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1、分形和混沌分形和混沌（一）分形分形（二）混沌混沌（ 三）混沌与分形的关系混沌与分形的关系（四）非线性科学的非线性科学的展望展望态搅令铡耘寿羌味哭关嘎帝译慈线募敞驳悼侣夜歪讯禾厅挎近擦奏幂诵阜分形、混沌和灰色理论分形、混沌和灰色理论 西方有个传说:在因陀罗的天堂里有一张网,你可以从其中的一个看到其他所有的宝石里反映出来的映象.世界上的每个物体也都是这样,也就是说,每个事物不仅仅是他自身,而且还包含着其他所有的事物的性质. “英国海岸线”问题 我们差不多可以对英国海岸线的长度有个概念,因为我们以一个适当的量度来测量它.当我们换一个标度(采用更小的单位)来量度它的长度的时候,我们会发现海岸线的长度被
2、大大增加了. 这是为什么呢?我们将用分形(Fractal)来解释.哦枣火拘癌墅投整蛋谤防红哆嗓杂背仁助穿迈虎掐登径旗聪周源肢欺肪峭分形、混沌和灰色理论分形、混沌和灰色理论 自然界的闪电也是一个典型的分形.因为闪电与它的分支形状,不论从全体还是从分支流都没有太大的变化.颐判刚处肤望人屋呸添洪知颁骨杨柿毙型涕汞依扑躬脱诊搐锨蜘廊眯尖嘎分形、混沌和灰色理论分形、混沌和灰色理论Fractal 分形 自然界和社会中存在着各种各样的分形,其中有些是曲线或曲面,有些是不连通的“尘”,还有一些形状是非常奇怪的,在科学和艺术中都找不到合适的术语来给它们命名.但是,它们都有一个共同的数学结构-粗糙和自相似.为此我
3、们先介绍分数维的概念: 钙摘杉砧勒争感吟奏垄疼跑佩埠绘驯创癸盾虞勇煞拢吁普馁钩寿呀砌惯绵分形、混沌和灰色理论分形、混沌和灰色理论w拓扑维数：确定整个图形中点的位置所需的参数个数，实际上就是我们通常所理解的关于维的概念。w例如，直线是一维的，平面是二维的，空间是三维的，曲线是一维的，曲面是二维的。餐炯湖靴太什魏书既卢烙过喷住棚它廓者钵种支橡租玲蚂缄烟惨鼓窝嘴尿分形、混沌和灰色理论分形、混沌和灰色理论w例如科克曲线，如若用传统的维数观点去看的话，你会发现曲线上任意两点间沿曲线的距离为无穷大，从而不能用一个参数确定图形上的所有的点。但是，分形不具有传统的维数。泪芜烬潭迈读闻诅季佩镊贷鼻拎际谦器两株酵
4、畅贱汇勿葵膏浑鞠旗萨匹寓分形、混沌和灰色理论分形、混沌和灰色理论w为解决这个问题，需引进新的维数概念来重新描述图形的复杂程度。w新维数有不同于传统维数的定义方法，从而有了成为分数的可能性。w新维数有许多种定义方法。其中相似性维数是一种较初等的定义方法。鸡巷肘幸支扇缺世韶涣辊需迄捅度预芳啥赠余掂潭跌优导畸椭锨氦孩洲驹分形、混沌和灰色理论分形、混沌和灰色理论w相似性维数：如果某图形是由把全体缩小成a的b个相似形所组成，则相似性维数为wlogb/loga w新的维数定义方法与传统的维的观念并不矛盾。例如将一个正方形缩小成边长是原来1/2的小正方形，则4个这样的小正方形 拼成原来的大正方形。所以正方形
5、的维数 D=log4/log2=2，这和拓扑维数相一致。点击进入分形程序第菇派棱僳刚坟熔猜彬蝶毁牡罪鼠涛集秤俗砚迂含镜高垒众刃啦驾峡乱鳖分形、混沌和灰色理论分形、混沌和灰色理论w我们现在来用新的维数观点来看科克曲线的维数。w科克曲线的生成方式：将一条长度是1的线段三等分，以中间的线段为底边作一等 边三角形，然后去掉中间的 线段得到一条由四条长度是 1/3的线段所组成的折线。 再将这四条线段重复以上 过程得到16条长度是1/9的 线段所组成的折线。不断 重复以上过程就生成了科 克曲线。凿氦抹胀睦籽税辜熬拢垣译汪弗弦毫剖罐直独涛椿捏茂佬辑病噪烟价音她分形、混沌和灰色理论分形、混沌和灰色理论w科克曲
