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1、7- 6-2. 计数之整体法 . 题库教师版page1 of2 前面在讲加法原理、乘法原理、排列组合时已经穿插讲解了计数中的一些常用的方法， 比如枚举法、树形图法、标数法、捆绑法、排除法、插板法等等，这里再集中学习一下计数 中其他常见的方法，主要有归纳法、整体法、对应法、递推法对这些计数方法与技巧要做 到灵活运用 解决计数问题时， 有时要“化整为零”，使问题变得简单； 有时反而要从整体上来考虑， 从全局、从整体来研究问题，反而有利于发现其中的数量关系 【例 1 】一个正方形的内部有1996 个点， 以正方形的4 个顶点和内部的1996 个点为顶点， 将它剪成一些三角形问：一共可以剪成多少个三角
2、形?如果沿上述这些点中某 两点之间所连的线段剪开算作一刀，那么共需剪多少刀? 【考点】计数之整体法【难度】 4 星【题型】解答 【解析】 方法一：归纳法，如下图，采用归纳法，列出1 个点、 2 个点、 3 个点时可剪出 的三角形个数，需剪的刀数 不难看出，当正方形内部有n个点时，可以剪成2n 2 个三角形，需剪3n+l刀， 现 在 内 部 有1996 个 点 ， 所 以 可 以 剪 成21996+2=3994个 三 角 形 ， 需 剪 31996+1=5989 刀 方法二： 整体法 我们知道内部一个点贡献360 度角， 原正方形的四个顶点共贡献 了 360 度角，所以当内部有n个点时，共有36
3、0n+360 度角，而每个三角形的内角 和为 180 度角，所以可剪成(360n+360)180=2n+2个三角形 2n+2 个三角形共有3(2n+2)=6n+6 条边，但是其中有4 条是原有的正方形的边， 所以正方形内部的三角形边有6n+6 4=6n+2 条边，又知道每条边被2 个三角形共 用，即每2 条边是重合的，所以只用剪(6n+2)2 3n+1刀 本题中n=1996，所以可剪成3994 个三角形，需剪5989 刀 【答案】可剪成3994 个三角形，需剪5989 刀 【巩固】在三角形ABC内有 100 个点，以三角形的顶点和这100 点为顶点，可把三角形剖 分成多少个小三角形？ 例题精讲
4、 教学目标 7-6-2 计数之整体法 7- 6-2. 计数之整体法 . 题库教师版page2 of2 【考点】计数之整体法【难度】 4 星【题型】解答 【解 析】整体法 100 个点每个点周围有360 度，三角形本身内角和为180 度，所以可以分 成 360100180180201个小三角形 【答案】201个小三角形 【例 2 】在一个六边形纸片内有 60个点，以这60个点和六变形的6个顶点为顶点的三角 形，最多能剪出_个 【考点】计数之整体法【难度】 4 星【题型】填空 【解 析】设正六边形内有n 个点，当 1n 时有6个三角形，每增加一个点，就增加 2个三角 形， n 个点最多能剪出62 122nn个三角形 60n时，可剪出124个三角形 注：设最多能剪出x个小三角形，则这些小三角形的内角和为180 x换一个角度看，汇聚 到 正 六 边 形 六 个 顶 点 处 各 角 之 和 为4 180， 故 这 些 小 三 角 形 的 内 角 总 和 为 603604 180于是18060 3604 180 x，解得124x 【答案】124个
