《线性代数 2-5 矩阵的初等变换和初等矩阵课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数 2-5 矩阵的初等变换和初等矩阵课件（32页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.5 矩阵的初等变换和初等矩阵,一、矩阵的初等变换,对矩阵施以下列3种变换,（3）交换矩阵的两行（列）；,（1）用一个非零的数c乘矩阵的某一行（列）；,（2）把矩阵的某一行（列）的c倍加到另一行（列）。,称为矩阵的初等行(列)变换。,倍乘变换,倍加变换,对换变换,统称为矩阵的初等变换,.,二、初等矩阵,(1) 初等倍乘矩阵,定义2.15 将单位矩阵做一次初等变换所得的 矩阵称为初等矩阵,将单位矩阵的第 i行（列）乘以非 零数c而得到；,有三种形式,.,（2）初等倍加矩阵,将单位矩阵的第i行乘以c加到第j行得到；,注意下标,.,（3）初等对换矩阵,将单位矩阵的第i，j行（列）对换而得到；,.,
2、三、初等矩阵与初等变换的关系,例,计算下列初等矩阵与矩阵,的乘积：,.,据例1可知, 初等矩阵左乘A,C-相当于是对A,C做相应的初等行变换,初等矩阵右乘B-相当于是对B做对应的初等列变换,一般地有如下结论：,对换位置;,对换位置;,左乘-行变换;右乘列变换.,.,四、初等矩阵的基本性质,（1）初等矩阵是可逆矩阵，而且它们的逆矩阵也是 初等矩阵。,（2）初等矩阵的转置仍是初等矩阵。,所以,初等矩阵的逆矩阵是同类初等矩阵.,.,例2 设初等矩阵,试求,解,.,.,五、用初等变换求逆矩阵,定义 如果B可以由A经过一系列初等变换得到，则 称矩阵A与B等价。,定理,的矩阵等价。,.,例2化A为D的形式
3、：,解,0,-1,-1,-1,0,-1,-1,-1,.,定理,n阶可逆矩阵A与I等价。,证明,因为A可逆，,则经过若干次初等变换可化为I,即,使,所以,因为初等矩阵可逆，所以充分性显然。,.,设 可逆，,使,所以,求逆矩阵的方法：,.,求逆矩阵的方法：,.,复习,例4 用初等行变换法 求A的逆矩阵,解,0,-3,-8,0,-2,1,*,.,所以,.,注意,1 用初等行变换法求逆,只能对(A I)进行行变换,2 变换过程中,若出现一行全是零,则此矩阵不可逆,.,小结,A可表示为一些初等矩阵的乘积。,求逆矩阵的方法：,(2)、求伴随矩阵.（阶数较低）(公式法),(1)、由AB=I或BA=I.(待定
4、系数法)(定义法),(3)、初等变换的方法(初等变换法),(4)、分块矩阵的方法,.,求逆矩阵的方法：,.,复习,注意,1 用初等行变换法求逆,只能对(A I)进行行变换,2 变换过程中,若出现一行全是零,则此矩阵不可逆,.,证明,因为A可逆，,所以,由,得,所以,.,例,解,例,.,易求得|A|=1/2,故,.,例,把可逆矩阵,解,分解为初等矩阵的乘积.,与每次初等交换对应的矩阵分别为:,.,为列变换的初等矩,其逆矩阵分别为:,阵,于是,.,例,中空白处表示为零.,解,所以,.,四.用初等变换法求解矩阵方程,问题:,求矩阵,使,方法:,易见该问题等价于求矩阵,再利用初等行变换求逆阵的方法,计算矩阵,即,初等行变换,同理,求解矩阵方程,等价于计算矩阵,则可利用初等列变换,计算矩阵,即,初等列变换,注意:,.,例,求解矩阵方程,其中,解,先将原方程作恒等变形为:,则,即得,.,解,即,所以,.,例 当a,b满足什么条件时，矩阵不可逆其中,解,对做初等行，列变换将其化为阶梯形矩阵,可得a,b应满足的条件,原则：化的过程中，尽可能将a,b置于的右下方,.,矩阵A不可逆的充要条件是,.,