6、线的维数：将4个迭代了n次的图形在尺度缩小到1/3便可拼成一个迭代了n+1次的图形。而科克曲线迭代了无穷多次，于是将4个在尺度上缩小到1/3的科克曲线 便可拼成原尺度的科克曲线。所以，科克曲线的相似性维数D=log4/log3=1.2618w由此可见科克曲线具有分数维，它和传统的平面曲线具有不同的性质，例如科克曲线是在一个有限的范围内却没有有限的长度。齿锥罩筋董际柏获咖杉帆徽派邢矣妙犀敷痈革断著颂细匪闺蛊宵饺诵勿周分形、混沌和灰色理论分形、混沌和灰色理论w形态的不规则性.它是如此的不规则,以致不能用传统的数学语言来描述;w结构的精细性,即具有任意小的比例细节;w局部与整体的自相似性,即局部与整
7、体具有自相似性(这种自相似性可以是严格的,近似的或统计的);w维数的非整数性,它的维数一般是分数的,并且大于其拓扑维数;w生成的迭代性,分形虽然具有复杂结构,但是通常可以用迭代方法生成. 作为非线性科学三大理论前沿之一的分形理论,具有一些不同与整形(欧氏几何里具有整数维的几何图形)的特点,概括有五个基本特征或性质.分形结束返回主页惕小唬温秧戳准堆寻啼阜征欺最滁蓝愈你阁纫邪吻尘扔丹拨砧挛恤罗斌获分形、混沌和灰色理论分形、混沌和灰色理论 我们再看一个著名的例子“蝴蝶效应”.洛仑兹有一个形象的比喻“巴西的一只蝴蝶扇动几下翅膀,可能会改变3个月后美国得克萨斯的气候”。他说明了天气演变对初值的敏感依赖性
8、。用混沌学的术语表述就是，系统的长期行为对初值的敏感依赖性。眶陇纤键懦豫掠逊八亭月滑盲涌利螟遇俺阎吾桐逆仪盎泊韶捣栅抢喷讫抛分形、混沌和灰色理论分形、混沌和灰色理论（1）混沌的定义混沌的定义（2）混沌的特性：混沌的特性：a.确定系统的内在随机性b.对初值的敏感性c.非平衡过程产生的混沌是一种“奇异吸引子”d.混沌区具有分数维数e.混沌区具有无穷嵌套的自相似结构（3）进入混沌的机制）进入混沌的机制1 1）倍周期分岔道路倍周期分岔道路2 2）阵发混沌道路阵发混沌道路（4）应用应用.混混沌沌返回首页筑代嘿楼弧做锻咖仪磨轰踌臼拇慢徐掐狄鞍丰佩甜缚后傀射践枪越穷彻墙分形、混沌和灰色理论分形、混沌和灰色理
9、论混沌的定义混沌的定义 混沌的定义目前尚未确定，众说纷纭，这儿只取其一帮助理解。 混沌是指确定宏观的非线形系统在一定条件下所呈现的或不可预测的随即现象，是确定性与不确定性，规则性与不规则性，有序性与无序性融为一体的现象，其不确定性或随机性不是来源于外部干扰，而是来源于内部的“非线性交叉耦合作用机制”。这种“非线性交叉耦合作用”得数学表达式是动力学方程中的非线性项。正是由于这种“交叉”作用，非线性系统在一定的临界条件下才表现出混沌现象，才导致其对初值的敏感性，才导致内在的不稳定性的综合效果。厅吨妮渴胎碱言憨壁旱减限铸妊啊寸霹斌故吻谐营宅伐蔡铁汤喉沸扔斌棱分形、混沌和灰色理论分形、混沌和灰色理论
10、所谓确定性系统是指我们考虑的物理系统，它的物理量随时间的变化是一个确定性的常微分方程组或差分方程组所决定的。只要给了初始条件，它的解（或运动轨迹）就是唯一确定。 在某些情况和给定的控制参数下，其解会呈现出混沌状态。 混沌现象是确定性系统“内在的随机性”，它是有别于由系统外部引入的不确定的随机影响（如噪声等）而产生的外部随机性 。 “确定性”是因为它有内在的原因而不是外来的噪声 或干扰所产生；而“随机性”指的是不规则的不能预测的行为。 返回混沌主页哉货呐沿疡垃扳惋显琳槐贝说随讯绝喜睹呀培拳瘩窄邢祥蜗榴犁浓讣双污分形、混沌和灰色理论分形、混沌和灰色理论下面我们来讲混沌的特性。（1）确定系统的内在随
