端
6、点的函数值的符号； 对称轴与区间的相对位置当k=0 时，也就是一元二次方程根的零分布 （2）所谓一元二次方程根的零分布，是指方程的根相对于零的关系比如一元二次方程有一正根，有 一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说这两个根分布在零的两侧 设一元二次方程ax2+bx+c=0 （a0）的两个实根为 x1，x2，且 x1x2 2 1212 12 40 0,00 0 bac b xxxx a c x x a ； 2 1212 12 40 0,00 0 bac b xxxx a c x x a ； 12 00 c xx a ； x1=0，x20 c=0，且0 b a ；x10，
7、x2=0c=0，且0 b a 要点三：二分法 1. 二分法 所谓二分法就是通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而 得到零点近似值的方法. 2. 用二分法求函数零点的一般步骤： 已知函数 yfx 定义在区间D上，求它在D上的一个零点x0的近似值x，使它满足给定的精确度. 第一步：在D 内取一个闭区间 00 ,a bD，使 0 f a与 0 f b异号，即 00 0faf b，零点位 于区间 00 ,a b中. 第二步：取区间 00 ,a b的中点，则此中点对应的坐标为 000000 11 22 xabaab. 计算 0 fx和 0 f a，并判断： 如果 0
8、 0fx，则 0 x就是fx的零点，计算终止； 如果 00 0fafx，则零点位于区间 00 ,ax中，令 1010 ,aabx； 4 如果 00 0fafx，则零点位于区间 00 ,x b中，令 1010 ,axbb 第三步：取区间 11 ,a b的中点，则此中点对应的坐标为 111111 11 22 xabaab. 计算 1 fx和 1 fa，并判断： 如果 1 0fx，则 1 x就是fx的零点，计算终止； 如果 11 0fafx，则零点位于区间 11 ,a x中，令 2121 ,aa bx； 如果 11 0fafx，则零点位于区间 11 ,x b中，令 2121 ,ax bb； 继续实施
9、上述步骤，直到区间, nn a b，函数的零点总位于区间, nn a b上，当 n a和 n b按照给定的精确 度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数yfx的近似零点， 计算终止 . 这时函数yfx 的近似零点满足给定的精确度. 要点诠释： （1）第一步中要使：区间长度尽量小；( )f a、( )f b的值比较容易计算且( )( ) 0f af b （2）根据函数的零点与相应方程的根的关系，求函数的零点和求相应方程的根式等价的对于求方程 ( )( )f xg x的根，可以构造函数( )( )( )F xf xg x，函数( )F x的零点即为方程( )( )f xg x的根 【经典例题
10、】 类型一、求函数的零点 例 1. 求下列函数的零点. (1) 2 ( )23f xxx； (2) 4 1fxx； （3） 3 ( )4fxxx 【答案】（1）-3 ，1； （ 2）-1 ，1； （3）-2 ，0， 2 【解析】根据函数零点与方程的根之间的关系，要求函数的零点，就是求相应方程的实数根. (1) 由( )(1)(3)f xxx，令0fx，得 12 1,3xx，故函数零点是-3 ，1； (2) 由 42 1111fxxxxx，令0fx得 x=1，-1，故函数的零点是-1 ，1； (3) 令( )0f x，即 3 40 xx， 2 (4)0,x x即220 x xx，得 123 0,
11、2,2,xxx，故函数的零点是-2，0，2 5 【总结升华】 求函数的零点就是求相应方程的实数根，一般可以借助求根公式或因式分解等方法，求出 方程的根，从而得到函数的零点. 举一反三： 【变式 1】求函数： (1) 2 ( )673fxxx； (2) 3 ( )76f xxx的零点 . 【答案】（1） 1 3 , 3 2 ； （ 2）-3 ， 1，2 【解析】 (1) 令 2 ( )6730f xxx，即31230 xx，得 12 13 , 32 xx (2) 方程 3 760 xx可化为 32 2 661611161 161230 xxxx xxx xxx xxxxxx 由1230 xxx知
