《高中数学新人教A版必修4学案附答案第二章平面向量2.5平面向量应用举2.5.1平面2.5.2向量在物理中的应用举例》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学新人教A版必修4学案附答案第二章平面向量2.5平面向量应用举2.5.1平面2.5.2向量在物理中的应用举例（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 高中数学新人教A版必修 4 学案附答案 2.5 平面向量应用举例 2.5.1 平面几何中的向量方法 2.5.2 向量在物理中的应用举例 学习目标：1. 掌握用向量方法解决简单的几何问题、力学问题等一些实际问题( 重点 )2. 体会向量是一种处理几何问题、物理问题的重要工具( 重点 )3. 培养运用向量知识解决实际 问题和物理问题的能力( 难点 ) 自 主 预 习探新 知 1用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”： (1) 建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题 转化为向量问题； (2) 通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； (3) 把
2、运算结果“翻译”成几何关系 2向量在物理中的应用： (1) 物理问题中常见的向量有力，速度，加速度，位移等 (2) 向量的加减法运算体现在力，速度，加速度，位移的合成与分解 (3) 动量m v是向量的数乘运算 (4) 功是力F与所产生的位移s的数量积 基础自测 1思考辨析 (1) 若ABC是直角三角形，则有AB BC 0.( ) (2) 若AB CD ，则直线AB与CD平行 ( ) (3) 用力F推动一物体水平运动s m，则力F对物体所做的功为|F|s|.( ) 解析 (1) 错误因为ABC为直角三角形，B并不一定是直角，有可能是A或 C为直角 (2) 错误向量AB CD 时，直线ABCD或A
3、B与CD重合 (3) 错误力F对物体所做的功为Fs. 答案 (1) (2) (3 ) 2已知一个物体在大小为6 N的力F的作用下产生的位移s的大小为100 m ，且F与s 的夹角为60，则力F所做的功W_J. 300WFs6100cos 60 300(J) 3设M是线段BC的中点， 点A在直线BC外，|BC 2 | 16，|AB AC | |AB AC | ，则|AM 2 | _. 2 |AB AC | |AB AC | ， AB AC 0， AB AC ， ABC是直角三角形，BC为斜边， |AM | 1 2| BC | 1 24 2. 合 作 探 究攻重 难 向量在平面几何中的应用 (1)
4、 已知非零向量AB 与AC 满足 AB |AB | AC |AC | BC 0 且 AB |AB | CA |AC | 1 2， 则 ABC 的形状是 ( ) A三边均不相等的三角形B直角三角形 C等腰三角形D等边三角形 (2) 已知四边形ABCD是边长为6 的正方形，E为AB的中点，点F在BC上，且BFFC 21，AF与EC相交于点P，求四边形APCD的面积 思路探究 (1) 先由平行四边形法则分析 AB |AB | AC |AC | 的几何意义，由数量积为0 推出 垂直关系，再由 AB |AB | CA |AC | 1 2求 BAC，最后判断ABC的形状 (2) 先建系设点P坐标，再根据A
5、，P，F和C，P，E分别共线求点P坐标，最后求四边 形APCD的面积 ( 1) C(1) 由 AB |AB | AC |AC | BC 0，得A的平分线垂直于BC，所以ABAC，设AB ， CA 的夹角为， 而 AB |AB | CA |AC | cos 1 2， 又0 ， ，所以BAC 3 2 3，故 ABC为等腰三角形 (2) 以A为坐标原点，AB为x轴AD为y轴建立直角坐标系，如 图所示， 3 A(0,0) ，B(6,0) ，C(6,6) ，D(0,6) ， F(6,4) ，E(3,0) ， 设P(x，y) ，AP (x，y) ， AF (6,4) ，EP (x 3，y)，EC (3,6
