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1、线性代数 第四章,第四章 线性方程组与向量组的线性相关性,本章教学内容 1 消元法与线性方程组的相容性 2 向量组的线性相关性 3 向量组的秩 矩阵的行秩与列秩 4 线性方程组解的结构,1 消元法与线性方程组的相容性,本节教学内容 1.线性方程组的概念 2. Cramer(克莱姆)法则 3.用消元法解线性方程组,1 消元法与线性方程组的相容性,1.线性方程组的概念 n元线性方程组的一般形式为 记： 称A为系数矩阵，x为未知列，b为常数列， 则线性方程组可写成矩阵形式 Ax=b,1 消元法与线性方程组的相容性,设n元线性方程组 Ax=b，若A按列分块为 A=(1, 2, ,n)，则方程组可写成向
2、量形式 1x1+2x2+ +n xn =b 若b=0, 即 Ax=0 称为齐次线性方程组 若b0, 即 Ax=b 称为非齐次线性方程组 若n维列向量=(1, 2,n)T满足A=b，则 称x1=1, x2=2, xn=n是Ax=b的一个解， 并称是Ax=b的一个解向量，或说x=是Ax=b的解。,1 消元法与线性方程组的相容性,设n元线性方程组 Ax=b，称Ax=0 为与它对应的齐 次线性方程组， 若n维列向量 (0)满足A=0，则称x= 是齐次线 性方程组Ax=0的一个非零解， 显然x=0是Ax=0的一个解， 称它为Ax=0的零解， 或当然解，或平凡解。 若线性方程组 Ax=b有解，则称它是相容
3、的， 否则称它是不相容的。 性质齐次线性方程组是相容的。,1 消元法与线性方程组的相容性,2. Cramer法则 设n个方程的n元线性方程组 Ax=b， 若A0，则线性方程组Ax=b有惟一解 其中Dj是以b代替A的第 j列所得到的n阶行列式。,1 消元法与线性方程组的相容性,证 Ax=b， #,1 消元法与线性方程组的相容性,例1.1 解线性方程组 解,1 消元法与线性方程组的相容性,Cramer法则对于线性方程组的求解有重要的理 论意义。但是，它只能求解方程个数与未知量个 数相同、且其系数行列式的值不为零的线性方程 组，随着未知量个数的增加，计算变得十分困难. 下面，我们来讨论一般的线性方程
4、组的解法。,1 消元法与线性方程组的相容性,3.用消元法解线性方程组 定义1.1 若线性方程组A1x=b1的解都是线性方 程组A2x=b2的解；反之，线性方程组A2x=b2的解 都是线性方程组A1x=b1的解，则称线性方程组 A1x=b1与线性方程组A2x=b2同解。 在中学，我们已经知道 (1)方程两边同乘一个非零常数，方程的解不变； (2)方程两边同乘一个常数,然后加到另一个方程 上，方程组的解也不变(即加减消元法)。 因此，就有,1 消元法与线性方程组的相容性,定理1 若(A1, b1)经初等行变换化为(A2, b2)， 则线性方程组A1x=b1与线性方程组A2x=b2同解。 事实上，倍
5、法变换相当于第i个方程两边同乘一 非零常数；消法变换相当于加减消元法；换法变 换相当于交换两个方程的次序，故线性方程组的 解不变。 定义 (A, b)称线性方程组Ax=b的增广矩阵。,1 消元法与线性方程组的相容性,用消元法解线性方程组的思想方法是： 解线性方程组Ax=b (1)用初等行变换将增广矩阵(A, b)化为最简行阶梯 形矩阵(C, d)； (2)解方程组Cx=d，其解即是方程组Ax=b的解.,1 消元法与线性方程组的相容性,例1.2 用消元法解线性方程组 解,1 消元法与线性方程组的相容性,于是方程组的解为,R(A)=R(A,b)=3 (未知量个数) 方程组有惟一解。,1 消元法与线