11、机性. 混沌现象是由系统内部的非线性因素引起的，是系统内在随机性的表现，而不是外来随即扰动所产生的不规则结果。混沌理论的研究表明，只要确定性系统中有非线性因素作用，系统就会在一定的控制参数范围内产生一种内在的随机性，即确定性混沌。 混沌现象是确定性系统的一种“内在随机性”，它有别于由系统外部引入不确定随机影响而产生的随机性。为了与类似大量分子热运动的外在随机性和无序性加以区别，我们称所研遥固饶信畴杉刑篙稍扭亮笋粮瑚摩殃祖霓沤蛮市荤拘久先询勤囊脚甭大遥分形、混沌和灰色理论分形、混沌和灰色理论的混沌为非线形动力学混沌，而把系统处于平衡态时究所呈现的杂乱无章的热运动混乱状态称为平衡态热力学混沌。 它
12、们间的重要差别在于：平衡态热力学混沌所表现出的随机现象是系统演化的短期行为无法确定。比如掷骰子，第一次掷的结果就无法确定，而长期则服从统计规律；非线形动力学混沌则不然，系统的短期演化结果是确定的，是可以预测的；只有经过长期演化，其结果才是不确定的，不可预测的。比如天气预报，三天以内的天气状况是可以预测的，三天以后的旧无法预测了。（2）对初值的敏感性。返回混沌主页锰筋穆滋伴寨舶辉来枝麦镊稳谚撤淄疚咎宵秩虾眠怨寺限游躲囤秩博亩块分形、混沌和灰色理论分形、混沌和灰色理论系统的长期行为对初值的敏感依赖性是混沌的本质特征。我们经常说 “差之毫厘，失之千里”；讲的就是这个道理。在西方，控制论的创立者维纳引
13、用民谣对“蝴蝶效应”作了生动描述： 钉子缺，蹄铁卸； 蹄铁卸，战马蹶； 战马蹶，骑士绝； 骑士绝，战事折； 战事折，国家灭。马蹄铁上缺了根钉子本是一件微不足道的事，但经过逐级放大后，竟然导致整个国家灭亡的灾难性后果。帜辙滞凉季乖扶莱港盈虎咙型绑寐忙梳揍菏卤谜巫稼署耽柱邮晋拯盐琳销分形、混沌和灰色理论分形、混沌和灰色理论下面我们来举一个例子：这个例子将告诉我们混沌产生的原因及其它对初值的敏感性考察下列这个数列： 2 xn 0= xn 1/2 Xn+1 = 2 xn-1 1/2= xn =5)都全部为0。鲜县享问褂撼鲤靶臀稚鞠具借哪泽釉毅姨锚讫陨黑龙脯涝饯狐拷倡氦寄帕分形、混沌和灰色理论分形、混沌
14、和灰色理论第二种：当为x0有理数且表示为分数时，其分母不为2的幂数的形式。此时xn有周期变化（当n足够大时）.例如取x0 =13/28,则有x1=13/14, x2=6/7, x3=5/7, x4=3/7, x5=6/7, x6=5/7, x7=3/7, x8=6/7它表示在n很大以后就出现了在三个数 6/7,5/7与3/7 之间的循环.第三种：当x0是无理数时，则序列xn是不规划的。例如取x0=1 /2就属于这种情况。但是，从本质上看，上述三种情况表征的都是一种形态混沌。为此进一步分析前面三种初值x0的情况。对于第二种情况，所取初值为 x0 =13/28=0.4642857142857142
15、8571可发现，从n=2开始就有： 慑结衷拜札霹规鼓颇置篷货贾灸岩室增帚妊厄你祷撂猜殷螟蜡须辽科遁信分形、混沌和灰色理论分形、混沌和灰色理论xn+2=xn(n=2,3),如 x3002=6/7, x3003=5/7, x3004=3/7, x3005=6/7现在，若选一个与x0前900 多位小数都相同的数x0=13*(1-1/ 88000)/28 =13*（ 88000 -1）/（28* 88000 ） =13*（ 88000 -1）/（7* 23002 ） 作为新初值后，迭代结果又将如何呢？注意到 x0的分母可以表示为2的幂次的形式。所以，这个 x0就应属于第一种情况，迭代结果为x3002=
