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1、数学（理科）试题 第 1 页（共 6 页） 江门市 2020 年高考模拟考试 数学（理科） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1. 已知 i 是虚数单位，复数 z 满足，则 z 的共轭复数在复平面内表示的点在i1) i 43(zz A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 2. 若函数是幂函数，且满足，则的值为)(xf3 )2( )4( f f 2 1 f A. B. C. 3D. 3 3 1 3 1 3. 已知直线和，若，则实数 m 的014)4( : 1 yxml01) 1()4( : 2
2、 ymxml 21 ll 值为 A. 1 或B. 或C. 2 或D. 或3 2 1 3 1 6 2 1 3 2 4. “割圆术”是刘徽最突出的数学成就之一，他在九章算术注中提出割圆术，并作为计算 圆的周长、面积以及圆周率的基础. 刘徽把圆内接正多边形的面积一直 算到了正 3072 边形，并由此而求得了圆周率为3.141 5和3.141 6这两个近 似数值,这个结果是当时世界上圆周率计算的最精确数据. 如图，当分割 到圆内接正六边形时，某同学利用计算机随机模拟法向圆内随机投掷 点， 计算得出该点落在正六边形内的频率为 0.826 9， 那么通过通过该实 验计算出来的圆周率近似值为（参考数据：）6
3、094 . 2 9826 . 0 3 A. 3.141 9B. 3.141 7C. 3.141 5D. 3.141 3 5. 已知命题； 命题，则下列判断正确的01,: 2 xxxpR2cossin,:xxxqR 数学（理科）试题 第 2 页（共 6 页） 是 A. 是假命题B. q 是假命题p C. 是假命题D. 是真命题qpqp )( 6. 周髀算经中有这样一个问题 ： 从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、 清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日 影长之和为 31.5 尺，前九个节气日影长之和为 85.5 尺，则小满日影长为 A.
4、 1.5 尺B. 2.5 尺C. 3.5 尺D. 4.5 尺 7. 下列四个命题：在回归模型中，预报变量 y 的值不能由解释变量 x 唯一确定；若变量 x , y 满足关系，且变量 y 与 z 正相关，则 x 与 z 也正相关；在残差图中，残差11 . 0 xy 点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高；以模型去拟合一组数据 kx cye 时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则.yzln43 . 0 xz3 . 0,e4kc 其中真命题的个数为 A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个 8. 已知二项式的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2 : 5， 则x
5、3)( 1 2 Nn x x n 的系数为 A. 14B. C. 240D. 14240 9. 一袋中有红、黄、蓝三种颜色的小球各一个，每次从中取出一个，记下颜色后放回，当三种 颜色的球全部取出时停止取球，则恰好取 5 次球时停止取球的概率为 A. B. C. D. 81 5 81 14 81 22 81 25 10. 已知某校一间办公室有四位老师甲、乙、丙、丁. 在某天的某个时段，他们每人各做一项 工作，一人在查资料，一人在写教案，一人在批改作业，另一人在打印材料. 若下面 4 个说法 都是正确的 ： 甲不在查资料， 也不在写教案 ； 乙不在打印材料， 也不在查资料 ； 丙不在批改 数学（理
6、科）试题 第 3 页（共 6 页） P F1 F2 Q Ox y 作业，也不在打印材料；丁不在写教案，也不在查资料此外还可确定：如果甲不在打印材 料，那么丙不在查资料根据以上信息可以判断 A甲在打印材料 B乙在批改作业 C. 丙在写教案 D丁在打印材料 11. 设为双曲线的左、 21, F F)0,0(1: 2 2 2 2 ba b y a x C 右 焦 点 ，分 别 为 双 曲 线 左 、 右 支 上 的 点 ， 若QP , 且，则双曲线的离心 率为 12 2PFQF 0 21 PFPF A. B. C. D. 3 15 3 17 2 5 2 7 12. 四棱锥 PABCD，AD面 PAB
7、，BC面 PAB，底面ABCD 为梯形，AD = 4，BC = 8，AB = 6，APD = BPC，满足上述条件的四棱锥顶点 P 的轨迹是 A. 线段B. 圆的一部分 C. 椭圆的一部分D. 抛物线的一部分 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13. 若 x , y 满足约束条件，则的最大值为_. 04 0 01 yx yx x x y 14. 计算_. xxxd)4(sin 2 2 2 15. 若圆关于直线对称，由点向圆 C 作切0722: 22 yxyxC04 byax),(baP 线，切点为A，则线段 PA的长度的最小值为_. P A B C D 数学（理科）
8、试题 第 4 页（共 6 页） 16. 已知函数的图象与直线恰有四个公共点，|sin|xy )0()2(mxmy),( 11 yxA ，其中，则_.),( 22 yxB),( 33 yxC),( 44 yxD 4321 xxxx 4 4 tan 2 x x 三、解答题 ： 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第 17 21 题为必考题，每个试题考 生都必须作答. 第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分. 17. （本小题满分 12 分） 在中，边 a , b , c 所对的边分别是A , B , C，已知，的面积为，BCAca BCA22 ，b = 3