12、 123 3,1,2.xxx 所以函数 2 ( )673fxxx的零点为 1 3 , 3 2 ；函数 3 ( )76fxxx的零点为 -3 ， 1，2. 【总结升华】 三次因式分解的关键是，裂项后的两组分别要有公因式可提取，函数求零点的题目和解方 程的题目可相互转化. 类型二、函数零点的存在性定理 例 2 1 x与 2 x分别是实系数一元二次方程 2 0axbxc和 2 0axbxc的一个根，且 12 xx， 12 0,0 xx。 求证：方程 2 0 2 a xbxc有且仅有一根介于 1 x与 2 x之间。 证明：令 2 ( ) 2 a f xxbxc 1 x与 2 x分别是实系数一元二次方程
13、 2 0axbxc和 2 0axbxc的一个根， 2 11 0axbxc， 2 22 0axbxc， 故 2 11 bxcax， 2 22 bxcax， 2222 111111 2222 222221 (). 222 3 (). 222 aaa f xxbxcxaxx aaa f xxbxcxaxx 0a， 12 0,0 xx 12 ()()0f xf x， 6 方程 2 0 2 a xbxc有且仅有一根介于 1 x与 2 x之间 【总结升华】这是最基本的题型，所用的方法也是基本方法：只要判断区间a，b的端点值的乘积是否 满足( )( )0f af b，还要看函数( )f x的图象在 a，b上
14、是否是连续曲线即可 解答这类判断函数零点的大致区间的选择题，只需用函数零点的存在性定理依次检验所提供的区间， 即可得到答案 举一反三： 【高清课程：函数与方程377543 例 3】 【变式 1】若函数 3 ( )31, 1,1f xxxx，则下列判断正确的是（） A方程 f（x）=0 在区间 0，1内一定有解 B方程 f（x） =0 在区间 0，1内一定无解 C函数 f（x）是奇函数 D函数 f（x）是偶函数 【答案】 A 【高清课程：函数与方程377543 例 5】 【变式 2】若方程 2 210axx在（ 0，1）恰好有一解，求a 的取值范围 【答案】1, 【解析】（1）当0a时，方程为1
15、0,1x，不满足题意舍去 （2）当0a时，令 2 ( )21f xaxx， 分情况讨论： 0 180, (0,1) a x ， 0 1 8 2(0,1) a x 1 8 a不满足题意舍去 180a， 1 8 a 若(0)1f且(1)0f即21 10a，1a满足题意 若(0)1f且(1)0f即 1a 时，( )0f x的另一解是 1 2 综上所述，满足条件的a的取值范围是1,a 类型三、利用函数图象求函数的零点个数 7 例 3试讨论函数 2 ( )2|1()f xxxaaR的零点个数 【解析】 由 2 ( )2|10f xxxa得 2 2 |1xxa，令 2 2 2 ,0, ( )( )1 2
16、,0, xx x g xh xa xx x ( ),( )g xh x的图象如图所示， ( 2)(0)(2)0,( 1)(1)1ggggg 当11,a即 2a 时，( )g x与( )h x无公共点 当 11a 或 10a ，即 2a 或 1a 时，( )g x与( )h x有两个交点 当110,a即21a时，( )g x与( )h x有四个交点 当10a，即1a时，( )g x与( )h x有三个交点 所以，当2a时，函数( )f x无零点 当 2a 或 1a 时，函数( )f x有两个零点 当 21a 时，函数( )f x有四个零点 当1a时，函数( )f x有三个零点 【总结升华】体现了函数与方程的互相转化，体现了数形结合思想的应用，它对于解决有更多限制条 件的问题提供了一种新的途径 举一反三： 【变式 1】关于 x 的方程 (x 21)2|x21|+k=0，给出下列四个命题： 存在实数k，使得方程恰有2 个不等的实根； 存在实数k，使得方程恰有4 个不等的实根； 存在实数k，使得方程恰有5
