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1、1,数 学 模 型,主讲| 敬成林,2,课 程 简 介,3,第一章 建立数学模型 第二章 初等模型 第三章 简单的优化模型 第四章 数学规划模型 第五章 微分方程模型 第六章 稳定性模型 第七章 差分方程模型 第八章 离散模型 第九章 概率模型 第十章 统计回归模型 附录: 数学建模实验,4,教 学 进 度,5,6,第一章 建立数学模型,1.1 从现实对象到数学模型 1.2 数学建模的重要意义 1.3 数学建模示例 1.4 数学建模的方法和步骤 1.5 数学模型的特点和分类 1.6 怎样学习数学建模,7,玩具、照片、飞机、火箭模型 , 实物模型,水箱中的舰艇、风洞中的飞机 , 物理模型,地图、
2、电路图、分子结构图 , 符号模型,模型是为了一定目的,对客观事物的一部分 进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物,模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征,1.1 从现实对象到数学模型,我们常见的模型,8,你碰到过的数学模型“航行问题”,用 x 表示船速,y 表示水速,列出方程:,答:船速每小时20千米/小时.,甲乙两地相距750千米,船从甲到乙顺水航行需30小时, 从乙到甲逆水航行需50小时,问船的速度是多少?,x =20 y =5,9,航行问题建立数学模型的基本步骤,作出简化假设(船速、水速为常数);,用符号表示有关量(x, y表示船速和水速);,用物理定律(匀速运动的距离等于速度乘以
3、时间)列出数学式子(二元一次方程);,求解得到数学解答(x=20, y=5);,回答原问题(船速每小时20千米/小时)。,10,数学模型 (Mathematical Model) 和 数学建模(Mathematical Modeling),对于一个现实对象,为了一个特定目的, 根据其内在规律,作出必要的简化假设, 运用适当的数学工具,得到的一个数学结构。,建立数学模型的全过程 (包括表述、求解、解释、检验等),数学模型,数学建模,11,1.2 数学建模的重要意义,电子计算机的出现及飞速发展;,数学以空前的广度和深度向一切领域渗透。,数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步, 越来越受到人们的
4、重视。,在一般工程技术领域数学建模仍然大有用武之地;,在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具;,数学进入一些新领域,为数学建模开辟了许多处女地。,12,数学建模的具体应用,分析与设计,预报与决策,控制与优化,规划与管理,数学建模,计算机技术,知识经济,13,1.3 数学建模示例,1.3.1 椅子能在不平的地面上放稳吗,问题分析,模型假设,通常 三只脚着地,放稳 四只脚着地,四条腿一样长,椅脚与地面点接触,四脚连线呈正方形;,地面高度连续变化,可视为数学上的连续曲面;,地面相对平坦,使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。,14,模型构成,用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来,椅子位置
5、,利用正方形(椅脚连线)的对称性,用(对角线与x轴的夹角)表示椅子位置,四只脚着地,距离是的函数,四个距离(四只脚),A,C 两脚与地面距离之和 f(),B,D 两脚与地面距离之和 g(),两个距离,椅脚与地面距离为零,正方形ABCD 绕O点旋转,15,用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来,f() , g()是连续函数,对任意, f(), g()至少一个为0,数学问题,已知: f() , g()是连续函数 ; 对任意, f() g()=0 ; 且 g(0)=0, f(0) 0. 证明:存在0,使f(0) = g(0) = 0.,模型构成,地面为连续曲面,椅子在任意位置至少三只脚着地,
