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1、第二章基本初等函数( ) 2.1 指数函数 【2.1.1 】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念 如果,1 n xa aR xR n，且nN，那么x叫做a的n次方根当n是奇 数时，a的n次方根用符号 n a表示；当n是偶数时，正数a的正的n次方根用符号 n a 表示，负的n次方根用符号 n a表示； 0 的n次方根是0；负数a没有n次方根 式子 n a叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数当n为奇数时，a为任 意实数；当n为偶数时，0a 根 式 的 性 质 ：( ) nn aa； 当n为 奇 数 时 ， nn aa； 当n为 偶 数 时 ， (0) | (0) nn aa aa aa （2
2、）分数指数幂的概念 正数的正分数指数幂的意义是：(0, m nm n aaam nN且1)n0 的正分 数指数幂等于0 正 数 的 负 分 数 指 数 幂 的 意 义 是 ： 11 ( )( ) (0, mm m nn n aam nN aa 且 1)n 0 的负分数指数幂没有意义注意口诀： 底数取倒数，指数取相反数 （3）分数指数幂的运算性质 (0, ,) rsrs aaaar sR()(0, ,) rsrs aaar sR ()(0,0,) rrr aba babrR 【 2.1.2】指数函数及其性质 （4）指数函数 函数名称指数函数 定义函数(0 x yaa且1)a叫做指数函数 图象 1
3、a01a x ay x y (0,1) O 1y x ay x y (0,1) O 1y 定义域 R 值域 (0,) 过定点图象过定点(0,1)，即当0 x时，1y 奇偶性非奇非偶 单调性在R上是增函数在R上是减函数 函数值的 变化情况 1 (0) 1 (0) 1 (0) x x x ax ax ax 1 (0) 1 (0) 1 (0) x x x ax ax ax a变化对 图象的影响在第一象限内，a越大图象越高；在第二象限内，a越大图象越低 2.2对数函数 【2.2.1】对数与对数运算 （1）对数的定义 若(0,1) x aN aa且，则x叫做以 a为底N的对数，记作 logaxN，其中a
4、叫 做底数，N叫做真数 负数和零没有对数 对数式与指数式的互化：log(0,1,0) x a xNaN aaN （2）几个重要的对数恒等式 log 10 a ，log1 a a，log b aa b （3）常用对数与自然对数 常用对数：lg N，即 10 logN；自然对数：ln N，即log eN （其中2.71828e） （4）对数的运算性质如果0,1,0,0aaMN，那么 加法：logloglog () aaa MNMN减法：logloglog aaa M MN N 数乘：loglog() n aa nMMnR logaN aN loglog(0,) b n a a n MM bnR b
5、 换底公式： log log(0,1) log b a b N Nbb a 且 【2.2.2】对数函数及其性质 （5）对数函数 函数 名称 对数函数 定义函数log(0 a yx a且1)a叫做对数函数 图象 1a01a 定义域(0,) 值域 R 过定点图象过定点(1,0)，即当1x时，0y 奇偶性非奇非偶 单调性 在(0,)上是增函数在(0,)上是减函数 函数值的 变化情况 log0 (1) log0 (1) log0 (01) a a a xx xx xx log0 (1) log0 (1) log0 (01) a a a xx xx xx a变化对 图象的影响在第一象限内，a越大图象越靠
6、低；在第四象限内，a越大图象越靠高 (6)反函数的概念 设函数( )yf x的定义域为A，值域为C，从式子( )yf x中解出x，得式子 ( )xy如果对于y在C中的任何一个值，通过式子( )xy，x在A中都有唯一确 定的值和它对应，那么式子( )xy表示x是y的函数，函数( )xy叫做函数 ( )yf x的反函数，记作 1 ( )xfy，习惯上改写成 1( ) yfx x y O (1,0) 1x logayx x y O(1,0) 1x logayx （7）反函数的求法 确定反函数的定义域，即原函数的值域；从原函数式( )yf x中反解出 1 ( )xfy； 将 1 ( )xfy改写成 1
7、 ( )yfx，并注明反函数的定义域 （8）反函数的性质 原函数( )yf x与反函数 1 ( )yfx的图象关于直线yx对称 函数( )yf x的定义域、值域分别是其反函数 1 ( )yfx的值域、定义域 若( , )P a b在原函数( )yfx的图象上，则 ( ,)P b a在反函数 1( ) yfx的图象 上 一般地，函数( )yf x要有反函数则它必须为单调函数 2.3幂函数 （1）幂函数的定义 一般地，函数yx叫做幂函数，其中x为自变量，是常数 （2）幂函数的图象 （3）幂函数的性质 图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象幂函数是偶函数时， 图象分布在第一、二象
8、限(图象关于y轴对称 )；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象 关于原点对称 )；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限 过定点：所有的幂函数在(0,)都有定义，并且图象都通过点(1,1) 单调性：如果0，则幂函数的图象过原点，并且在0,)上为增函数如果0， 则幂函数的图象在(0,)上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x轴与y轴 奇偶性： 当为奇数时， 幂函数为奇函数， 当为偶数时， 幂函数为偶函数 当 q p （其 中,p q互质，p和qZ） ，若p为奇数q为奇数时， 则 q p yx是奇函数， 若p为奇数q为 偶数时，则 q p yx是偶函数，若p为偶数q为奇数时，则 q p yx是非奇非偶函数 图象特征： 幂函数,(0,)yxx ，当1时，若01x，其图象在直线yx下 方，若1x，其图象在直线yx上方，当1时，若01x，其图象在直线yx上 方，若1x，其图象在直线yx下方
