《小学奥数：容斥原理之数论问题.专项练习[汇编]》由会员分享，可在线阅读，更多相关《小学奥数：容斥原理之数论问题.专项练习[汇编]（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、7- 7-4. 容斥原理之数论问题. 题库教师版 page1 of8 1.了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容； 2.掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用 一、两量重叠问题 在一些计数问题中， 经常遇到有关集合元素个数的计算求两个集合并集的元素的个数， 不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个 数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：ABABABUI(其中符号“U ”读作 “并”， 相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“ I ”读作“交”， 相当于中文“且” 的意思 )则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理 图示如下 :A表示小圆部分，B 表
2、示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为： ABI，即阴影面积 图示如下 :A表 示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为： ABI，即阴影面积 包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合AB、的并集 ABU的元素的个数，可分以下两 步进行： 第一步：分别计算集合AB、的元素个数，然后加起来，即先求AB( 意思是把AB、的一 切元素都“包含”进来，加在一起) ； 第二步： 从上面的和中减去交集的元素个数，即减去 CABI( 意思是“排除”了重复计算 的元素个数 ) 二、三量重叠问题 A类、B类与C类元素个数的总和A类元素的个数B类元素个数C类元素个数 既是A类又是B类的元素
3、个数既是B类又是C类的元素个数既是A类又是C类的元素 知识要点 教学目标 1先包含AB 重叠部分ABI计算了 2次，多加了1次； 2再排除ABABI 把多加了1次的重叠部分ABI减去 7-7-4 容斥原理之数论问题 7- 7-4. 容斥原理之数论问题. 题库教师版 page2 of8 个 数同 时 是A类 、B类 、C类 的 元 素 个 数 用 符 号 表 示 为 ： ABCABCABBCACABCUUIIIII图示如下： 在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图( 韦恩图 ) 来帮助分析思考 【例 1】在1100的全部自然数中，不是3的倍数也不是5的倍数的数有多少个？ A B 【考点】容
4、斥原理之数论问题【难度】 2 星【题型】解答 【解 析】如图，用长方形表示 1100的全部自然数，A圆表示1100中3的倍数，B圆表示 1100中5的倍数，长方形内两圆外的部分表示既不是3的倍数也不是5的倍数的 数 由1003331L可知，1100中3的倍数有33个；由100520可知，1100中5的倍数 有20个；由1003 5610L（）可知，1100既是3的倍数又是5的倍数的数有6个 由包含排除法，3或5的倍数有：3320647( 个) 从而不是3的倍数也不是5的倍数的 数有1004753( 个) 【答案】53 【巩固】 在自然数 1 100中，能被3或5中任一个整除的数有多少个？ 【考
5、点】容斥原理之数论问题【难度】 2 星【题型】解答 【解析】1003331L，100520，1003 5610L（）根据包含排除法，能被3或5 中任一个整除的数有 3320647( 个 ) 【答案】47 【巩固】在前100个自然数中，能被2或3整除的数有多少个？ 【考点】容斥原理之数论问题【难度】 2 星【题型】解答 【解析】 如图所示，A圆内是前100个自然数中所有能被2整除的数，B圆内是前100个自 然数中所有能被3整除的数，C为前100个自然数中既能被2整除也能被3整除的 数 例题精讲 图中小圆表示A的元素的个数，中圆表示B的元素的个数， 大圆表示 C的元素的个数 1先包含：ABC 重叠