6、) 由点A，P，F和点C，P，E分别共线， 得 4x 6y0， 6x3 3y0， x 9 2， y3， S四边形APCDS正方形ABCDSAEPSCEB 361 233 1 236 45 2 . 母题探究： 1. 将本例 1(1) 的条件改为 (OB OC ) (OB OC 2OA ) 0，试判断 ABC的形 状 解(OB OC ) (OB OC 2OA ) 0， (OB OC ) (OB OA OC OA ) 0， CB (AB AC ) 0， (AB AC ) (AB AC ) 0， AB 2 AC 2 0，即 |AB | 2 | AC | 20， 所以 |AB | |AC | ， ABC
7、是等腰三角形 2将本例1(2) 的条件“BFFC21”改为“BFFC11”，求证：AFDE. 证明 建立如图所示的平面直角坐标系， 则A(0,0) ，B(6,0) ，C(6,6) ，D(0,6) ，则中点E(3,0) ，F(6,3) ， AF (6,3) ，DE (3 ， 6)， AF DE 633( 6) 0， AF DE ， AFDE. 规律方法 1向量法证明平面几何中ABCD的方法： 法一：选择一组向量作基底；用基底表示AB 和CD ；证明AB CD 的值为 0；给出 几何结论ABCD. 4 法二：先求AB ，CD 的坐标， AB x1，y1，CD x2，y2，再计算AB CD 的值为
8、0， 从而得到几何结论ABCD. 2用向量法证明平面几何中ABCD的方法： 法一：选择一组向量作基底；用基底表示AB 和CD ) ；寻找实数，使AB CD ， 即AB CD ；给出几何结论ABCD. 法二：先求AB ，CD 的坐标， AB x1，y1，CD x2，y2. 利用向量共线的坐标关系 x1y2x2y10 得到AB CD ，再给出几何结论ABCD., 以上两种方法，都是建立在A，B，C， D中任意三点都不共线的基础上，才有AB CD 得到ABCD. 向量在解析几何中的应用 已知点A(1,0) ，直线l：y2x 6，点R是直线l上的一点，若RA 2AP ，求 点P的轨迹方程 . 【导学号
9、： 84352265】 思路探究 设Px，y，Rx0，y0 依据RA 2AP 找x， y与x0，y0的关系 由点R在直线 l得y02x0 6 消x0，y0得x与y 的关系即为所求 解设P(x，y) ，R(x0，y0) ， 则RA (1,0) (x0，y0) (1 x0，y0) ， AP (x，y) (1,0) (x1，y) 由RA 2AP ，得 1x02x1， y02y. 又点R在直线l：y2x 6 上，y02x0 6， 1x02x2， 62x0 2y， 由得x032x，代入得62(3 2x) 2y，整理得y2x，即为点P的轨迹方程 规律方法 用向量方法解决解析几何问题的步骤：一是把解析几何问
10、题中的相关量用 向量表示； 二是转化为向量模型，通过向量运算解决问题；三是将结果还原为解析几何问题. 跟踪训练 1已知ABC的三个顶点A(0 ， 4) ，B(4,0) ，C( 6,2) ，点D，E，F分别为边BC， CA，AB的中点 5 (1) 求直线DE的方程； (2) 求AB边上的高线CH所在直线的方程 解(1) 设M(x，y) 是直线DE上任意一点， 则DM DE ， 因为点D，E分别为边BC，CA的中点， 所以点D，E的坐标分别为D( 1,1) ，E( 3， 1) ， DM (x1，y1)，DE ( 2， 2)， 所以 ( 2)(x1)( 2)(y 1) 0， 即xy20 为直线DE的