9、.AAsin 3 2 sin)sin(CB (1) 求的值；Bsin (2) 求边 a , c 的值. 18. （本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥 PABCD 中，平面 PAD平面ABCD， PAPD， PA = PD，ABAD，AB = 1，AD = 2，.5 CDCA (1) 求证：PD平面 PAB； (2) 求直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值. 19. （本小题满分 12 分） 已知动点 P 到直线的距离比到定点 F (1 , 0)的距离多 1.2:xl P D E C E B E A E 数学（理科）试题 第 5 页（共 6 页） (1) 求动点 P 的轨迹 E 的方程
10、； (2) 若A为(1)中曲线 E 上一点， 过点A作直线 的垂线， 垂足为 C， 过坐标原点 O 的直线 OCl 交曲线 E 于另外一点 B，证明直线AB 过定点，并求出定点坐标. 20. （本小题满分 12 分） 已知函数.axxxf x sine)( (1) 若在上单调递增，求实数 a 的取值范围；)(xf 4 ,0 (2) 当时，求证：对于任意的，均有.1a 4 3 ,0 x0)(xf 21. （本小题满分 12 分） 2019 年 7 月 1 日到 3 日，世界新能源汽车大会在海南博鳌召开，大会着眼于全球汽车产业 的转型升级和生态环境的持续改善. 某汽车公司顺应时代潮流，最新研发了一
11、款新能源汽车， 并在出厂前对 100 辆汽车进行了单次最大续航里程（理论上是指新能源汽车所装载的燃料或电 池所能够提供给车行驶的最远里程）的测试. 现对测试数据进行分析，得到如图的频率分布直 方图. (1) 估计这 100 辆汽车的单次最大续航里程的平均值（同一组中的数据用该组区间的中x 频率 组距 0.009 0.004 0.002 0.001 0 180 230 280 330 380 430单次最大续航里程/千米 数学（理科）试题 第 6 页（共 6 页） 点值代表）； (2) 根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航量程 X 近似地服从正态 分布，经计算得第(1)问中样本
12、标准差 s 的近似值为 50. 用样本平均数作为的近),( 2 Nx 似值，用样本标准差 s 作为 的估计值，现任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程恰在 250 千米到 400 千米之间的概率； (3) 某汽车销售公司为推广此款新能源汽车， 现面向意向客户推出 “玩游戏， 送大奖” 活动， 客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，若遥控车最终停在“胜利大本 营”， 则可获得购车优惠券. 已知硬币出现正、 反面的概率都是， 方格图上标有第 0 格、 第 1 2 1 格、第 2 格第 50 格. 遥控车开始在第 0 格，客户每掷一次硬币，遥控车向前移动一次，若 掷出正面，遥控车向前
13、移动一格（从 k 到 k + 1），若掷出反面，遥控车向前移动两格（从 k 到 k + 2），直到遥控车移到第 49 格（胜利大本营）或第 50 格（失败大本营）时，游戏结束. 设遥控车移到第 n 格的概率为，试证明是等比数列，并解释 n P),491 ( 1 NnnPP nn 此方案能否成功吸引顾客购买该款新能源汽车. 参考数据：若随机变量服从，则，),( 2 N7682 . 0 )(P ，.5954 . 0 )22(P3997 . 0 )33(P （二）选考题：共 10 分. 请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一 题计分. 22. 选修 44：坐标系与参数方程
14、（本小题满分 10 分） 在平面直角坐标系中， 以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 已知曲线 C 的 极 坐 标 方 程 为， 过 点的 直 线 l 的 参 数 方 程 为)0(cossin2aa)4,2(P （t 为参数），直线 l 与曲线 C 相交于A , B 两点. ty tx 2 2 4 2 2 2 数学（理科）试题 第 7 页（共 6 页） (1) 写出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程； (2) 若，求 a 的值. 2 |BPBPAA 23. 选修 45：不等式选讲（本小题满分 10 分） 已知函数.)0(| 1 |)(a a xaxxf (1) 当
15、 a = 2 时，求不等式的解集；3)(xf (2) 若，且，证明：.Rm0m4 1 )( m fmf 数学（理科）试题 第 8 页（共 6 页） 数学（理科）试题参考答案 第 1 页（共 7 页） 1 y x 12345 6123 A B C D 江门市 2020 年高考模拟考试 数学（理科）参考答案 一、选择题 123456789101112 ADCADCCCBABB 12. 【解析】AD平面 PAB，BC平面 PAB， AD/BC 且ADPA，CBPB，APD = CPB CPBPDtantanA PB = 2PA PB CB P D A A 在平面 PAB 内，以AB 的中点为原点，A
16、B 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系，则，)0,3(A ，设，则，即)0,3(B0, ),(yyxP)0()3(4)3( 2222 yyxyx16)5( 22 yx . P 的轨迹为为圆的一部分，故选 B.)0(y 二、填空题 13141516 3231 16. 【解析】直线与函数的图像恰有四个公共点，如图)0()2(mxmy|sin|xy 当时，函数，依题意切点坐标为，又 2 3 ,xxxysin|sin|xycos),( 44 yxD 切点处的导数值就是直线斜率 m，即 m = cos x4，)0()2(mxmy ，则. 444 cos)2(sinxxx2tan 44 xx1 tan 2 4 4 x x P A B C D 数学（理科）试题参考答案 第 2 页（共 7 页） P D E C E B E A E z
