基于出场问题的优化模型

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1、基于出场阵容的优化模型基于出场阵容的优化模型 摘要摘要 本文针对女子体操团体赛出场阵容做出了分析，通过考虑每个项目的人数、 全 能比赛的人数以及每个队员参赛项目，建立了不同的求解模型。问题一采用双 0-1 规划的方法，然后用 lingo 软件求解，分别求出悲观算法和均值算法下的团 体总得分和对出场阵容做出了安排。问题二采用中心极限定理找出目标函数， 然 后建立模型，求出夺冠前景、得分期望以及能够战胜怎样的对手。 对于问题一：我们定义了两个 0-1 变量，第一个 0-1 变量 ij k表示第j个运动 员参加第i个比赛项目，参加记为 1，否则为 0；第二个 0-1 变量 j a表示第j个 运动员参

2、加全能，参加记为 1，否则为 0。由题目中相应的约束条件，利用整数 线性规划的思想，则总分为 4 1 10 1 4 1 10 1 *1Z ijij jijijijj annka，运用 lingo运行程序得出总得分为 212.2，以上为悲观思想的团体总得分；若采用均 值的思想，则将上述的 ij n换为 ij s，运用lingo运行程序得出总得分为 225.1。 对于问题二：首先我们在第一问的模型基础上，将 ij n换为 ij w，求出最后总体 得分的上限，求得上限为 236.6。将 ij t进行连乘，得出夺冠的概率为 0。此问巧 妙的运用了中心极限定理，结合标准正态分布，将战胜怎样的选手转化为标

3、准正 态分布问题。 %90XDXEbXDXEXp, 此时的 4 1 10 1 4 1 10 1 *1 ij jijijij ij j acckaX，b为战胜的那个团队的最后 得分，求得b222.7429。 关键字：0-1 规划中心极值定理正态分布 lingo 一、问题分析一、问题分析 有一场由四个项目（高低杠、平衡木、跳马、自由体操）组成的女子体操团 体赛，赛程规定：每个队至多允许 10 名运动员参赛，每一个项目可以有 6 名 选手参加。 每个选手参赛的成绩评分从高到低依次为：10 ；9.9 ；9.8 ； ； 0.1 ； 0 。每个代表队的总分是参赛选手所得总分之和，总分最多的代表队为 优胜者

4、。此外，还规定每个运动员只能参加全能比赛（四项全参加）与单项比赛 这两类中的一类，参加单项比赛的每个运动员至多只能参加三项单项。每个队应 有 4 人参加全能比赛，其余运动员参加单项比赛。 现某代表队 10 名运动员参加各个项目的测试成绩及相应的概率已给 出。 1 、每个选手的各单项得分按最悲观估算，为该队排出一个出场阵容， 使该队团体总分尽可能高；每个选手的各单项得分按均值估算，为该队排出一个 出场阵容，使该队团体总分尽可能高。 2 、若对以往的资料及近期各种信息进行分析得到：本次夺冠的团体总分 估计为不少于 236.2 分，为了夺冠应排出出场阵容，以该阵容出战，其夺冠的 前景如何，得分前景（

5、即期望值）又如何，它有 90的把握战胜怎样水平的对 手。 不论是用均值均值的思想亦或是最悲观的思想， 最后总的目标都是要使团体 总分最高， 团体总分最高成为阵容选取的唯一目标。 团体的总分来源于两个方面： 全能选手的得分和单项选手的得分。每个单项选手有相应的参赛项目的上限， 每 个选手参加每项比赛都有相应的得分。 可以通过 0-1 变量的定义来选取全能选手 和单项选手，而对于每个不同的选取方法对应着不同的阵容。分析问题二可得最 后的团体得分服从正态分布。 二、模型假设二、模型假设 1、至多 10 名运动员参加比赛。 2、每个项目可以有 6 名选手参加。 3、有 4 名运动员参加全能比赛，其余运

6、动员参加单项比赛且至多能参加三 项单项。 4、项目分为全能比赛（四项全参加）和单项比赛两类且每个运动员只能参 加其中一类。 5、参加多项比赛的选手，前一次的比赛对后一次的比赛的发挥没有影响。 6、最后团体的总的得分服从正态分布。 三、三、 符号说明符号说明 符号意义单位 i比赛项目个 j参赛运动员人 ij k个项目个运动员是否参加第第ij ij n个项目的最低得分个队员参加第第ij j a比赛名运动员是否参加全能第j ij s个比赛的平均得分个运动员参加第第ij ij w个项目的最好成绩个运动员参加第第ij ij t的概率个项目时取得最好成绩个运动员参加第第ij 四、四、模型的建立与求解模型的

7、建立与求解 1 1、模型的建立、模型的建立 第一问旨在让团体总得分最大，毫无疑问，应该让这十个选手都参加比赛。 为了使团体总得分最大，应该安排最优秀的阵容出场。阵容包括全能参赛选手的 选取和单项参赛选手的选取。 而这里的阵容安排， 我们通过定义两个 0-1 变量 来 选取全能选手和单项选手。第一问有两种思想，一种是利用最悲观的思想，这种 做法是以最差的阵容出场，每个选手参加每项比赛的得分都是其最低的得分。 第 二种思想是均值思想，利用每个选手参加每项比赛的平均得分来求得目标函数。 然后运用数学工具lingo来运行程序，得出阵容的安排。 第二问我们先用每个运动员参加每个项目的最好成绩来算出团体最

