《小学奥数：容斥原理之最值问题.专项练习及答案解析[汇编]》由会员分享，可在线阅读，更多相关《小学奥数：容斥原理之最值问题.专项练习及答案解析[汇编]（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、7- 7-5. 容斥原理之最值问题. 题库教师版page 1 of 6 1.了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容； 2.掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用 一、两量重叠问题 在一些计数问题中， 经常遇到有关集合元素个数的计算求两个集合并集的元素的个数， 不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个 数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：ABABABUI (其中符号“ U ”读作 “并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“I ”读作“交”，相当于中文“且”的 意思 )则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理 图示如下 :A表示小圆部分，B表
2、示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：ABI，即阴影面积图示如下:A表 示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为： ABI，即阴影面积 包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合AB、的并集 ABU的元素的个数，可分以下两 步进行： 第一步：分别计算集合AB、的元素个数，然后加起来，即先求AB( 意思是把AB、的一 切元素都“包含”进来，加在一起) ； 第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去CABI( 意思是“排除”了重复计算 的元素个数 ) 二、三量重叠问题 A类、B类与C类元素个数的总和A类元素的个数B类元素个数C类元素个数 既是A类又是B类的元素个数既是B
3、类又是C类的元素个数既是A类又是C类的元素 个 数同 时 是A类 、B类 、C类 的 元 素 个 数 用 符 号 表 示 为 ： ABCABCABBCACABCUUIIIII图示如下： 教学目标 知识要点 7-7-5. 容斥原理之最值问题 1先包含AB 重叠部分ABI计算了2次，多加了 1次； 2再排除ABABI 把多加了 1次的重叠部分ABI减去 7- 7-5. 容斥原理之最值问题. 题库教师版page 2 of 6 在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图( 韦恩图 )来帮助分析思考 【例 1】“走美” 主试委员会为三八年级准备决赛试题。每个年级12道题， 并且至少有 8道题与其他各年
4、级都不同。如果每道题出现在不同年级，最多只能出现3次。 本届活动至少要准备道决赛试题。 【考点】容斥原理之最值问题【难度】 4 星【题型】填空 【关键词】走美杯，4 年级，决赛，第9 题 【解析】 每个年级都有自己 8道题目，然后可以三至五年级共用4道题目，六到八年级共用 4道题目，总共有864256（道）题目。 【答案】56题 【例 2】将 113 这 13 个数字分别填入如图所示的由四个大小相同的圆分割成的13 个区 域中，然后把每个圆内的7 个数相加，最后把四个圆的和相加，问：和最大是多 少？ 【考点】容斥原理之最值问题【难度】 4 星【题型】填空 【解析】 越是中间， 被重复计算的越多
5、，最中心的区域被重复计算四次，将数字按从大到小 依次填写于被重复计算多的区格中，最大和为： 134+（12+11+10+9） 3+（8+7+6+5） 2+（4+3+2+1）=240. 【答案】240 【例 3】如图， 5 条同样长的线段拼成了一个五角星如果每条线段上恰有1994 个点被染 成红色，那么在这个五角星上红色点最少有多少个? 【考点】容斥原理之最值问题【难度】 4 星【题型】填空 【解析】 如下图，下图中“d”位置均有两条线段通过，也就是交点，如果这些交点所对应 例题精讲 图中小圆表示A的元素的个数，中圆表示B的元素的个数， 大圆表示 C的元素的个数 1先包含：ABC 重叠部分ABI
