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1、学 海 无 涯 1 必修必修 1 1 数学知识点数学知识点 集合：集合： 1、集合的定义：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集。集合中的每个对象叫做 这个集合中的元素 2、集合元素的特征：确定性 互异性 无序性 3、集合的分类：有限集 无限集 空集，记作 4、集合的表示法：列举法 描述法 文氏图法 特殊集合 区间法 常用数集及其记法：自然数集（或非负整数集）记为N 正整数集记为 N或 + N 整数集记为Z 实数集记为R 有理数集记为Q 5、元素与集合的关系：属于关系，用“”表示；不属于关系，用“”表示 6、集合间的关系：包含：用“”表示 真包含：用“ ”表示 相等 不相等 7
2、、集合的交、并、补 交集的定义：由所有属于集合A且属于集合的元素组成的集合，叫做A与B的交集，记作BA， 即BxAxxBA=且 并集的定义：由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，叫做A与B的并集，记作BA， 即BxAxxBA=或 8、全集与补集：对于一个集合A，由全集U中不属于A的所有元素组成的集合称为集合A相对于集合U 的补集，记作ACU，即AxUxxACU=且, 9、交集、并集、补集的运算： (1)交换律：ABBAABBA= (2)结合律:)()()()(CBACBACBACBA= (3)分配律:.)()()()()()(CABACBACABACBA= (4)0-1 律：,AAAU
3、AAUA U= = (5)等幂律：AAAAAA= (6)求补律：AACCUCUCUACAACA UUUUUU =)( (7)反演律：)()()(BCACBAC UUU = )()()(BCACBAC UUU = 10、文氏图的应用：交集、并集、补集的文氏图表示 11、重要的等价关系：BABBAABA= 12、一个由n个元素组成的集合有 n 2个不同的子集，其中有12 n 个非空子集，也有12 n 个真子集 函数函数： 1、映射：设BA、是两个集合,如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个元素a，在集合B中 都有唯一的元素b和它对应,则这样的对应（包括集合BA、以及A到B的对应法则f）叫做
4、 从集合A到集合的映射，记作BAf:，其中b叫做a的象，a叫做b的原象 如果在这个映射下，对于集合A中的不同元素，在集合中有不同的象，而且B中的每一个元素 都有原象，那么这个映射叫做A到B上的一一映射 2、 函数：设BA、是两个非空数集，那么从A到B的映射BAf:就叫做函数，记作)(xfy =，其 中ByAx ,，x叫做自变量,y是x的函数值自变量的取值集合A叫做函数的定义域，函 数值的集合C叫做函数的值域，值域BC ，函数三要素：定义域、值域、对应法则;两个函数相同： 定义域和对应关系都分别相同 3、函数的表示方法： （1）列表法 （2）图象法 （3）解析法 4、分段函数:在自变量的不同取值
5、范围内,其解析式不同,分段函数不是几个函数,是一个函数 5、 （1）函数的定义域的常用求法： U CUA A A B AB AB 学 海 无 涯 2 分式的分母不等于零 偶次方根的被开方数大于等于零 对数的真数大于零 指数函数和对数函数的底数大于零且不等于 1 三角函数正切函数tanyx=中() 2 xkkZ +，余切函数cotyx=中,)(Zkkx 如果函数是由实际意义确定的解析式，应依据自变量的实际意义确定其取值范围 （2）值域的求法：直接法 分离常数法 图象法 换元法 判别式法 不等式与对勾函数 6、求函数解析式的方法: 直代 凑配法 换元法 待定系数法 列方程组法 特殊值法 7、增减函
6、数的定义：对于函数)(xf的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值 21,x x 若当 21 xx 时，都有)()( 21 xfxf,则说)(xf在这个区间上是增函数 若 21 xx 当时，都有)()( 21 xfxf,则说)(xf在这个区间上是减函数 8、 （1）单调性的证明：讨论函数的增减性应先确定单调区间, 用定义证明函数的增减性, 有“一设, 二 差, 三判断”三个步骤 （2）函数单调性的常用结论： 若( ), ( )f x g x均为某区间上的增（减）函数,则( )( )f xg x+在这个区间上也为增（减）函数 若( )f x为增（减）函数，则( )f x为减（增）函数 若( )
7、f x与( )g x的单调性相同，则 ( )yf g x=是增函数；若( )f x与( )g x的单调性不同， 则 ( )yf g x=是减函数,即复合函数的单调性是“同增异减” 奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反 9、 （1）奇、偶函数的定义：对于函数)(xf 如果对于函数定义域内任意一个x，都有)()(xfxf=，那么函数)(xf就叫做偶函数 如果对于函数定义域内任意一个x，都有)()(xfxf=,那么函数)(xf就叫做奇函数 注意：函数为奇偶函数的前提是定义域在数轴上关于原点对称 )()()()(xfxfxfxf=或是定义域上的恒等式 若奇函数)(xf在0=x
