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1、五、梯度光纤,1. 几何光学方法,2. 标量近似解析方法,1. 几何光学方法,阶跃光纤，结构简单，容易分析，缺点是存在严重的多径色散；改进的方法是可以将光纤纤芯折射率做成渐变的，一般让纤芯折射率从中心轴到包层的分界面单调下降，而且折射率呈轴对称分布。这样的光纤称为梯度光纤(GI)。,折射率分布,梯度折射率光纤折射率分布,a.路径方程和光线不变量,以光纤轴为z轴构建圆柱坐标系(r,z),此时可以将光线的路径方程分离成三个变量的独立方程，为,梯度光纤中，因为折射率分布不均匀，一般呈轴对称分布，所以光线在纤芯中传播路径一般为曲线。各角度间有如下关系,由于梯度光纤的几何结构和折射率分布一般都是轴对称分
2、布的，沿z轴方向具有不变性。我们可以定义光线传播过程中的不变量,上式其实也可以从光线路径方程(4-2)的第3式积分得到，我们来得到不变量，将(4-2)的第2式两边同乘以 ，可以得到,将上式积分，可以定义光线在传播过程中的第二个不变量l, 即,将(4-4)(4-5)和阶跃光纤中的情况做比较，可以发现后者只是前者在n(r)=n1, r=a的特例。利用这两个定义式，消去光线与z轴夹角的因子，可以得到偏斜角与折射率分布的关系,这个关系其实可以用来区分光线分类。,梯度光纤中光线在传播过程中仍然可以分为子午光线和偏斜光线。由于梯度光纤的几何结构和折射率分布一般都是轴对称分布的，沿z轴方向具有不变性，两类光
3、线的路径都是周期性曲线。,b.光线分类及光线路径,子午光线仍然定义为传播过程中过光纤纤芯的光线。从下图可以看到，在梯度光纤中，此类光线是光纤纤芯纵剖面内的平面曲线，这在横截面内的投影是长度 的线段，是光线外焦散面的半径。,偏斜光线的传播路径及在横截面上的投影,对于偏斜光线，在空间的路径是螺旋状的曲线，它交替的与 和的圆柱面相切。为折返点(或外散焦散面)半径， 为内焦散面半径。,偏斜光线传播中的空间曲线在横截面内的投影类似于一个椭圆(一般不封闭)。由于光线路径始终与内、外焦散面相切，而在切点上必有偏斜角，由此可从(4-6)得到内、外焦散面的半径满足下列关系,分析上式，可以看到，只要光纤折射率分布
4、确定以后，光线的初始条件和可以确定 。,可以将上式转化为关于r的二次方程，为,从上式可以看到，有两种情况：,l=0,则上式只有一个有意义的解 ，而，这就是子午光线的情况；, 则上式有两个正实数的解,大的一个是,小的一个是，这就是偏斜光线的情况；,将(4-3)中关于dz和ds几何关系的二式,即 ，和 (4-3)中的关系，一起代入路径方程(4-2)的一式中，可以得到,求解上式，首先做变量代换，令 ，则 ，代入上式，得到,化解成一阶微分方程后，积分上式，并注意 时 ，于是得到,上式引进了一个新函数g(r)，只有其为非负值时，方程在实数范围内才可能有解，光线的路径方程才能存在，这是一个判定光线类型的判
5、据。,根据l的不同取值，可以画出函数g(r)的曲线，有四种情况。,首先可以看到的是，除了l=0，即子午光线以外，在时，总有 ；因而对，即偏斜光线，在时，光线路径不能存在，即它不能与光纤轴相交；对l=0的情形，在r=0时，而且g(r)在光纤轴上取最大值，路径总与光纤轴相交。,具体来看，有,1.如果时总有，这说明在包层中不存在光线的路径，这就是束缚光线的情况。其中又包含两种情形。,a. 图a所示的情形，仅在 范围内g(r) 的值为正，其余范围都有，这就是偏斜束缚光线；,b. 图b所示的情形，时取最大值，时g(r) 单调下降，当时， 时 ，这就是子午束缚光线。,两种情形下，包层中没有光线，即光线是束