8、后得分的 上限，团体的最后得分为随机变量，标准化之后满足正态分布。设随机变量 n21 21321 n21 21 XXXDYD XXXY XX 结论二： 结论一： 则令 两两相互独立， nn n XEXEXEXXXXEYE X 运用中心极限定理将随机变量X 4 1 10 1 4 1 10 1 *1 ijij iijijiji accka转化为 正态分布。 决策变量： ij k表示第j个运动员参加第i个项目4, 2 , 1;10, 2 , 1 ij， j a表示第j 个运动员参加全能4, 2 , 1 i。 ij k为 0-1 变量，当第j个运动员参加第i个项 目时，记1 ij k，否则为0； j

9、a也为 0-1 变量，当第j个运动员参加第i个项目 时，记1 j a，否则为0。 目标函数： 4 1 10 1 4 1 10 1 *)1 (min ijij iijijiji annkaZ（表示团体的最后总得分最大） 约束条件： 首先，参加全能的运动员的人数总共为 4，那么对于 j a进行求和会有一个 约束； 10, 2 , 1, 4 10 1 ja j j 其次，参加单项的运动员最多能参加 3 个项目，这里对每个单项运动参加的 比赛项目也有一个比赛项目的总和上限； 31* 4 1 i jij ak 最后，每个比赛项目只能有 6 个运动员参加，而所选出的全能运动员每个比 赛项目都会参加，本题要

10、求选出 4 个全能运动员，那么这就表示每个项目已经有 四个全能运动员参加，此时每个比赛项目就只能有 2 个单项选手参加。 21* 10 1 j jij ak 综上所述，可以建立如下的阵容安排模型： 4 1 10 1 4 1 10 1 *1max ij iijijij ij j annkaZ 10 1 4 1 10 1 4 , 2 , 1, 21* 10, 2 , 1, 31* 10, 2 , 1, 4 . j jij i jij j j iak jak ja ts 第一问的第二种方法就是将目标函数中的第j个运动员参加第i个比赛项目的最 低成绩换成平均成绩。 2、数据的预处理、数据的预处理 题目

11、中给的数据为第j个运动员参加第i个项目时分别稳定在四个分数和得 这四个分数的概率，而在实际计算中需要的分别是第j个运动员参加第i个项目 的最低成绩 ij n（见表 1.1）第j个运动员参加第i个项目的平均成绩（见表 1.2） 表 1.1 第j个运动员参加第i个项目的最低成绩 ij n 12345678910 高低杠8.49.38.48.18.49.49.58.48.49 平衡杠8.48.48.18.798.78.48.78.48.1 跳马9.18.48.498.38.58.38.78.48.2 自由体操8.78.99.58.49.48.48.48.29.39.1 表 1.2 第j个运动员参加第

12、i个项目的平均成绩 ij s 12345678910 高低杠9.259.699.19.259.79.899.259.4 平衡杠999.19.19.49.199.89.29.1 跳马9.599.259.58.98.98.99.199.2 自由体操9.19.39.899.79.259.29.39.79.5 而问题二需要用到的数据是第j个运动员参加第i个项目的最好成绩 ij w（具体情 况见表 1.3） 表 1.3 第j个运动员参加第i个项目的最好成绩 ij w 12345678910 高低杠9.59.8109.59.59.910109.59.7 平衡木109.49.59.99.79.910109.

13、89.5 跳马9.8109.59.79.39.19.39.9109.6 自 由 体 操 9.99.610109.99.59.59.89.99.8 表 1.4 第j个运动员参加第i个项目时得到最好成绩的概率 ij t 12345678910 高低杠0.50.20.10.10.50.20.20.10.50.2 平衡木0.10.10.10.10.20.10.10.40.20.1 跳马0.20.10.50.30.20.30.20.10.10.1 自由体操0.10.20.20.10.20.50.20.10.30.2 3、模型的求解、模型的求解 对于问题一，我们通过lingo运行程序，当第j个运动员参加第

14、i个项目的 成绩为运动员所取得的最低分时， 得出最后团体的得分为 212.2， 程序详见lingo 最佳阵容 03， 分析程序运行的结果可以得出相应的阵容安排 （见表 1.5） ； 当第j 个运动员参加第i个项目的成绩为平均成绩时，得出最后团体的得分为 225.1， 程序详见lingo最佳阵容 02，分析程序运行的结果亦可以得出相应的阵容安排 （见表 1.6). 表 1.5 第j个运动员参加第i个项目的最低成绩时的阵容安排表 、 表 1.6 第j个运动员参加第i个项目的平均成绩时的阵容安排表 对于问题二，在第一问的基础上将模型中的 ij n换为 ij w，运行程序后得出团 体 总 分 的上 限

15、 为 6 . 232。 夺冠 的概 率 为 4 1 10 1ij ij tp， 得出 概率p为 15 10*22 . 1 。具体程序详见04最佳阵容lingo。 要求有 90的把握战胜怎样水平的对手，对方团体最后得分为b，此时的问题 可以转化为正态分布的问题来求，即求%90bXp，将其标准化求b。 90%XDXEbXDXEXp, 即 可 转 化 为 %901XDXEb 7429.222,28. 19 . 028 . 1 bXDXEb得出，即 12345678910 高低杠 0100111011 平衡木 0101110110 跳马 1101110010 自由体操 0110110011 12345

16、678910 高低杠0010111011 平衡木0010101111 跳马1011100011 自由体操0010110111 ij sD差个项目时平均成绩的方个运动员参加第为第ij 具体情况见下表 1.7 12345678910 高低杠0.1425 0.0180.1440.128 0.1425 0.0180.0180.144 0.1425 0.038 平衡木0.1440.080.1280.0880.0380.0880.1440.0840.1520.128 跳马0.0380.144 0.1425 0.0380.0720.0320.0720.0880.1440.128 自由体操0.0880.0380.0180.1440.018 0.1689 0.1520.1580.032 0.2279 五、模型的分析五、模型的分析 本文中的问题在体育团体比赛非常常见，最佳阵容的安排包