6、16,模型求解,给出一种简单、粗糙的证明方法,将椅子旋转900,对角线AC和BD互换。 由g(0)=0, f(0) 0 ,知f(/2)=0 , g(/2)0. 令h()= f()g(), 则h(0)0和h(/2)0. 由 f, g的连续性知 h为连续函数, 据连续函数的基本性质, 必存在0 , 使h(0)=0, 即f(0) = g(0) . 因为f() g()=0, 所以f(0) = g(0) = 0.,评注和思考,建模的关键 ,假设条件的本质与非本质,考察四脚呈长方形的椅子,和 f(), g()的确定,17,背景,世界人口增长概况,中国人口增长概况,研究人口变化规律,控制人口过快增长,1.3
7、.3 如何预报人口的增长,18,指数增长模型马尔萨斯提出 (1798),常用的计算公式,x(t) 时刻t的人口,基本假设 : 人口(相对)增长率 r 是常数,今年人口 x0, 年增长率 r,k年后人口,随着时间增加,人口按指数规律无限增长,19,指数增长模型的应用及局限性,与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合,适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代,可用于短期人口增长预测,不符合19世纪后多数地区人口增长规律,不能预测较长期的人口增长过程,19世纪后人口数据,20,阻滞增长模型(Logistic模型),人口增长到一定数量后,增长率下降的原因:,资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用,且阻
8、滞作用随人口数量增加而变大,假设,r固有增长率(x很小时),xm人口容量(资源、环境能容纳的最大数量),21,x(t)S形曲线, x增加先快后慢,阻滞增长模型(Logistic模型),22,参数估计,用指数增长模型或阻滞增长模型作人口 预报,必须先估计模型参数 r 或 r, xm,利用统计数据用最小二乘法作拟合,例:美国人口数据(单位百万),专家估计,阻滞增长模型(Logistic模型),23,模型检验,用模型计算2000年美国人口,与实际数据比较,实际为281.4 (百万),模型应用预报美国2010年的人口,加入2000年人口数据后重新估计模型参数,Logistic 模型在经济领域中的应用(
9、如耐用消费品的售量),阻滞增长模型(Logistic模型),24,数学建模的基本方法,机理分析,测试分析,根据对客观事物特性的认识, 找出反映内部机理的数量规律,将对象看作“黑箱”,通过对量测数据的 统计分析,找出与数据拟合最好的模型,机理分析没有统一的方法,主要通过实例研究 (Case Studies)来学习。以下建模主要指机理分析。,二者结合,用机理分析建立模型结构, 用测试分析确定模型参数,1.4 数学建模的方法和步骤,25,数学建模的一般步骤,模 型 准 备,了解实际背景,明确建模目的,搜集有关信息,掌握对象特征,形成一个 比较清晰 的问题,26,模 型 假 设,针对问题特点和建模目的
10、,作出合理的、简化的假设,在合理与简化之间作出折中,模 型 构 成,用数学的语言、符号描述问题,发挥想像力,使用类比法,尽量采用简单的数学工具,数学建模的一般步骤,27,模型 求解,各种数学方法、软件和计算机技术,如结果的误差分析、统计分析、 模型对数据的稳定性分析,模型 分析,模型 检验,与实际现象、数据比较, 检验模型的合理性、适用性,模型应用,数学建模的一般步骤,28,数学建模的全过程,现实对象的信息,数学模型,现实对象的解答,数学模型的解答,(归纳),(演绎),表述,求解,解释,验证,根据建模目的和信息将实际问题“翻译”成数学问题,选择适当的数学方法求得数学模型的解答,将数学语言表述的
11、解答“翻译”回实际对象,用现实对象的信息检验得到的解答,实践,现实世界,数学世界,29,1.5 数学模型的特点和分类,模型的逼真性和可行性,模型的渐进性,模型的强健性,模型的可转移性,模型的非预制性,模型的条理性,模型的技艺性,模型的局限性,数学模型的特点,30,数学模型的分类,应用领域,人口、交通、经济、生态 ,数学方法,初等数学、微分方程、规划、统计 ,表现特性,描述、优化、预报、决策 ,建模目的,了解程度,白箱,灰箱,黑箱,确定和随机,静态和动态,线性和非线性,离散和连续,31,1.6 怎样学习数学建模,数学建模与其说是一门技术,不如说是一门艺术,技术大致有章可循,艺术无法归纳成普遍适用
