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1、学 海 无 涯 eord 完美格式 1 第一篇一元一次方程的讨论第一篇一元一次方程的讨论 第一部分基本方法第一部分基本方法 1.方程的解的定义： 能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。 一元方程的解 也叫做根。 例如：方程 2x60， x（x1）=0, |x|=6, 0 x=0, 0 x=2 的解 分别是： x=3,x=0 或x=1, x=6,所有的数，无解。 2.关于x的一元一次方程的解（根）的情况：化为最简方程ax=b后， 讨论它的解：当a0 时，有唯一的解 x= a b ； 当a=0 且b0 时，无解； 当a=0 且b0 时，有无数多解。 （不论x取什么值，0 x0 都成立）
2、 3.求方程ax=b(a0)的整数解、正整数解、正数解 当ab时，方程有整数解； 当ab，且a、b同号时，方程有正整数解； 当a、b同号时，方程的解是正数。 综上所述，讨论一元一次方程的解，一般应先化为最简方程ax=b 第二部分典例精析第二部分典例精析 例例 1 1a取什么值时，方程a(a2)x=4(a2) 有唯一的解？无解？ 有无数多解？是正数解？ 学 海 无 涯 eord 完美格式 2 例例 2 2k取什么整数值时，方程k(x+1)=k2（x2）的解是整数？（1x）k=6 的解是负 整数？ 例例 3 3 己知方程a(x2)=b(x+1)2a 无解。问a和b应满足什么关系？ 例例 4 4 a
3、、b取什么值时，方程（3x2）a+（2x3）b=8x7 有无数多解？ 第三部分典题精练第三部分典题精练 学 海 无 涯 eord 完美格式 3 1.根据方程的解的定义，写出下列方程的解： (x+1)=0, x 2=9, |x|=9， |x|=3, 3x+1=3x1, x+2=2+x 2.关于x的方程ax=x+2 无解，那么a_ 3.在方程a(a3)x=a中， 当a取值为时，有唯一的解； 当a时无解； 当a时,有无数多解； 当a时,解是负数。 4.k取什么整数值时，下列等式中的x是整数？ x= k 4 x= 1 6 k x= k k32 + x= 1 23 + k k 5. k取什么值时，方程x
4、k=6x的解是正数？是非负数？ 6. m取什么值时，方程 3（m+x）=2m1 的解是零？是正数？ 7. 己知方程 2 2 1 4 63+ =+ ax 的根是正数，那么a、b应满足什么关系？ 学 海 无 涯 eord 完美格式 4 8. m取什么整数值时，方程mm x 3 2 1) 1 3 (=的解是整数? 9.己知方程axx b 2 3 1) 1( 2 =+有无数多解，求a、b的值。 第二篇第二篇二元一次方程的整数解二元一次方程的整数解 学 海 无 涯 eord 完美格式 5 第一部分基本方法第一部分基本方法 1.二元一次方程整数解存在的条件：在整系数方程ax+by=c中， 若a,b的最大公
5、约数能整除c,则方程有整数解。即 如果（a,b）|c则方程ax+by=c有整数解 显然a,b互质时一定有整数解。 例如方程 3x+5y=1, 5x2y=7, 9x+3y=6 都有整数解。 返过来也成立，方程 9x+3y=10 和 4x2y=1 都没有整数解， （9，3）3，而 3 不能整除 10； （4，2）2，而 2 不能整除 1。 一般我们在正整数集合里研究公约数， （a,b）中的a,b实为它们的绝对值。 2.二元一次方程整数解的求法： 若方程ax+by=c有整数解，一般都有无数多个，常引入整数k来表示它的通解（即所有的 解） 。k叫做参变数。 方法一，整除法方法一，整除法：求方程 5x+
6、11y=1 的整数解 解：x= 5 111y =y yyy 2 5 1 5 101 = (1), 设kk y ( 5 1 = 是整数） ，则y=15k(2), 把（2）代入（1）得x=k2(15k)=11k2 原方程所有的整数解是 = = ky kx 51 211 （k是整数） 方法二，公式法方法二，公式法： 设ax+by=c有整数解 = = 0 0 yy xx 则通解是 = += akyy bkxx 0 0 （x0,y0可用观察法） 1， 求二元一次方程的正整数解： 出整数解的通解，再解x,y的不等式组，确定k值 用观察法直接写出。 第二部分典例精析第二部分典例精析 例例 1 1 求方程 5
7、x9y=18 整数解的能通解 学 海 无 涯 eord 完美格式 6 例例 2 2 求方程 5x+6y=100 的正整数解 例例 3 3 甲种书每本 3 元，乙种书每本 5 元，38 元可买两种书各几本？ 第三部分典题精练第三部分典题精练 1.求下列方程的整数解 公式法：x+7y=4,5x11y=3整除法：3x+10y=1,11x+3y=4 学 海 无 涯 eord 完美格式 7 2. 求方程的正整数解：5x+7y=87, 5x+3y=110 3. 一根长 10000 毫米的钢材，要截成两种不同规格的毛坯，甲种毛坯长 300 毫米，乙种毛 坯长 250 毫米，有几种截法可百分之百地利用钢材？
