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1、1,全微分的定义,小结 思考题 作业,total differentiation,8.3 全 微 分,全微分在近似计算中的应用,第8章 多元函数微分法及其应用,2,函数的变化情况.,偏导数讨论的只是某一自变量变化时,函数的变化率.,现在来讨论当各个自变量同时变化时,3,先来介绍,全增量的概念,为了引进全微分的定义,全增量.,内有定义,函数取得的增量,全增量.,一、全微分的定义,设二元函数z = f (x, y)在点P(x, y)的某邻域,当变量x、y点(x, y)处分别有增量x,y时,称为 f (x, y)在点(x, y)的,4,y = f (x)在点x,可微,一元函数的微分,回忆,成立(其中
2、A是与x 无关的常数),则称函数,5,定义8.6,全微分.,可表示为,可微分,则称函数z = f (x, y)在点(x, y),称为函数z = f (x, y)在点,记作,即,函数若在某平面区域D内处处可微时,则称,可微函数.,这函数在D内的,而不依赖于x 、,处,(x, y)处的,如果函数z = f (x, y)在点(x, y)的全,其中A 、,B仅与x、,y 有关,y,全微分的定义可推广,到三元及三元以上函数.,增量,6,可微与连续有何关系呢？,?,微分系数,全微分有类似一元函数微分的,A = ? B = ?,两个性质:,高阶无穷小.,可微与偏导数存在有何关系呢？,(1) dz是x与y的线
3、性函数;,(2) z与dz之差是比,7,显然,由全微分的定义, 有,可得,多元函数可微必连续,不连续的函数,若函数z = f (x, y)在点(x, y),可微分,一定是不可微的.,定理8.2,则函数在点(x, y)必连续.,证,都不能保证函数在该点连续,数在某点可微是否保证,?,上一节指出,多元函数在某点各个偏导数即,使都存在,函数在该点连续,而多元函,8,可微必可导,定理8.3,(可微的必要条件),若函数z = f (x, y),可微分,且函数z = f (x, y)在点(x, y)的全微,在点(x, y),则该函数在点(x, y)的偏导数,必存在,分为,9,证,总成立,同理可得,上式仍成
4、立,此时,的某个邻域,如果函数 z = f (x, y)在点P (x, y),可微分,可微,可偏导,不可偏导,不可微,10,多元函数的各偏导数存在,如,下面举例说明,二元函数可微一定存在两个偏导数.,一元函数在某点的导数存在,?,但两个偏导数都存在函数也不一定可微.,(由偏导数定义可求得),由定理8.3知:,一元函数的可导与可微的关系?,回忆,微分存在.,全微分存在.,11,则,说明它不能随着,而趋于0,因此,如果考虑点,沿直线,趋近于(0,0),函数在点(0,0)处不可微.,12,说明,这也是一元函数推广到多元函数出现的又,函数是可微分的.,多元函数的各偏导数存在并不能保证,全微分存在.,一
5、个原则区别.,现再假定函数的,则可证明,各个偏导数连续,13,证,在该点的某一邻域内必存在的意思.,定理8.4,(今后常这样理解).,用拉氏定理,(可微的充分条件),假定偏导数在点P(x, y)连续,就含有偏导数,的偏导数,若函数z = f (x, y),则该函数在点 (x, y),可微分.,14,15,同理,故函数 z = f (x, y)在点(x, y)处可微.,因为,16,在原点(0,0)可微.,并非必要条件.,如,事实上,注,定理8.4的条件,(即两个偏导数,点(x, y)连续),可微,仅是函数z = f (x, y)在点(x, y)处,的充分条件,同样,在,17,在原点(0,0)可微
6、.,于是,18,即函数 f (x, y)在原点(0,0)可微.,但是,事实上,偏导数在原点(0,0)不连续.,所以,特别是,不存在.,即fx(x,y)在原点(0,0)不连续.,极限,函数在一点可微,此题说明:,在这点偏导数不一定连续.,19,判别 f (x, y)在点(x0, y0)是否可微的方法:,(1) 若f (x, y)在点(x0, y0)不连续,或偏导不存在,则必不可微;,(2) 若f (x, y)在点(x0, y0)的邻域内偏导存在且,连续必可微;,(3) 检查,是否为,的高阶,无穷小?,即检查,是否为,的高阶无穷小(即极限为0)?,若为0, 则可微,否则不可微.,20,记全微分为,
7、通常把二元函数的全微分等于它的两个偏微分,叠加原理也适用于二元以上函数的情况.,一元函数的许多微分性质,同样有:,习惯上,称为二元函数的微分符合叠加原理.,这里仍适用.,如三元函数u = f (x, y, z),则,之和,(一阶)全微分形式的不变性.,21,解,例,计算函数,在点(1, 2)的全微分.,所以,22,解,例,23,答案,练习,答案,练习,24,解,例,试比较,的值.,25,二、全微分在近似计算中的应用,当二元函数z = f (x, y)在点P(x, y)的,由二元函数的全微分的定义及关于全微分存在,的充分条件可知,两个偏导数fx(x, y), fy(x, y)连续,并且|x|,
8、|y|都较小,时,就有近似等式,上式也可以写成,26,解,例,计算,的近似值.,利用函数,在点,处的可微性,可得,27,考研数学(三, 四)填空4分,练习,解,解,28,若函数 f (x, y)在区域D内具有二阶偏导数, 则,选择题,结论正确的是( ).,(B) f (x, y)在D内必可微.,(C) f (x, y)在D内必连续.,(D) (A), (B), (C)三个结论都不对,29,考研数学一, 3分,考虑二元函数 f (x, y)的下面4条性质:,选择题, f (x, y)在点(x0 , y0)处连续, f (x, y)在点(x0 , y0)处的两个偏导数连续, f (x, y)在点(
9、x0 , y0)处可微,f (x, y)在点(x0 , y0)处的两个偏导数存在.,若用“”,表示可由性质P推出性质Q,则有,30,全微分的定义,全微分的计算,多元函数极限、连续、偏导、可微的关系,(注意: 与一元函数有很大的区别),三、小结,可微分的必要条件、,可微分的充分条件,31,对多元函数的极限、连续、可导、可微的关系:,偏导连续,有偏导,可微,连续,有极限,对一元函数的极限、连续、可导、可微的关系:,可微,可导,连续,有极限,32,是非题,(非),事实上,由偏导数定义可求得,在点(0,0)处有,故全微分不存在.,从而 f (x, y)在点(0,0)的全微分是零.,33,作业,习题8.3,(326页),