12、的准则,想像力,洞察力,判断力,学习、分析、评价、改进别人作过的模型,亲自动手,认真作几个实际题目,32,第二章 初等模型,2.1 公平的席位分配 2.2 录像机计数器的用途 2.3 双层玻璃窗的功效 2.7 实物交换,33,2.1 公平的席位分配,问题,三个系学生共200名(甲系100,乙系60,丙系40),代表会议共20席,按比例分配,三个系分别为10,6,4席。,现因学生转系,三系人数为103, 63, 34, 问20席如何分配。,若增加为21席,又如何分配。,比例加惯例,对丙系公平吗,34,“公平”分配方法,衡量公平分配的数量指标,当p1/n1= p2/n2 时,分配公平,p1/n1
13、p2/n2 对A的绝对不公平度,p1=150, n1=10, p1/n1=15 p2=100, n2=10, p2/n2=10,p1=1050, n1=10, p1/n1=105 p2=1000, n2=10, p2/n2=100,p1/n1 p2/n2=5,但后者对A的不公平程度已大大降低!,虽二者的绝对不公平度相同,若 p1/n1 p2/n2 ,对 不公平,A,p1/n1 p2/n2=5,35,公平分配方案应使 rA , rB 尽量小,设A, B已分别有n1, n2 席,若增加1席,问应分给A, 还是B,不妨设分配开始时 p1/n1 p2/n2 ,即对A不公平, 对A的相对不公平度,将绝对
14、度量改为相对度量,类似地定义 rB(n1,n2),将一次性的席位分配转化为动态的席位分配, 即,“公平”分配方法,若 p1/n1 p2/n2 ,定义,36,1)若 p1/(n1+1) p2/n2 ,,则这席应给 A,2)若 p1/(n1+1) p2/n2 ,,3)若 p1/n1 p2/(n2+1),,应计算rB(n1+1, n2),应计算rA(n1, n2+1),若rB(n1+1, n2) rA(n1, n2+1), 则这席应给,应讨论以下几种情况,初始 p1/n1 p2/n2,问:,p1/n1p2/(n2+1) 是否会出现?,A,否!,若rB(n1+1, n2) rA(n1, n2+1),
15、则这席应给 B,37,当 rB(n1+1, n2) rA(n1, n2+1), 该席给A,该席给A,否则, 该席给B,推广到m方分配席位,该席给Q值最大的一方,Q 值方法,38,三系用Q值方法重新分配 21个席位,按人数比例的整数部分已将19席分配完毕,甲系:p1=103, n1=10 乙系:p2= 63, n2= 6 丙系:p3= 34, n3= 3,用Q值方法分配第20席和第21席,第20席,第21席,同上,Q3最大,第21席给丙系,甲系11席,乙系6席,丙系4席,Q值方法分配结果,公平吗?,Q1最大,第20席给甲系,39,进一步的讨论,Q值方法比“比例加惯例”方法更公平吗?,席位分配的理
16、想化准则,已知: m方人数分别为 p1, p2, , pm, 记总人数为 P= p1+p2+pm, 待分配的总席位为N。,设理想情况下m方分配的席位分别为n1,n2, , nm (自然应有n1+n2+nm=N),,记qi=Npi /P, i=1,2, , m,ni 应是 N和 p1, , pm 的函数,即ni = ni (N, p1, , pm ),若qi 均为整数,显然应 ni=qi,40,qi=Npi /P不全为整数时,ni 应满足的准则:,记 qi =floor(qi) 向 qi方向取整; qi+ =ceil(qi) 向 qi方向取整.,1) qi ni qi+ (i=1,2, , m),2) ni (N, p1, , pm ) ni (N+1, p1, , pm) (i=1,2, , m),即ni 必取qi , qi+ 之一,即当总席位增加时, ni不应减少,“比例加惯例”方法满足 1),但不满足 2),Q值方法满足 2),但不满足 1)。令人遗憾!,41,问 题,在一次使用中录像带已经转过大半,计数器读数为 445