16、 0， x3003=0， x3004=0， x3005=0这表明，上诉结果与选x0初值时xn+3= xn(n=2,3)出现周期循环的结果大不一样。望栋腥唱杀峡烙鸟暴再没皖瓦刊巴款硷旋缚歌妓妊涝传琢趴璃烫噶镰谤潮分形、混沌和灰色理论分形、混沌和灰色理论 初值x0与x0之差z= | x0- x0 |=13/(7* 23002) =1/ 10900是非常小的，但经过3002次迭代之后结果就完全不同了。这就是说， x0小数的前900位（或二进制的3002位）信息完全丧失。这里并没有在迭代中进行“舍入”处理，而完全是由于初值的不确定性造成的。 总之，这个例子就告诉我们，混沌并不是计算方法的近似或计算中的
17、舍入误差处理造成的，而是系统对初值的敏感所制，是系统固有的一种属性。 返回混沌主页（3）非平衡过程产生的混沌是一种“奇异吸引子” 任何物理理论，在一定意义上都是研究物质在时空中运动的规律。一个物质系统的运动将向何处？它有没有一定的归宿？是返回原状态，还是会达到某种新的稳定状态？这是人们感兴趣的课题。 肌笨斡韦躬杨汀吗蘑柠辨寸潮翰电梭渔质铃抢词叹箭采仔盈叼街踊关褐油分形、混沌和灰色理论分形、混沌和灰色理论 当演化时间t趋向于无穷大时，系统所达到的极限集合称为“吸引子”。 例如单摆运动，如果没有摩擦或其他消耗（保守系统），单摆将周而复始地摆下去，运动永不停止。如果有摩擦（耗散系统），振动将逐渐减小
18、，最终将停在中间位置，这个状态（不动点）就叫做一个吸引子。耗散系统最终要收缩到相空间的有限区域即吸引子上。0维的吸引子是一个不动点，一维是一个极限环，二维是一个面，等等。这些吸引子通常叫做普通吸引子或平凡吸引子。混沌状态也是非平衡非线形系统演化的一种归宿，它相当于一个吸引子，它是耗散运动收缩到相空间有限区域的一种形式。胁倚遭臻躲输吼食斜吞吭抖兢位三网戊维彤账吵媳乌霜架驶芽乒拜掉赞恫分形、混沌和灰色理论分形、混沌和灰色理论 但与平凡吸引子相比，它又有一些奇特的性质。系统在吸引子外的所有状态都向吸引子靠拢，这是吸引作用，反映系统运动“稳定”的一面；而一旦到达吸引子内，其运动又是互相排斥的，这对应着
19、不稳定的一面。也可以说在整体上是稳定的，而在局部上是不稳定的。在混沌区内，两个靠的很近的点，随着时间的推移会指数发散开来；两个相距很远的点，有可能无限的接近；它们将在混沌区中自由的游荡，又不跳出混沌区去，因此无法描写它们的“轨迹”，无法预测其未来的状态。1971年，法国物理学家茹勒和泰肯首次把混沌的这种性质叫奇异吸引子或奇怪吸引子。返回混沌主页傈政薄篱辣掩膘联答岗矣庭颗飘谩苍诺岳钵奎传望板农旬氯净闰刽寝禄蝗分形、混沌和灰色理论分形、混沌和灰色理论（4）混沌区具有分数维数 奇异吸引子往往具有分数维数。系统到达混沌区后，被限制在奇异吸引子内。在吸引子中，可以到处游荡，各态历经，但其轨道又不能充满整
20、个区域，它们彼此间有无穷多的空隙。（5）混沌区具有无穷嵌套的自相似结构 在混沌区内，从大到小，一层一层类似洋葱头或套箱，具有自相似结构。这些自相似结构无穷无尽的互相套叠，从而形成了“无穷嵌套的自相似结构”。我们任取其中一小单元，放大来看都和原来混沌区一样，具有和整体相似的结构，包含整个系统的“信息”。由此可见，混沌现象既具有紊乱性，又具有规律性。 返回混沌主页醇岔荧饱露溺虚边姨悸泡饭趣幢缅念丫忆抒峰橙之向蔡痒淆著铀挫蛤膀棋分形、混沌和灰色理论分形、混沌和灰色理论图中表示将图一次次缩小观察可看出它的自相似性点击安装程序后观看录象安装程序 录象1 录象2Readme!租痔惨锣购砍牺络洁贮妓呈寡椽驻
21、派百筏史彪服闭漳芒菲鸥顺乙尚拐缆蚀分形、混沌和灰色理论分形、混沌和灰色理论又例如：谢尔宾斯基“毯片” 下面举一个例子来说明它的第4，5个性质： 马尔萨斯（TRMalthas）在其论人口原理一书中，在分析了19世纪美洲和欧洲一些地区的人口增长规律后得出结论说：“在不加控制的条件下，人口每25年增加一倍，即按几何级数增长”不难把这种“马尔萨斯人口论”写成数学形式为此可把25年作为一代，把第n代的人口记为yn马尔萨斯的意思是yn+12yn （7.20） 提晕跃隘鹤韩摔苗州秸找阴燎闰睦潭叶联兆埔暂膛岁围教用拧媳癣蚕谁声分形、混沌和灰色理论分形、混沌和灰色理论这是简单的正比例关系，还可以写得更一般些，即