6、缚光线，等价条件为,2. 如果在范围内总有，这说明包层中存在光线路径，即光线可以从纤芯折射入包层，这就是折射光线，图c的情形。,由g(r) 的定义式可以看到，对于的偏斜光线，这种情形的条件是，对于l=0的子午光线，条件则变为。,3. 如果上述条件都不满足，即 和，这时我们可以发现g(r) =0在范围内有两个根和，同时在区域，也就是包层内还有一个根，记，当时也有，即此时也有光线路径存在，称为漏泄光线。 的面称为辐射焦散面，从g(r)=0可以求得其值为,从右图可以看到，在 ，范围内 ，不存在光线。,这个现象可以解释为纤芯中传播的光线有少量能量通过所谓“隧道”机理漏泄到包层中，在区域形成辐射。这种现
7、象和量子力学中的隧道效应类似，又称这种光线为隧道光线。,c.本地数值孔径,为反映光纤捕获光线的能力，梯度光纤也可以以子午光线来定义数值孔径。仍以从端面入射进入纤芯并成为束缚光线的最大入射角的正弦定义为数值孔径NA，即,与阶跃光纤不同的是，梯度光纤纤芯折射率是渐变的，因而从端面不同位置入射的光线，其成为束缚光线的最大入射角是不一样的，因而有必要定义本地数值孔径。,显然，使纤芯中光线成为束缚光线的临界情况是光线的折返点焦散面为纤芯与包层的分界面，即，此时的入射角就是最大入射角。如果入射角 ，则光线必然进入包层成为折射光线。,在传播过程中是个常数，而在折返点，以 角入射的光线，在折返点上必有。而从位
8、置入射的光线成为束缚光线的最大入射角满足,数值孔径中的最大入射角是光纤端面外介质中的角度，而上式最大入射角是端面上的折射角，由菲涅耳定律可以得到,大部分实际情况中，光纤端面外的介质是空气，即 ，则由上式可以得到 处的数值孔径，或者本地数值孔径为,可以看到，光纤本地数值孔径随的位置变化，从光源入射来的光线在端面上不同入射点上纤芯的捕捉能力不同，因而光纤横截面内功率分布也是不均匀的。,若光源是点光源，则其发出的光线在不同方向上的携带相同的光功率，这种情形下，光纤端面所能收集到的光功率与它的数值孔径的平方成正比。设纤芯与距轴线r处位置单位面积上通过的光功率分别为P(0)和P(r) ,则必有,若忽略光
9、纤损耗，在一段不长的光纤中传播后其输出功率仍然满足上式。则能通过测试输出端的功率，再通过上式反过来推得光纤的折射率分布。,c.传播时延,梯度光纤中，无论是子午光线还是偏斜光线，其传播路径都是周期性的曲线。,从右图可以看到，光线传播路径上P、Q两点间的路径长度为,则两点间的光程为,利用 ，将上式积分中的ds用dz代替，再利用 将dz用dr代替，可得到P、Q间的光程写为,另一方面，对 积分，可以得到,若将上式的积分起始点和终点分别取在P、Q两点，得到沿Z轴方向光线路径的半周期长度为,则由(4-13)(4-14)两式可以得到光线沿Z轴方向传播单位距离的时延,即传播时延为,不同的折射率分布，光纤的传播
10、时延会有所不同。某些特例，传播时延会仅由倾斜角或偏斜角决定。,具有典型性的光纤折射率分布为,取不同的的值，上式可以逼近很多种折射率分布；这种光纤的传播时延仅由决定，而与偏斜角无关。,如果光纤纤芯折射率分布按双曲正割函数分布，可以证明这种光纤中的光线，无论以任何角入射，只要能满足束缚光线的条件，则在纤芯内传播同样的距离所花时间相同，满足自聚焦条件。但需要不同的是，此时的自聚焦条件仅对子午光线成立，目前未找到某种折射率分布能同时使子午光线和偏斜光线实现自聚焦。,由于 ,所以一般来说，传播时延不仅与相关，而且与l相关。即传播时延不仅与入射倾斜角有关，而且还和偏斜角有关。,1. 标量近似解法,前面讲到
