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1、学 海 无 涯数列1、数列中与之间的关系:注意通项能否合并。2、等差数列:定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,即=d ,(n2,nN),那么这个数列就叫做等差数列。等差中项:若三数成等差数列通项公式: 或 前项和公式:常用性质:若,则;下标为等差数列的项,仍组成等差数列;数列(为常数)仍为等差数列;若、是等差数列,则、 (、是非零常数)、,也成等差数列。单调性:的公差为,则:)为递增数列;)为递减数列;)为常数列;数列为等差数列(p,q是常数)若等差数列的前项和,则、 是等差数列。3、等比数列定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那
2、么这个数列就叫做等比数列。等比中项:若三数成等比数列(同号)。反之不一定成立。通项公式:前项和公式:常用性质若,则;为等比数列,公比为(下标成等差数列,则对应的项成等比数列)数列(为不等于零的常数)仍是公比为的等比数列;正项等比数列;则是公差为的等差数列;若是等比数列,则 是等比数列,公比依次是单调性:为递增数列;为递减数列;为常数列;为摆动数列;既是等差数列又是等比数列的数列是常数列。若等比数列的前项和,则、 是等比数列.4、非等差、等比数列通项公式的求法类型 观察法:已知数列前若干项,求该数列的通项时,一般对所给的项观察分析,寻找规律,从而根据规律写出此数列的一个通项。类型 公式法:若已知
3、数列的前项和与的关系,求数列的通项可用公式 构造两式作差求解。用此公式时要注意结论有两种可能,一种是“一分为二”,即分段式;另一种是“合二为一”,即和合为一个表达,(要先分和两种情况分别进行运算,然后验证能否统一)。类型 累加法:形如型的递推数列(其中是关于的函数)可构造: 将上述个式子两边分别相加,可得:若是关于的一次函数,累加后可转化为等差数列求和; 若是关于的指数函数,累加后可转化为等比数列求和;若是关于的二次函数,累加后可分组求和; 若是关于的分式函数,累加后可裂项求和. 类型 累乘法:形如型的递推数列(其中是关于的函数)可构造: 将上述个式子两边分别相乘,可得:有时若不能直接用,可变
4、形成这种形式,然后用这种方法求解。类型 构造数列法:形如(其中均为常数且)型的递推式: (1)若时,数列为等差数列; (2)若时,数列为等比数列;(3)若且时,数列为线性递推数列,其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.方法有如下两种: 法一:设,展开移项整理得,与题设比较系数(待定系数法)得,即构成以为首项,以为公比的等比数列.再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得法二:由得两式相减并整理得即构成以为首项,以为公比的等比数列.求出的通项再转化为类型(累加法)便可求出形如型的递推式:当为一次函数类型(即等差数列)时:法一:设,通过待定系数法确定的值,转化成以为首项,以为公比的等比数列,再利
5、用等比数列的通项公式求出的通项整理可得法二:当的公差为时,由递推式得:,两式相减得:,令得:转化为类型求出 ,再用类型(累加法)便可求出当为指数函数类型(即等比数列)时:法一:设,通过待定系数法确定的值,转化成以为首项,以为公比的等比数列,再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得法二:当的公比为时,由递推式得:,两边同时乘以得,由两式相减得,即,在转化为类型便可求出法三:递推公式为(其中p,q均为常数)或(其中p,q, r均为常数)时,要先在原递推公式两边同时除以,得:,引入辅助数列(其中),得:再应用类型的方法解决。当为任意数列时,可用通法: 在两边同时除以可得到,令,则,在转化为类型(累
6、加法),求出之后得.类型 对数变换法:形如型的递推式:在原递推式两边取对数得,令得:,化归为型,求出之后得(注意:底数不一定要取10,可根据题意选择)。类型 倒数变换法:形如(为常数且)的递推式:两边同除于,转化为形式,化归为型求出的表达式,再求;还有形如的递推式,也可采用取倒数方法转化成形式,化归为型求出的表达式,再求.类型 形如型的递推式:用待定系数法,化为特殊数列的形式求解。方法为:设,比较系数得,可解得,于是是公比为的等比数列,这样就化归为型。总之,求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解,对不能转化为以上方法求解的数列,可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式5、非等差、等比
7、数列前项和公式的求法错位相减法若数列为等差数列,数列为等比数列,则数列的求和就要采用此法.将数列的每一项分别乘以的公比,然后在错位相减,进而可得到数列的前项和.此法是在推导等比数列的前项和公式时所用的方法.裂项相消法一般地,当数列的通项 时,往往可将变成两项的差,采用裂项相消法求和.可用待定系数法进行裂项:设,通分整理后与原式相比较,根据对应项系数相等得,从而可得常见的拆项公式有: 分组法求和有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可.一般分两步:找通向项公式由通项公式确定如何分组.倒序相加法如果一个数列,与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和,则可用把正着写与倒着写的两个和式相加,就得到了一个常数列的和,这种求和方法称为倒序相加法。特征:记住常见数列的前项和:7