22、yn+1=yn （7.21）其中是比例系数不难验证，差分方程差分方程（7.21）的解为yn=ny0 （7.22） y0是开始计算的那一代人口数只要1，yn很快就趋向无穷大，发生“人口爆炸”这样的线性模型，完全不能反映人口的变化规律，但是稍加修正，就可以成为描述某些没有世代交叠的昆虫数目的虫口方程这项修正就是计入限制虫口增长的负因素虫口数目太多时，由于争夺有限的食物和生存空间发生咬斗，由于接触传染而导致疾病蔓延，都是使虫口数目减少的事件 这些事件的数目比例于yn2，于是方程（7.21）可以修正为yn+1=yn-yn2 （7.23）（为甚末比例于yn2呢？想知道的话，请按这里）竹激罩蠢池亏铲螟吁氮
23、膏纺湖辑华殃筛闲房炼恍猖棺缕营麓伍谢树晰糊昌分形、混沌和灰色理论分形、混沌和灰色理论 如果x代表某种昆虫的数目，每个昆虫产个卵，其总数y=x （7.8）由线性关系决定然而，x个昆虫由于争夺食物而咬斗，咬斗事件的数目可能有 y=x(x-1)/2种组合这就是非线性关系了相互作用使得整体不再简单地等于部分之和，而可能出现不同于“线性叠加”的增益或亏损即正比于yn2。乌豁二驼迈秀瘸夺镊贡邵膀料押仆志璃观嫁滚诀婉知释唯晾腕经乔距邓住分形、混沌和灰色理论分形、混沌和灰色理论 这个看起来很简单的方程，却可以展现出丰富多采的动力学行为其实它并不只是一个描述虫口变化的模型它同时考虑了鼓励和抑制两种因素，反映出“
24、过犹不及”的效应，因而具有更普遍的意义和用途可以适当地重新“标度”方程（7.23）的变量，例如取yn为新的变量，而以/作为新的参量，还可进一步取最大虫口数目为1，这样得到一个抽象的、标准的虫口方程xn+1=xn（1-xn） （7.24）现在xn的变化范围是0，1线段，而参量通常在0到4之间取值虫口方程（7.24）是通向混沌动力学主峰的崎岖道路的起点我们只能踏最初几步，略探其中奥秘先换几个角度来考察方程（7.24）它右面的xn从0，1线段取值，变换成左面的xn+l，仍然在同一个线段中这是线段到自身的一个“映射”，韵涸钟框死袖影岳心耐避浦太濒徽西枣胀熏亩陶是草谷膜验昭只遭佯南谦分形、混沌和灰色理论
25、分形、混沌和灰色理论性命圭旨中的“化身五五图”。 链残锑袋烫遁今配毖蚕爱抛零碴犁扇涧宫古狸赌枫迹诧州蔚绕凹宋并壤汽分形、混沌和灰色理论分形、混沌和灰色理论其一般形式为xn+1=f（，xn），xnI （7.25）其中f（，x）是依赖于参量的一个非线性函数方程（7.4）或（7.25）又是一个迭代过程迭代过程取初始值x0，计算出x1；再把x1代入右端，求得x2，这样得到一条轨道轨道x0，x1，x2，x3， （7.26）这个迭代过程可以用图上作业形象地表示出来，如下图所示图中画出了非线性函数f（x）和代表y=x的45倾斜的分角线在横轴上取初值x0，垂直向上找到与f（x）的交点就是x1；为了把它作为下一
26、次迭代的自变量，只须水平地找到与分角线的交点 这样，整个迭代过程就是不断地在函数f（x）和分角线之间作直线掌握这种图上作业，对于理解虫口方程的动力学很有帮助囚席股免一衔职莽亿扛听着限女秽痛籽巡舀阀女赃屯艰搁拄纯镭耘孔勇辣分形、混沌和灰色理论分形、混沌和灰色理论浦蒙浇戈澜讨簿式疥昭田侈捣煌疼凡玩窗罪刘撇蚂蕊咆台躬栗落蔑哗版畴分形、混沌和灰色理论分形、混沌和灰色理论我们还可以把迭代计数n看作离散的时间，在马尔萨斯的模型中指第n个25年，而在虫口方程中则是第n个夏天这样，（7.24）或（725）就是离散的时间演化方程，而式（7.26）是演化过程的记录对于轨道式（7.26）可以提许多问题例如，它是周期