6、部分ABI、BCI、CAI重叠了2次，多加了1次 2再排除： ABCABBCACIII 重叠部分ABCII重叠了3次，但是在进行ABC ABBCACIII计算时都被减掉了 3再包含：ABCABBCACABCIIIII 7- 7-4. 容斥原理之数论问题. 题库教师版 page3 of8 前100个自然数中能被2整除的数有：100250( 个) 由1003331L知，前100个自然 数中能被3整除的数有：33个由10023164L（）知，前100个自然数中既能被2整除 也能被3整除的数有16个 所以A中有50个数，B中有33个数，C中有16个数因为A，B都包含C，根据包含排 除法得到，能被2或3
7、整除的数有：5033 1667( 个) 【答案】67 【例 2】在从 1 至 1000 的自然数中，既不能被5 除尽，又不能被7 除尽的数有多少个? 【考点】容斥原理之数论问题【难度】 2 星【题型】解答 【解析】 1 1000 之间， 5 的倍数有 1000 5 =200 个， 7 的倍数有 1000 7 =142 个，因为既 是 5 的倍数，又是7 的倍数的数一定是35 的倍数，所以这样的数有 1000 35 =28 个 所以既不能被5 除尽，又不能被7 除尽的数有1000-200-142+-28=686个 【答案】686 【巩固】求在 1 至 100 的自然数中能被3 或 7 整除的数的
8、个数 【考点】容斥原理之数论问题【难度】 2 星【题型】解答 【解析】 记A：1100 中 3 的倍数，1003331L L，有 33 个； B：1 100 中 7 的倍数，1007142L L，有 14 个； ABI： 1100 中 3 和 7 的公倍数，即21 的倍数，10021416L L，有 4 个 依据公式， 1 100 中 3 的倍数或7 的倍数共有 3314443个，则能被 3 或 7 整除的数的 个数为 43 个 . 【答案】43 【例 3】以 105 为分母的最简真分数共有多少个？它们的和为多少？ 【考点】容斥原理之数论问题【难度】 4 星【题型】解答 【解析】 以 105
9、为分母的最简真分数的分子与105 互质，105=357，所以也是求1 到 105 不是 3、5、7 倍数的数有多少个，3 的倍数有35 个， 5 的倍数有21 个， 7 的倍数 有 15 个，15 的倍数有7 个， 21 的倍数有5 个， 35 的倍数有3 个， 105 的倍数有1 个，所以105 以内与105 互质的数有105-35-21-15+7+5+3-1=48个，显然如果n 与 105 互质， 那么（105-n ）与 n 互质， 所以以 105 为分母的48 个最简真分数可两 个两个凑成1，所以它们的和为24. 【答案】48个，和24 【巩固】 分母是 385 的最简真分数有多少个？并
10、求这些真分数的和. 【考点】容斥原理之数论问题【难度】 4 星【题型】解答 【解析】 385=5711，不超过385 的正整数中被5 整除的数有77 个；被 7 整除的数有55 个；被 11 整除的数有35 个；被 77 整除的数有5 个；被 35 整除的数有11 个；被 55 整除的数有7 个；被385 整除的数有1 个；最简真分数的分子可以有 385-77-55-35+5+11+7-1=240.对于某个分数a/385如果是最简真分数的话，那么 （385-a ）/385 也是最简真分数，所以最简真分数可以每两个凑成整数1，所以这 些真分数的和为120. 【答案】240个，120个 【例 4】
11、在 1 至 2008 这 2008 个自然数中，恰好是3、5、7 中两个数的倍数的数共有 个 【考点】容斥原理之数论问题【难度】 3 星【题型】填空 7- 7-4. 容斥原理之数论问题. 题库教师版 page4 of8 【关键词】西城实验 【解析】 1 到 2008 这 2008 个自然数中， 3 和 5 的倍数有 2008 133 15 个， 3 和 7 的倍数有 2008 95 21 个， 5和 7的倍数有 2008 57 35 个， 3、 5和 7的倍数有 2008 19 105 个 所 以，恰好是3、5、7 中两个数的倍数的共有133 1995 195719228个 【答案】228个