6、、 BCI、CAI重叠了2次，多加了 1次 2再排除：ABCABBCACIII 重叠部分ABCII重叠了3次，但是在进行ABC ABBCACIII计算时都被减掉了 3再包含：ABCABBCACABCIIIII 7- 7-5. 容斥原理之最值问题. 题库教师版page 3 of 6 的线段都在“ d”位置恰有红色点，那么在五角星上重叠的红色点最多，所以此时 显现的红色点最少，有19945-(2-1)10=9960 个 【答案】 9960 【例 4】某班共有学生48 人，其中 27 人会游泳， 33 人会骑自行车， 40 人会打乒乓球 那 么，这个班至少有多少学生这三项运动都会？ 【考点】容斥原理
7、之最值问题【难度】 4 星【题型】填空 【解 析】（法 1）首先看至少有多少人会游泳、自行车两项，由于会游泳的有27 人，会骑 自行车的有33 人，而总人数为48 人，在会游泳人数和会骑自行车人数确定的情况 下，两项都会的学生至少有27334812人，再看会游泳、自行车以及乒乓球 三项的学生人数，至少有 1240484人. 该情况可以用线段图来构造和示意： 40人 33人 23|24 游泳 自行车 15|16 总人数48人 27人 游泳 27|28 48|0|1 （法 2）设三项运动都会的人有x 人，只会两项的有y人，只会一项的有z 人， 那么根据在统计中会n 项运动的学生被统计n次的规律有以
8、下等式： 32273340 48 , ,0 xyz xyz x y z 由第一条方程可得到10032zxy，将其代入第二条式子得到： 100248xy，即 252xyL L L L 而第二条式子还能得到式子48xy，即 248xyxL L L L 联立和得到4852x，即4x可行情况构造同上 【答案】4 【巩固】某班有50名学生，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有23人，参加英语 竞赛的有 20人，每人最多参加两科，那么参加两科的最多有 人 【考点】容斥原理之最值问题【难度】 4 星【题型】填空 【解 析】根据题意可知，该班参加竞赛的共有28232071人次由于每人最多参加两 科，也就是
9、说有参加2 科的，有参加1 科的，也有不参加的，共是71 人次要求 参加两科的人数最多，则让这71人次尽可能多地重复，而712351L L，所以 至多有35人参加两科，此时还有1人参加 1 科 那么是否存在35 人参加两科的情况呢？由于此时还有1 人是只参加一科的，假设这个人只 参加数学一科，那么可知此时参加语文、数学两科的共有(282220)215 人，参加语 文、英语两科的共有28 1513人，参加数学、英语两科的共有20137人也就是说， 此时全班有15 人参加语文、数学两科，13 人参加语文、英语两科，7 人参加数学、英语两 科， 1 人只参加数学1 科，还有14 人不参加检验可知符合
10、题设条件所以35 人是可以达 到的，则参加两科的最多有35 人 （当然本题中也可以假设只参加一科的参加的是语文或英 语） 【答案】35 【巩固】 60 人中有 2 3 的人会打乒乓球， 3 4 的人会打羽毛球， 4 5 的人会打排球，这三项运动 7- 7-5. 容斥原理之最值问题. 题库教师版page 4 of 6 都会的人有 22人，问：这三项运动都不会的最多有多少人？ 【考点】容斥原理之最值问题【难度】 4 星【题型】填空 【解 析】设只会打乒乓球和羽毛球两项的人有x人，只会打乒乓球和排球两项的有y人，只 会打羽毛球和排球两项的有z 人由于只会三项运动中的一项的不可能小于0，所 以 x 、
11、y、 z有如下关系： 40220 45220 48220 xy xz yz 将三条关系式相加，得到33xyz，而 60 人当中会至少一项运动的人数有 40454822256xyz人，所以60 人当中三项都不会的人数最多4 人（当 x 、 y、 z分别取7、11、15时，不等式组成立） 【答案】 4 【例 5】图书室有100 本书，借阅图书者需在图书上签名已知这100 本书中有甲、乙、 丙签名的分别有33，44 和 55 本，其中同时有甲、乙签名的图书为29 本，同时 有甲、丙签名的图书为25 本，同时有乙、丙签名的图书为36 本问这批图书中 最少有多少本没有被甲、乙、丙中的任何一人借阅过? C