8、处有意义，则0)0(=f 奇函数的图像关于原点成中心对称图形，偶函数的图象关于y轴成轴对称图形 （2）函数奇偶性的常用结论： 如果一个奇函数在0 x =处有定义，则(0)0f=，如果一个函数( )yf x=既是奇函数又是 偶函数，则( )0f x =（反之不成立） 两个奇（偶）函数之和（差）为奇（偶）函数；之积（商）为偶函数 一个奇函数与一个偶函数的积（商）为奇函数 两个函数( )yf u=和( )ug x=复合而成的函数，只要其中有一个是偶函数，那么该复合函 数就是偶函数；当两个函数都是奇函数时，该复合函数是奇函数 基本初等函数基本初等函数 1、 （1）一般地，如果axn=，那么x叫做a的n
9、次方根。其中 + Nnn, 1 负数没有偶次方根 0 的任何次方根都是 0，记作00 = n 当n是奇数时，aa nn =，当n是偶数时， = )0( )0( | a a a a aa nn 我们规定：(1) mn m n aa=()1, 0 * mNnma (2)()0 1 = n a a n n （2）对数的定义：设0a且1a,对于数0N,若能找到实数b,使得Nab=,那么数b称为以a为 底的N的对数,记作Nb a log=,其中a叫做对数的底数, N叫做真数 注： （1）负数和零没有对数（因为0= b aN） （2）1log, 01log=a aa （0a且1a） （3） 将Nb a l
10、og=代回Nab=得到一个常用公式 logaN aN= （4）xNNa a x =log （3）幂函数的定义：一般地，我们把形如 a xy =函数称为幂函数其中x是自变量,是常数 学 海 无 涯 3 2、 （1）()Qsraaaa srsr = + , 0 ( )()Qsraaa rs s r =, 0 ()()Qrbabaab rr r =, 0, 0 （2）当0, 0, 1, 0NMaa时： ()NMMN aaa logloglog+= NM N M aaa logloglog= MnM a n a loglog= 换底公式： a b b c c a log log log= ()0, 1
11、, 0, 1, 0bccaa，利用换底公式推导下面的结论： （1）b m n b a n am loglog= （2） a b b a log 1 log= 3、 （1）指数函数的定义：函数) 1, 0(=aaay x 叫做指数函数.函数的定义域是实数集R （2）对数函数的定义：一般把函数()10log=aaxy a 且叫做对数函数,它的自变量为x,其定义域 是()+, 0，底数a为常数 表 1 指数函数() 0,1 x yaaa= 对数数函数()log0,1 a yx aa= 定义 域 xR ()0,x+ 值域 ()0,y+ yR 图象 性质 过定点(0,1)? 过定点(1,0) 减函数 增
12、函数 减函数 增函数 (,0)(1,) (0,)(0,1) xy xy + + 时， 时， (,0)(0,1) (0,)(1,) xy xy + 时， 时， (0,1)(0,) (1,)(,0) xy xy + + 时， 时， (0,1)(,0) (1,)(0,) xy xy + 时， 时， ab ab ab ab 表 2 幂函数()yxR = 学 海 无 涯 4 零点、二分法零点、二分法： 1、 （1）函数的零点： 对于函数)(xfy =，我们把使0)(=xf的实数叫做函数)(xfy =的零点 方程0)(=xf有实根函数)(xfy =的图象与x轴有交点函数)(xfy =有零点 如果函数0)(
13、=xfy在区间ba,上的图象是连续不断的一条曲线，并且0)()(bfaf，那 么函数)(xfy =在区间ba,内有零点，即存在()bac,，使得0)(=cf，这个c也就是方程 0)(=xf的根 （2）函数零点的求法： （代数法）求方程0)(=xf的实数根 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(xfy =的图象联系起来，并利用函数 的性质找出零点 2、二分法： 定义：对于在区间上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二， 使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法 高中数学必修高中数学必修 2 2 知识点知识点 立体几何初步立体几何初步 1
14、、柱、锥、台、球的结构特征 （1）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行， p q = 0 01 1 1= p q 为奇数 为奇数 奇函数 p q 为奇数 为偶数 p q 为偶数 为奇数 偶函数 第一象限性 质 减函数 增函数 过定点01（ ， ） 学 海 无 涯 5 由这些面所围成的几何体 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等 表示：用各顶点字母,如五棱柱 EDCBAABCDE或用对角线的端点字母,如五棱柱 AD 几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平 行于底面的截
15、面是与底面全等的多边形 （2）棱锥定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 表示：用各顶点字母，如五棱锥 EDCBAP 几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距 离与高的比的平方 （3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等 表示：用各顶点字母，如五棱台 EDCBAP 几何特征：上下底面是相似的平行多边形 侧面是梯形 侧棱交于原棱锥的顶点 （4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体 几何特征：底面是全等的圆 母线与轴平行 轴与底面圆