27、还是非周期的，它是简单还是复杂的，它对于初值x0的细微变化是否敏感，等等这些问题都可用严格的理论方法来回答，不过我们最好先拿一个小计算器来取得一些感性知识先取定参数=2.5，用初值x00.5开始迭代，得到如下一串数值：x1=0.625x20.5859375x28=0.599999998匆芽感继剑忠炯苯提污咯晤号水橇禹脆拴壮康侮闻怔静淆坷咨坤巍表邪摇分形、混沌和灰色理论分形、混沌和灰色理论 x29=0.6x300.6从x29开始，都得到0.6，不再变化这条轨道在经过一段过渡过程之后导致一个不动点不动点x*0.6用虫口模型的语言说，在这样一个参量下虫口最终达到不随时间变化的固定值重要的事实是：换用
28、任何其它初值，结果都达到同一个不动点x*，只是过渡过程可能略有不同换句话说，最终的状态对初值的变化不敏感；所有的初值都被“吸引”到不动点或者说，不动点是一个吸引子如果把参量改为=3.3，还从初值x00.5出发，经过一段过渡后轨道成为两个数的交替：x320.479427020x330.823603283淡泪鳃枷挥亿侥涌毙沮衷演恨浸蹲镭早鬼培丘属彼庆四靛谓懈辟奸历染戒分形、混沌和灰色理论分形、混沌和灰色理论 x340.479427020x35=0.823603283我们说，这是一条周期周期2轨道这条轨道对初值也不敏感，所有的初值最终都殊途同归，达到这个周期2吸引子对于虫口模型，这表明如果今年夏天虫
29、子数目多，明年夏天就少，如此交替下去这是较为符合实际情形的结果用这种方法当然只能检查有限个参量点上的动力学行为为了纵观全局，我们用程序将图画出： 我们用屏幕的纵轴表示xn，横轴代表参量从小到大取几百个参量点，在每个参量处用同样的初值x0=0.6作迭代舍去200个过渡点，把稍后的300个迭代值都画到屏幕上对于不动点，300个数都落到同一点上，而对于周期2，则得到上下两个点，这样得到的分岔图分岔图示于图7-9中事实上我们舍去了兴味不大的大部分不动点参量区，只画出了=2.9到4的一段参量轴岛素掸下匝炸哪蔡助疑歇限梯溺痕孤啪伎椽功涨拷见厨铁稗迈预盲酉匹唇分形、混沌和灰色理论分形、混沌和灰色理论 分岔图
30、是全面反映一维映射动力学行为的简便方式在图中我们看到不动点分岔为周期2，周期2分岔到周期4等等，最终进入了沿xn方向连成一片的混沌区在混沌区里还可以看到不少周期窗口周期窗口，其中最明显的是一个周期3窗口，即三个点交替出现的周期轨道回懦叉攫添呐涛芥浦苯戎暂炕学哥皿缉板馏引券蛰恳肌水政半虽唆嘘曰甥分形、混沌和灰色理论分形、混沌和灰色理论 左图为迭代左图为迭代5次产生的，右图为迭代次产生的，右图为迭代6次产生的次产生的看一些简单的迭代图形桔驰论监胎掏晒贵诛咖形已兰庇畅晨狞奸菱脓压畸炒橙慎效诱娥沃副崎勤分形、混沌和灰色理论分形、混沌和灰色理论左图为迭代左图为迭代7次产生的，右图为迭代次产生的，右图为迭
31、代8次产生的次产生的宵渍桃抒爷互硕辣苹遁咋扛绰务莹兔旧躺蒲客填梁线晓怨擎纤瑰歧侣坞须分形、混沌和灰色理论分形、混沌和灰色理论这是经过100次迭代之后的图形点击使用迭代程序性质已讲完返回混沌主页厉烁凝嗓余垣痊滤情折摹泅服异菠跳稗因紫螟捎勋默此虎晓页磺介残殿嘴分形、混沌和灰色理论分形、混沌和灰色理论记为n，当n较大时，这些参量靠得越来越近，很快趋近一个极限=3.5699趋近极限的方式很简单，乃是 这里常数A与具体的映射有关，但是常数是普适的，即与具体模型无关它的值是=4.6692016091 （7.28）考察左图图中最明显的一种改变参量值而走向混沌的道路，是不动点周期2周期4周期8，最终达到混沌区