12、【例 5】求 1 到 100 内有 _个数不能被2、3、7 中的任何一个整除。 【考点】容斥原理之数论问题【难度】 3 星【题型】填空 【关键词】学而思杯，4 年级，第12 题 【解析】 被2整除的有50个，被3整除的有33个，被7整除的有14个 同时被2和3整除的有16个，同时被2和7整除的有7个，同时被3和7整除的有4个 同时被2和3和7整除的有2个， 100503314167421007228 个 【答案】 28 个。 【例 6】在从 1 到 1998 的自然数中，能被2 整除，但不能被3 或 7 整除的数有多少个？ 【考点】容斥原理之数论问题【难度】 3 星【题型】解答 【解析】 a
13、b 表示取商的整数部分例如， 7 3 2 要注意的是，符号与、 符号一样，也是一种运算，叫取整运算 本题中，先求出能被2 整除的数有多少个，再分别求出能被2 和 3、能被 2 和 7 分别整除的 数的个数，那么用能被2 整除的数的个数减去能被2 和 3 整除的数的个数，再减去能被2 和 7 整除的 数的个数， 所得的差是不是所求的得数呢？仔细想想你会发现不是的，因为它多减了能同时 被 2、3、7 整除的数 故能被 2 整除的有：19982999( 个) 能被 2 和 3 同时整除的有：199823 333（）( 个) 能被 2 和 7 同时整除的有：199827 142（） 能被 2、 3、7
14、 同时整除的有：1998237 47（）( 个) 所以，能被2 整除，但不能被3 或 7 整除的数有 999333 14247571( 个) 【答案】 571个 【例 7】50 名同学面向老师站成一行老师先让大家从左至右按1，2，3， 49，50 依 次报数；再让报数是4 的倍数的同学向后转，接着又让报数是6 的倍数的同学向 后转问：现在面向老师的同学还有多少名? 【考点】容斥原理之数论问题【难度】 3 星【题型】解答 【关键词】华杯赛，初赛，第13 题 【解析】 在转过两次后，面向老师的同学分成两类： 第一类是标号既不是4 的倍数，又不是 6 的倍数；第二类是标号既是4 的倍数又是6 的倍数
15、 150之间，4的倍数有 50 4 =12,6的倍数有 50 6 =8，即是4的倍数又是6的倍数的 数一定是12的倍数，所以有 50 12 =4于是，第一类同学有50-12-8+4=34人，第二 类同学有4人，所以现在共有34+4=38名同学面向老师 【答案】38名 【例 8】体育课上， 60 名学生面向老师站成一行，按老师口令， 从左到右报数： 1， 2， 3， ， 7- 7-4. 容斥原理之数论问题. 题库教师版 page5 of8 60，然后，老师让所报的数是4 的倍数的同学向后转，接着又让所报的数是5 的倍数的同学向后转，最后让所报的数是6的倍数的同学向后转，现在面向老师 的学生有 _
16、人。 【考点】容斥原理之数论问题【难度】 3 星【题型】填空 【关键词】希望杯，六年级，二试，第15 题， 4 分 【解析】可知其中4 的倍数有15 个， 5 的倍数有12 个， 6 的倍数有10 个，同时是4 和 5 的倍数的有3 个，同时是 5 和 6 的倍数的有2 个，同时是4 和 6 的倍数的有5 个， 同时是 4、5、6 的倍数的数有1 个，现在背向老师的有15+12+10-3-2-5+1=28个， 面向老师的学生有60-28=32 人。转过两次的有：31+2 1+5 1 7。最后面向 老师的学生数=32+739 个。 【答案】39个 【例 9】有 2000 盏亮着的电灯， 各有一个拉线开关控制着，现按其顺序编号为1， 2， 3， ， 2000， 然后将编号为2 的倍数的灯线拉一下，再将编号为3 的倍数的灯线拉一下， 最后将编号为5 的倍数的灯线拉一下，三次拉完后，亮着的灯有多少盏？ 5 3 2 G FE D C B A 【考点】容斥原理之数论问题【难度】 3 星【题型】解答 【解析】 三次拉完后，亮着的灯包括不是2、