6、性方程组的相容性,例1 用消元法解线性方程组 解,1 消元法与线性方程组的相容性,原方程组可化为,此称方程组的一般解(或通解),R(A)=R(A,b)=24 (未知量个数) 方程组有无穷多组解, 自由未知量个数=4-2=2.,x3与x4可任意取值， 称为自由未知量,1 消元法与线性方程组的相容性,例2用消元法解线性方程组 解,8,8,6,6,1,1 消元法与线性方程组的相容性,原方程组可化为 所以方程组无解.,1,矛盾方程组,R(A)R(A,b) 方程组无解,1 消元法与线性方程组的相容性,由上述例题可知 定理2 设n元线性方程组 Ax=b， R(A)=R(A,b)=n 方程组Ax=b有惟一解
7、; R(A)=R(A,b)n 方程组Ax=b有无穷多组解, 自由未知量个数=n-R(A) ; (方程组中可任意取值的未知量称自由未知量) R(A)R(A,b) 方程组Ax=b无解. 注：定理1.1、定理1.2及推论1.1自行阅读,1 消元法与线性方程组的相容性,由定理2可知 定理3 设n元齐次线性方程组 Ax=0， R(A)=n 方程组Ax=0有惟一解， 即方程组Ax=0只有零解 A为方阵时，A0 R(A)n 方程组Ax=0有无穷多组解， 即方程组Ax=0有非零解 A为方阵时，A=0 注：定理1.3及推论1.2自行阅读。,1 消元法与线性方程组的相容性,例1.3 判断下列线性方程组是否有解 解
8、,1 消元法与线性方程组的相容性,例1.4 问取何值，下列方程组有非零解 解 当=1或=-2时，A=0,即方程组有非零解。,1 消元法与线性方程组的相容性,本节学习要求 1.理解线性方程组有关的概念； 2.掌握消元法、熟悉克莱姆法则及线性方程组解有关的定理。 作业：习题4.1(A) 第2,3题,2 向量组的线性相关性,本节教学内容 1.线性组合、线性表示和等价关系 2.向量组的线性相关性 3.线性相关性与线性表示法 4.维数、向量个数与线性相关性,2 向量组的线性相关性,1.线性组合、线性表示和等价关系 定义1 若干同维数的列向量(或同维数的行向量)： 1, 2, , s叫做一个向量组. 定义
9、2 若矩阵A按列分块为A=(1, 2, ,n)， 则1, 2, ,n叫做矩阵A的列向量组. 若矩阵A按行分块为 则1, 2, ,m叫做矩阵A的行向量组.,2 向量组的线性相关性,例 矩阵 则 1=(1,1,1)，2=(0,1,2)，3=(0,0,0)， 是A的行向量组; 是A的列向量组.,2 向量组的线性相关性,定义2.1 设1, 2,s为n维向量组，k1, k2,ks 为一组数，则 k11+k22+ kss 叫做1, 2, ,s的一个线性组合， k1, k2,ks 称 为这个线性组合的系数。 若 =k11+k22+ kss 则称是1, 2, ,s的线性组合， 也称可由1, 2, ,s线性表示
10、 (或线性表出). 注： 可由1, 2, ,s线性表示 线性方程 x11+x22+xss= 有解,2 向量组的线性相关性,例 n维基本列向量 任意n维列向量,2 向量组的线性相关性,定义2.2 若向量组1, 2,s中的每一个向量都 可由向量组1, 2,t 线性表示，则称向量组1, 2,s可由向量组1, 2,t 线性表示；若两个 向量组可相互线性表示，则称这两个向量组等价。 性质1若向量组1, 2,s可由向量组1, 2, t 线性表示，向量组1, 2,t 可由向量组1, 2, ,p线性表示，则向量组1, 2,s可由向量组 1, 2,p线性表示。（传递性）,2 向量组的线性相关性,性质2 向量组1
11、, 2,s与向量组1, 2,s等价； 若向量组1, 2,s与向量组1, 2,t 等价， 则向量组1, 2,t 与向量组1, 2,s等价； 若向量组1, 2,s与向量组1, 2,t 等价， 向量组1, 2,t 与向量组1, 2,p等价， 则 向量组1, 2,s与向量组1, 2,p等价。 (证略),2 向量组的线性相关性,2.向量组的线性相关性 定义2.3 设向量组1, 2,s，若存在不全为零 的数1, 2,s，使得 11+22+ss=0, 则称向量组1, 2,s线性相关；否则，称向量组 1, 2,s线性无关。 注：若对任意不全为零的数1, 2,s，都有 11+22+ss0, 则向量组1, 2,s