11、梯度光纤的折射率分布总可以表述为,是一个大于零的数，称为折射率指标数，取不同的值，可以使上述表述逼近许多类的折射率分布。,对于任意的值，利用波动理论实际很难得到解析形式的结果，仅在2，称之为按抛物线函数分布的光纤可以得到解析解。,a.抛物线型折射率分布光纤中的标量近似解,为了简化分析，假设在范围内，折射率都按抛物线函数变化，即,这种简化，对于那些远离截止状态的导波模式是相当好的近似，因为远离截止状态时导波的能量几乎完全集中在纤芯中，包层折射率与上式的差异对结果没有影响；但对于接近截止状态的模式，这种简化得到的结果将会有比较大的误差。,梯度光纤中，如果介质折射率满足弱导近似条件，即，则电场强度和
12、磁场强度矢量必须满足如下矢量波动方程,形式上与阶跃光纤中的情况完全相同，只是这里的折射率n(r) 不再是常数，也正是这一差异造成了解析法求解的极大困难。,上述分析，已经将把纤芯范围扩大为，所以可方便的采用直接坐标系，不存在r=a面上的边界问题。此时电场强度和磁场强度矢量的任意一个分量都满足标量亥姆霍兹方程，即,可以是电场或磁场的任意一个直角坐标分量，将近似的光纤折射率分布代入上式，得,而直接坐标系中 ，可将上式写为,有分离变量法解上式，可以令其解有如下形式,上述表述，表明其解是沿Z轴方向传播的波，相位常数为，X(x)和Y(y)是场量在两个横向方向的分布函数。上述表述代入(4-18),有,对上式
13、做一处理，两边同乘因子，得到,观察上式，左边的头两项只是x的函数，后两项只是y的函数，而右边则是与x和y都无关的常数。为了使x、y取任何值上式都能成立，则左右关于x的头两项和关于y的后两项都只能等于某一常数，即,上式中头两式形式完全相同，只需要考虑一式。引入新特征参量,又令, , 一起代入(4-20)的一式，有,上式是标准的韦伯方程，它的解是m阶抛物线柱函数，在m为整数时即成为厄米高斯函数，即,式中，称为m阶厄米多项式，为,头几个厄米多项式为,从(4-22)和(4-23)式可得场解为,对于(4-21)二式求解方法相同，令，得其解为,令m=0,n=0得到抛物线型折射率分布光纤的主模式，又由于在求
14、解过程中，假设场量沿x轴或y轴方向偏振，因而是线偏振模，主模式记为模，其场函数为,另外，从(4-25)式可以看到特征参量S的物理含义，上式中令r=s，有,可以看到，r=s处，场量下降为光纤轴上的值的，或者说光强(单位面积上通过的光功率)下降为光纤轴上的 ，S称为模的模斑半径。,主模式模场分布,从右图可以看到，模的场量从光纤轴线沿半径方向按高斯函数分布。,场量沿半径方向的变化,r=s处场量沿圆周方向的变化,对于m、n不等于零的高阶模，可以发现场量在圆周和半径方向都具有振荡特性，这是因为厄米多项式特性决定的，可看下图,由s特征参量的定义式，可以看到,b.相位常数,由(4-20)式得到，波在z方向传
15、播的相位常数为,上式是在将纤芯范围推至无限远，即光纤无包层，折射率按抛物线型分布得到的，实际的光纤总有包层的，光纤中导波模式可以传播的条件为,当时，该模式截止，因而对确定模式，截止条件为,得到模的归一化截止条件为,上式结果实际是一个相当大的误差近似，因为在模式趋于截止时，折射分布的近似误差将产生显著的影响。,b.模式群和模式数量,由(4-27)式看到， 模的纵向相位常数 在光纤结构参数及工作波长确定的条件下，完全由模式序数m、n决定，而且只要m+n不变，不论m、n取何值，其相位常数不变，因此可令m+n=p，可把(4-27)式改写为,显然，对某一个固定的p值，m、n的组合可以有p+1个，即,但这p+1个模式有相同的相位常数，它们是一组简并模，称之为一个P模式群。这个模式群的每个模式，其横向电场强度可以在x方向，也可以在y方向，即P模式群一共有2(P+1)个模式。,由前面的分析，我们知道截止时模式的纵向相位常数为,则代入(4-29)式，可得到,由上式可以解得最大的模式群序号，为,则光纤中传播的模式总数为,Thanks,