11、方程 (2) 设点N(x，y) 是CH所在直线上任意一点，则CN AB ，所以CN AB 0， 又CN (x6，y2) ，AB (4,4)， 所以 4(x6) 4(y2) 0， 即xy40 为所求直线CH的方程 平面向量在物理中的应用 探究问题 1向量的数量积与功有什么联系？ 提示：物理上力作功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移距离的乘积，它的 实质是向量的数量积 2用向量方法解决物理问题的一般步骤是什么？ 提示： 用向量方法解决物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤： 问题转化， 即把物理问题转化为数学问题；建立模型， 即建立以向量为载体的数学 模型；求解参数，即求向量的模、夹角、
12、数量积等；回答问题，即把所得的数学结论回 归到物理问题中 (1) 一物体在力F1 (3 ， 4) ，F2(2 ， 5)，F3(3,1)的共同作用下从点A(1,1) 移动到点B(0,5)在这个过程中三个力的合力所做的功等于_ (2) 设作用于同一点的三个力F1，F2，F3处于平衡状态，若|F1| 1，|F2| 2，且F1与 F2的夹角为 2 3，如图 2-5-1 所示 图 2-5-1 求F3的大小 6 求F2与F3的夹角 . 【导学号： 84352266】 思路探究 (1)求出合力、位移的坐标表示 利用数量积求功 (2) 由三个力处于平衡状态用F1，F2表示F3 用向量模的计算公式求F3的大小
13、用F1，F2表示F3 构造F2F3 利用夹角公式求解 (1) 40 因为F1(3 ， 4) ，F2(2 ， 5) ，F3(3,1) ，所以合力FF1F2F3 (8， 8) ，AB ( 1,4) ， 则FAB 1884 40， 即三个力的合力所做的功为40. (2) 由题意 |F3| |F1F2| ， 因 为 |F1| 1 ， |F2| 2 ， 且F1与F2的 夹 角 为 2 3 ， 所 以 |F3| |F1F2| 14212 1 2 3. 设F2与F3的夹角为， 因为F3 (F1F2) ， 所以F3F2F1F2F2F2， 所以32cos 12 1 2 4， 所以 cos 3 2 ， 所以 5
14、6. 规律方法 向量在物理中的应用： 1求力向量，速度向量常用的方法：一般是向量几何化，借助于向量求和的平行四 边形法则求解 . 2用向量方法解决物理问题的步骤： 把物理问题中的相关量用向量表示； 转化为向量问题的模型，通过向量运算使问题解决； 7 结果还原为物理问题. 跟踪训练 2在静水中划船速度的大小是每分钟40 m ，水流速度的大小是每分钟20 m ，如果一小 船从岸边O处出发，沿着垂直于水流的航线到达对岸，则小船的行进方向应指向哪里？ 解如图所示， 设向量OA 的长度和方向表示水流速度的大小和方 向，向量OB 的长度和方向表示船在静水中速度的大小和方向，以OA ，OB 为邻边作平行四边
15、形OACB，连接OC. 依题意OCOA，BCOA20，OB40， BOC30. 故船应向上游(左) 与河岸夹角为60的方向行进 当 堂 达 标固双 基 1过点M(2,3) ，且垂直于向量u(2,1) 的直线方程为 ( ) A2xy70 B 2xy 70 Cx2y40 Dx2y 40 A 设P(x，y) 是所求直线上任一点，则MP u. 又MP ( x2，y 3) ，所以 2(x2) (y 3) 0，即 2xy70. 2已知点A(2,3) ，B( 2,6) ，C(6,6) ，D(10,3) ，则以ABCD为顶点的四边形是( ) 【导学号： 84352267】 A梯形 B邻边不相等的平行四边形 C菱形 D两组对边均不平行的四边形 B 因为AD (8,0) ，BC (8,0) ，所以AD BC ，因为BA (4 ， 3) ，所以 | BA | 5，而 |BC | 8，故为邻边不相等的平行四边形 3已知作用在点A的三个力f1(3,4) ，f2 (2， 5) ，f3(3,1)，且A(1,1) ，则合 力ff1f2f3的终点坐标为 ( ) A(9,1) B (1,9) C(9,0) D (0,9) Aff1f2f3(3,4) (2 ， 5) (3,1) (8