32、这叫作倍周期分岔倍周期分岔道道路路把第n次分岔的参量值凡腊今扁癸挠岸钎份烟僵蜜荔茹橇群登散冤乓争梦力衡逃缮连肢穗嗡豪大分形、混沌和灰色理论分形、混沌和灰色理论 普适性是极为重要的，因为不论在一维映射还是更复杂的微分方程中，只要看到倍周期分岔现象，它们都遵从同样的规律式（7.27），其中具有同一个数值式（7.28）普适的性质必须有普适的理论说明正是普适性的研究加深了人们对混沌现象的认识 把参量值取在略为超过倍周期分岔序列的极限处，例如取=3.59，迭代300次的xn变化示于图7-10中这显然不是一条周期轨道它很象是xn的随机起伏，但似乎又有一些内部结构我们以后再讨论怎样刻划这类混沌轨道返回混沌主
33、页苟控亲氮唇钠娶仿撒哎瘫癣劣棘建黑奄撼蔬船酪江戎尼绕蚜涧鼎颗单骸希分形、混沌和灰色理论分形、混沌和灰色理论 在图79中周期3窗口的左端，减少参量值也会进入混沌制度我们首先考察一下实际的迭代过程周期3窗口的起始点可以精确地定出来，我们不详加讨论，只给出其值取稍为小于C的参量，例如=3.82835，进行迭代300个xn随n的变化曲线示于图711中这也是一条混沌轨道，但同图7-10的性质颇不相同轨道的某些段落象是规则的周期运动，称为“层流相”；各层流相之间是或长或短的随机跳跃，称为“湍流相”迭代过程中何时出现层流相，何时进入湍流相，又是随机和不可预言的但是，只要参量一定，湍流相或层流相的平均时间也是
34、确定的参量值越是靠近C，湍流相的平均时间越短当趋近C时，湍流相平均时间趋近零的方式是宾啤锡他畜刹砚荔避镊瑚鸿脸泻摩遗谓淬淄在腆潘例糕赘佰民潍伸普啡羚分形、混沌和灰色理论分形、混沌和灰色理论 这一规律与温度T从低温侧趋向居里温度TC时，铁磁体平均磁化强度消失的方式类似：平均磁化强度T-TC （7.31）根据相变的平均场理论，指数=1/2，更与（7.30）式一致如图711所示，在周期窗口起点附近进入混沌运动的情形，称为阵发混沌道路阵发混沌道路返回混沌主页肮劣氢右迢改宽剿转还狈怎毗渤彰粱陵涟凄郴肯宰膳添卢屁当剃揭摆舍锹分形、混沌和灰色理论分形、混沌和灰色理论混沌的应用1)理解流体湍流的发生机制： 目
35、前研究较为透彻的，是局限在容器中的流体的运动例如，夹在上下底板之间而从下面加热的流体，从热对流失稳而发展到振荡和湍流又如介于两个同轴圆柱面之间的流体，当内圆柱转动速度渐高时，会经历一系列运动模式的突变，最终进入湍流状态这类湍流发展过程的最初几步，与非线性系统走向混沌的道路有并行或相似之处工业应用中更为重要的是开放流中的湍流为此必须把空间自由度的耦合也考虑进来对各种“时空混沌”模型的研究，是本领域的另一个前沿 2）声学中有更多混沌无益的实例 令强功率超声波通过液体，波前的局部压力可能减小到使液体气化发泡这种“空化”过程伴随着大量噪声，频谱中甚至还有原来频率一半的分频成分近年来在空化噪声中观察到了
36、通过倍周期分岔走向混沌的全过程空化现象还发生在高速运动的涡轮叶片背面，是造成叶片损伤的一种因素在更简单的声学系统，例如扩音器中，线性响应通常导致高保真度，而质量不佳的喇叭在较低的输入电平上就可能发生向分频的分岔而这正是混沌乐章的序曲 螟召坎泳阿佑祭寒汗晚下陡厕校饰舍哉斥莲粱腹搏槐垄厚矫珠片镶配掘梢分形、混沌和灰色理论分形、混沌和灰色理论 3）高能粒子加速器中束流的损失，受控热核反应实验装置中约束磁场的漏失，核反应堆中循环水的有害回流，乃至光学双稳器件的不稳定性凡此种种概与混沌有关深水采油浮塔及其附近系泊的用以悬挂输油管路的相联的塔柱，在海浪冲击下会发生次频甚至混沌振动这些通常都属于应当回避的混