12、 丙 B 乙 A 甲 【考点】容斥原理之最值问题【难度】 4 星【题型】填空 【解析】 设甲借过的书组成集合A， 乙借过的书组成集合B， 丙借过的书组成集合CA=33, B=44，C=55，ABI=29，ACI=25，BCI=36 本题只需算出甲、 乙、丙中至少有一人借过的书的最大值，再将其与 100 作差即可 ABCABCABACBCABCUUIIIII, 当ABCII最大时，ABCUU有最大值 . 也就是说当三人都借过的书最多时，甲、乙、 丙中至少有一人借过的书最多 而ABCII最大不超过A、B、C、ABI、BCI、ACI 6 个数中的最小值，所 以ABCII最大为 25此时ABCUU=3
13、3+44+55-29-25-36+25=67 ，即三者至少有一人 借过的书最多为67 本，所以这批图书中最少有33 本没有被甲、 乙、丙中的任何一人借阅过 【答案】33 【巩固】甲、乙、丙都在读同- 一本故事书，书中有100 个故事每个人都从某一个故事开 始， 按顺序往后读 已知甲读了75 个故事，乙读了 60 个故事，丙读了 52 个故事那 么甲、乙、丙3 人共同读过的故事最少有多少个? 【考点】容斥原理之最值问题【难度】 4 星【题型】填空 【解析】 考虑甲乙两人情况，有甲乙都读过的最少为：75+60-100=35 个，此时甲单独读过 的为 75-35=40 个，乙单独读过的为60-35=
14、25 个；欲使甲、乙、 丙三人都读过的书 7- 7-5. 容斥原理之最值问题. 题库教师版page 5 of 6 最少时， 应将丙读过的书尽量分散在某端，于是三者都读过书最少为52-40=12 个 【答案】 12 【例 6】某数学竞赛共160 人进入决赛，决赛共四题，做对第一题的有136 人，做对第二 题的有 125 人，做对第三题的有118 人，做对第四题的有104 人。在这次决赛中 至少有 _得满分。 【考点】容斥原理之最值问题【难度】 5 星【题型】填空 【关键词】走美杯，5 年级，决赛，第10 题 【解析】设 得 满 分 的 人 都 做 对3道 题 时 得 满 分 的 人 最 少 ，
15、有 136+125+118+104-1603=3(人)。 【答案】3人 【例 7】某班有46 人，其中有40 人会骑自行车，38 人会打乒乓球，35 人会打羽毛球， 27 人会游泳，则该班这四项运动都会的至少有人。 【考点】容斥原理之最值问题【难度】 5 星【题型】填空 【关键词】希望杯，4 年级， 1 试 【解析】 不会骑车的6 人，不会打乒乓球的8 人，不会羽毛球的11 人，不会游泳的19 人， 那么至少不会一项的最多只有6+8+11+19=44 人，那么思想都会的至少44 人 【答案】44人 【例 8】在阳光明媚的一天下午，甲、乙、丙、丁四人给100 盆花浇水，已知甲浇了30 盆，乙浇了
16、75 盆，丙浇了80 盆，丁浇了90 盆，请问恰好被3 个人浇过的花最 少有多少盆？ 【考点】容斥原理之最值问题【难度】 5 星【题型】填空 【解析】 为了恰好被3 个人浇过的花盆数量最少，那么被四个人浇过的花、两个人浇过的花 和一个人浇过的花数量都要尽量多，那么应该可以知道被四个人浇过的花数量最多 是 30 盆，那么接下来就变成乙浇了45 盆，丙浇了 50 盆，丁浇 60 盆了， 这时共有 1003070盆花，我们要让这70 盆中恰好被3 个人浇过的花最少，这就是简单 的容斥原理了，恰好被3 个人浇过的花最少有45506014015盆 【答案】15 【巩固】甲、乙、丙同时给100 盆花浇水 已知甲浇了78 盆，乙浇了 68 盆，丙浇了 58 盆， 那么 3 人都浇过的花最少有多少盆? 【考点】容斥原理之最值问题【难度】 4 星【题型】填空 【解析】 只考虑甲乙两人情况，有甲、乙都浇过的最少为：78+68-100=46盆，此时甲单独 浇过的为78-46=32 盆，乙单独浇过的为68-46=22 盆； 欲使甲、乙、丙三人都浇过的花最少时，应将丙浇过的花尽量