12、线性无关。,2 向量组的线性相关性,例2.1 证明三维基本列向量组 证：因对任意不全为零的数1, 2,s，都有,线性无关。,2 向量组的线性相关性,由定义易得基本结论： 单个向量线性相关 向量=0 ； 单个向量线性无关 向量0. 向量, 线性相关 向量=k 或=k ； 与 对应分量成比例 向量, 线性无关 向量与 对应分量不成比例. 向量组1, 2,s线性相关 向量组1, 2,s,s+1,m线性相关. 向量组1, 2,s,s+1,m线性无关 向量组1, 2,s线性无关.,2 向量组的线性相关性,定理2.1向量组1, 2,s线性相关 齐次线性方程 x11+x22+xss=0 有非零解. 向量组1
13、, 2,s线性无关 齐次线性方程 x11+x22+xss=0 只有零解. (由定义显然成立) 推论2.1 n维列向量组1, 2,s线性相关 A=(1, 2,s), R(A)s. 推论2.2 n维列向量组1, 2,s线性无关 A=(1, 2,s), R(A)=s.,2 向量组的线性相关性,推论2.1 n维行向量组1, 2,s线性相关 推论2.2 n维行向量组1, 2,s线性无关 ,2 向量组的线性相关性,推论2.3 sn时, n维向量组1, 2,s线性相关. 证：若1, 2,s为n维列向量组，则 A=(1, 2,s), R(A)ns, 故1, 2,s线性相关. 若1, 2,s为n维行向量组，同理
14、可证1, 2, ,s线性相关. #,2 向量组的线性相关性,例2.2 已知向量组1, 2, 3线性无关， 1=1+2，2=2+3，3=3+1， 试证1, 2, 3线性无关. 证：设 x11+x22+x33=0 即 x1(1+2)+x2(2+3)+x3(3+1)=0 , 得 (x1+x3)1+(x1+x2)2+(x2+x3)3=0 ， 向量组1, 2, 3线性无关，得,故1, 2, 3线性无关.,2 向量组的线性相关性,例 讨论向量组 的线性相关性。 解,2 向量组的线性相关性,例 讨论向量组 的线性相关性。 又解,2 向量组的线性相关性,例 讨论向量组 的线性相关性。 解,2 向量组的线性相关
15、性,3.线性相关性与线性表示法 定理2.2 向量组1, 2,s(s2)线性相关 1, 2,s中至少有一个向量可由其余s-1个向量 线性表示。 证：) 设1, 2,s线性相关 ，则存在不全为 零的数1, 2,s，使得 11+22+ss=0, 不妨设10，则有 即1可由2, 3,s线性表示。,2 向量组的线性相关性,定理2.3 若向量组1, 2,s线性无关，向量可由1, 2,s线性表示，则表示法是惟一的。 证：设 =k11+k22+kss 且 =11+22+ss 则 (k1-1)1+(k2-2)2+(ks-s)s=0 由1, 2,s线性无关，得 k1-1=k2-2=ks-s=0 即 k1=1, k2=2, ks=s, 故表示法是惟一的。 #,2 向量组的线性相关性,) 设1, 2,s中至少有一个向量可由其余 s-1个向量线性表示，不妨设1可由2, 3,s线 性表示，即 1=k22+k33+kss 则 -1+k22+k33+kss=0 故向量组1, 2,s线性相关. #,2 向量组的线性相关性,定理2.4 若向量组1, 2,s线性无关，向量组, 1, 2,s线性相关，则可由1, 2,s惟一线 性表示。 证：向量组,1, 2,s线性相关，存在不全为 零的数k, k1, k2,ks，使得 k+k11+k22+kss=0
