《向量组的线性相关性（课堂PPT）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《向量组的线性相关性（课堂PPT）（77页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1,CH4 向量组的线性相关性,2,向量组的线性相关性,n维向量的概念 向量组的线性相关性 线性相关性的判别定理 向量组的秩 向量空间,3,1 N维向量的概念,4,1、定义,个数组成的有序数组,称为一个维向量，其中称为第个分量（坐标）.,维向量写成一行，称为行矩阵，也就是行向量，,如：,记作,.,维向量写成一列，称为列矩阵，也就是列向量，,一、维向量（Vector）,5,2、元素全为零的向量称为零向量（Null Vector）.,3、维数相同的列（行）向量同型.,元素是复数的向量称为复向量（Complex Vector）.,2、几种特殊向量,1、元素是实数的向量称为实向量（Real Vecto
2、r）.,4、对应分量相等的向量相等.,6,二、向量的运算,1、加法,2、数乘,向量的加法与数乘合称为向量的线性运算.,7,3、运算律,（1） （交换律）,（2） （结合律）,（3）,（4）,(设,均是维向量,，为实数),（5）,（6）,（7）,（8）,8,9,三、应用举例,10,例1,设,求,解,11,线性方程组的向量表示,方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应,即,或,12,向量组与矩阵的关系,其第个列向量记作,个维行向量.,按行分块,按列分块,个维列向量.,其第个行向量记作,矩阵与向量的关系中注意什么是向量的个数、什么是向量的维数，二者必须分清.,13,2 向量组的线性相关性,14,一、向
3、量组的线性相关性定义,线性相关,线性无关,15,的一个线性组合,则称 为向量,定义 2,使得,一组实数,若存在,设n维向量,2,1,2,1,m,m,k,k,k,a,a,a,L,L,线性表示,或称 能由向量,m,a,L,a,1,2,a,16,定义3, 如果向量组中有零向量,则向量组一定,线性相关., 一个向量a=0线性相关,而 时线性无关, 两个向量线性相关 它们对应分量成比例,17,i.e.,二、判别方法,1.,向量个数 未知数的个数,向量维数 方程的个数,(无),(没),(没),18,19,20,2.,21,第i个分量,3.,22,从向量组中找尽量多的线性无关向量,23,例 2,解,24,2
4、5,例 3,证一,26,27,三、性质,28,整体无关,部分无关,部分相关,整体相关,29,30,定义,31,练习 设向量组,线性相关，则 .,32,4 向量组的秩,33,4 向量组的秩,向量组等价 极大线性无关组与向量组的秩 向量组的秩与矩阵秩的关系 矩阵的秩与矩阵的运算,34,1.定义4,一、向量组等价,35,36,37,38,2.性质,1）自反性,2）对称性,3）传递性,具有以上性质的关系称为等价关系,39,1 定义7,二、极大线性无关组与向量组的秩,40,41,42,43,44,45,三、向量组的秩与矩阵秩的关系,46,向量组与矩阵的关系,其第个列向量记作,个维行向量.,按行分块,按列
5、分块,个维列向量.,其第个行向量记作,矩阵与向量的关系中注意什么是向量的个数、什么是向量的维数，二者必须分清.,47,48,证,49,50,51,证明,则相应的,具有相同的线性关系.,52,53,解：,54,55,56,总结：求极大线性无关组及向量的线性表示的方法,方法1：矩阵的初等行变换法,（1）以向量组中的向量为列向量作矩阵,（2）对矩阵作初等行变换，化为行阶梯形（行最简形）,（3）取每行第一个非零元所在的列，即为所求,方法2：录选法,（1）在向量组中选一个非零向量,（2）再选一个与,的对应分量不成比例的向量,（3）再选一个不能由,线性表出的向量,线性表出的向量,57,四、矩阵的秩与矩阵的
6、运算,58,例14.,59,60,练习.,61,证明:,62,63,5 向量空间,64,向量空间,概念 基与维数 向量的坐标,65,说明,一、向量空间的概念,定义1设V 为 n 维向量的集合，如果集合V非空， 且集合V 对于加法及数乘两种运算封闭，那么就称 集合V 为向量空间,66,例2,例1,67,例3,例4,练习1,练习2,68,例5,69,二、向量空间的基与维数,定义2 设 是向量空间，如果 个向量 ，且满足,若V 的维数为r，记做dimV=r,70,只含有零向量的向量空间V称为0维向量空间，即dimV=0,它没有基,说明,n-1维向量空间,71,72,73,解：,74,75,76,77,