8、4. 兄弟三人， 老大 20 岁， 老二年龄的 2 倍与老三年龄的 5 倍的和是 97， 求兄弟三人的岁数。 5.下列方程中没有整数解的是哪几个？答： （填编号） 4x2y=11,10 x5y=70,9x+3y=111, 18x9y=98,91x13y=169,120 x+121y=324. 6. 一张试巻有 20 道选择题，选对每题得 5 分，选错每题反扣 2 分，不答得 0 分，小这军同 学 海 无 涯 eord 完美格式 8 学得 48 分，他最多得几分？ 7.用观察法写出方程 3x+7y=1 几组整数解： y= 1 4 2 x= 3 71y 第三篇第三篇二元一次方程组解的讨论二元一次方
9、程组解的讨论 第一部分基本方法第一部分基本方法 1.二元一次方程组 =+ =+ 222 111 cybxa cybxa 的解的情况有以下三种： 学 海 无 涯 eord 完美格式 9 当 2 1 2 1 2 1 c c b b a a =时，方程组有无数多解。 （两个方程等效） 当 2 1 2 1 2 1 c c b b a a =时，方程组无解。 （两个方程是矛盾的） 当 2 1 2 1 b b a a （即a1b2a2b10）时，方程组有唯一的解： = = 1221 2112 1221 1221 baba acac y baba bcbc x （这个解可用加减消元法求得） 2 方程的个数少
10、于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按 二元一次方程整数解的求法进行。 3 求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数） ，再解 含待定系数的不等式或加以讨论。 （见例 2、3） 第二部分典例精析第二部分典例精析 例例 1.1. 选择一组a,c值使方程组 =+ =+ cyax yx 2 75 例例 2.2. a取什么值时，方程组 =+ =+ 3135yx ayx 的解是正数？ 学 海 无 涯 eord 完美格式 10 例例 3.3. m取何整数值时，方程组 =+ =+ 14 42 yx myx 的解x和y都是整数？ 例例 4.4.（古代问题）
11、用 100 枚铜板买桃，李，榄橄共 100 粒，己知桃，李每粒分别是 3，4 枚 铜板，而榄橄 7 粒 1 枚铜板。问桃，李，榄橄各买几粒？ 第三部分典题精练第三部分典题精练 1.不解方程组，判定下列方程组解的情况： = = 963 32 yx yx = = 324 32 yx yx = =+ 153 153 yx yx 学 海 无 涯 eord 完美格式 11 1 a取什么值时方程组 += +=+ 22969 13 2 2 aayx aayx 的解是正数？ 2 a取哪些正整数值，方程组 = =+ ayx ayx 243 52 的解x和y都是正整数？ 3 要使方程组 = =+ 12yx kky
12、x 的解都是整数，k应取哪些整数值？ 学 海 无 涯 eord 完美格式 12 4 （古代问题）今有鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡， 鸡翁，鸡母，鸡雏都买，可各买多少？ 第四篇第四篇用交集解题用交集解题 第一部分基本方法第一部分基本方法 1.某种对象的全体组成一个集合集合。 组成集合的各个对象叫这个集合的元素。元素。 例如 6 的正约数 集合记作6 的正约数1，2，3，6 ，它有 4 个元素 1，2，3，6；除以 3 余 1 的正整 数集合是个无限集，记作除以 3 余 1 的正整数1，4，7，10 ，它的个元素有无 数多个。 1 由两个集合的所有公共元素组成的一个集
13、合，叫做这两个集合的交集交集 学 海 无 涯 eord 完美格式 13 例如 6 的正约数集合A1，2，3，6 ，10 的正约数集合B1，2，5，10 ，6 与 10 的 公约数集合C1，2 ，集合C是集合A和集合B的交集。 2 几个集合的交集可用图形形象地表示， 右图中左边的椭圆表示正数集合， 右边的椭圆表示整数集合，中间两个椭圆 的公共部分，是它们的交集正整数集。 不等式组的解集是不等式组中各个不等式解集的交集。 例如不等式组 )2(2 ) 1 (62 x x 解的集合就是 不等式（1）的解集x3 和不等式（2）的解集x2 的交集，x3. 如数轴所示： 0 2 3 4一类问题，它的答案要同
14、时符合几个条件，一般可用交集来解答。把符合每个条件的所 有的解（即解的集合）分别求出来，它们的公共部分（即交集）就是所求的答案。 有时可以先求出其中的一个（一般是元素最多）的解集，再按其他条件逐一筛选、剔除， 求得答案。 （如例 2） 第二部分典例精析第二部分典例精析 例例 1.1.一个自然数除以 3 余 2，除以 5 余 3，除以 7 余 2，求这个自然数的最小值。 整 数 集 正 数 集 正 整 数 集 学 海 无 涯 eord 完美格式 14 例例 2.2.有两个二位的质数，它们的差等于 6，并且平方数的个位数字相同，求这两个数。 例例 3.3.数学兴趣小组中订阅 A 种刊物的有 28 人，订阅 B 种刊物的有 21 人