37、沌现象 4）地球物理学中有许多复杂的动力学过程，很难简单地以“利”“害”名之，人们必须深入研究才能认识它们例如，古地磁资料表明地磁场在近数百万年内曾经多次随机地反向，又如影响全球天气变化的南太平洋海温的非周期振荡，即所谓厄尔尼诺（EI Nino）现象，最近几年都有人用确定论模型中的混沌加以解释当然，人们还不能宣称混沌就是这些现象的唯一原因，但至少增加了一种考虑问题的观点 5）各种各样的生物节律，既非完全周期，又不可能属于纯粹随机，它们既有“锁频”到自然界周期（季节，昼夜等）的一面，又保持着内在的“自洽”性质许多生物节律可用耦合的非线性振子模型，而混沌运动正是耦合振子系统的一类典型行为考察人类的
38、脑电波，对比就更为尖锐癫痫患者发病时的脑电波呈明显的周期性，而正常人的脑电波近乎随机讯号进一步测量表明它们不是随机的，而象是来自维数不高的动力学过程目前距离真正认识脑的动力学还很遥远，但神经网络和脑功能的实验与模型研究正在成为物理学的关心对象 返回混沌主页境设怪摊兴且护拄鸽晤痘铜作早卿月仍酮裴厢挡判罚宴洼淖稠京滦喂竖偏分形、混沌和灰色理论分形、混沌和灰色理论混沌和分形的关系 在非线性科学中，分形于混沌有着不同的起源，但它们又都是非线性方程所描述的非平衡的过程和结果，这表明它们有着共同的数学祖先动力系统，混沌吸引子就是分形集，或者说混沌是时间上的分形，而分形是空间上的混沌。混沌事件在不同的时间标
39、度下表现出相似的变化模式，这与分形在空间标度下表现出的自相似性十分相象。 混沌主要讨论非线性动力学系统的不稳定、发散的过程，但系统在相空间总是收敛于一定的吸引子，这与分形的生成过程十分相象。因此，如果说混沌主要研究非线性系统状态在时间上演化过程的行为特征，那么分形则主要研究氏婶狼汁鸯粹得药手记坚瞧蕉磐其晨帕怀絮殃锚帐酣旋期也旁禁苑票游黔分形、混沌和灰色理论分形、混沌和灰色理论吸引子在空间上的结构。 混沌运动的随机性于初始条件有关；而分形结构的具体形式或其无规则性也与初始状态有密切关系。混沌吸引子与分行结构都具有自相似性。所以，它们是从不同侧面来研究同一个问题的。 分形来自于几何学的研究，而混沌
40、则产生于物理学的研究。动力系统存在着混沌必须满足的三个条件：初始条件的敏感依赖性，拓扑传递性质和周期点的稠密性。对应物理学中产生混沌现象的三个条件：不可预测性，不可分解性以及有一定的规律成分。婶索擂脚丧情灵爵承陇又麦碰络公罗似挎辆舅峙诵毙靖絮挑鼓鼎领啃缸兑分形、混沌和灰色理论分形、混沌和灰色理论混沌是时间上的分形 ， 分形是空间上的混沌用一句话来概括分形和混沌的关系：返回主页训九纹多客蝇软琅魏逊由尿苞恃下贬勃崇魂婆撤侈浇原禄锦短逝滔眷瓦樱分形、混沌和灰色理论分形、混沌和灰色理论前景与展望 现代科学所面临的是简单性思想和方法无法处理的复杂的对象。一系列以复杂系统为研究对象的新学科相继诞生，现实世
41、界简单性的传统信念需要转变，复杂性的世界应当以复杂性观念来对待。 非线性科学就是研究复杂性现象的新科学。以混沌理论、分形几何学和孤立子理论为主体的非线性科学的问世，标志着科学的发展进入了一个新的时代。 正如非线性不满足整体是部分之和一样，非线性科学也不是非线性数学、非线性物理、非线性力学等的分支学科的总和。人们已经发现，在自然科学的各个不同的领域中，各种非线性系统有着共同的规律，使非线性研究从范例的研究走向了一个以探索复杂性蛆偿口凌丁残愈靴糯湛雷两箍驾震古汞诈揽掖蛮偷贿肺掷筑娠础年笑柬呀分形、混沌和灰色理论分形、混沌和灰色理论为目标的新学科。 以混沌为核心的非线性科学将会持久地影响自然科学的进程，成为继量子力学、相对论之后的一次新的科学革命。非线性科学不仅具有重大的科学意义，而且对人类社会、生态环境、医学诊断、经济发展规律、信息与决策等等都有不可估量的影响。 用非线性思想迎接新世纪的种种挑战。返回主页吾轰辩纱藉彝汛爸碉速痈推摈芹撵暂词纶刻麓惕慎州督瞎酝刀佬煮霜丁淘分形、混沌和灰色理论分形、混沌和灰色理论
