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1、“华杯赛”专题讲座 构造与论证（二）配套练习题一、解答题 1、如图，在33的方格表中已经填入了9个整数如果将表中同一行同一列的3个数加上相同的整数称为一次操作问：你能否通过若干次操作使得表中9个数都变为相同的数？2、某学校的学生中，没有一个学生读过学校图书馆的所有图书，又知道图书馆内任何两本书都至少被一个同学都读过问：能否找到两个学生甲、乙和三本书A、B、C，使得甲读过A、B，没读过C，乙读过B、C，没读过A？ 3、平面上有A、B、C、D、E、F六个点，其中没有三点共线，每两点之间任意选取红线或蓝线连接小红说：不管怎样连接，至少存在一个三边同色的三角形她说的对吗？ 4、4个人聚会，每人各带了2
2、件礼品，分赠给其余3个人中的2人小明说：至少有2对人，每对人是互赠过礼品的 他说的对吗？ 5、在88的国际象棋盘上最多能够放置多少枚棋子，使得棋盘上每行、每列及每条斜线上都有偶数枚棋子？ 6、有9位数学家，每人至多能讲3种语言，每3个人中至少有2个人有共通的语言小刚说：在这些数学家中至少有3人能用同一种语言交谈 他说的对吗？ 7、有3堆小石子，每次允许进行如下操作：从每堆中取走同样数目的小石子，或是将其中的某一石子数是偶数的堆中的一半石子移入另外的一堆开始时，第一堆有1989块石子，第二堆有989块石子，第三堆有89块石子问能否做到：(1)某2堆石子全部取光？(2)3堆中的所有石子都被取走？
3、8、若干箱货物总重19.5吨，每箱重量不超过353千克那么最少需要多少辆载重量为1.5吨的汽车，才能保证把这些箱货物一次全部运走？ 答案部分 一、解答题 1、【正确答案】 不能 【答案解析】 2与其他数的奇偶性不同加上同一个数，得到的数的奇偶性也不同，所以不可能变成相同的数。 【答疑编号10304525】 2、【正确答案】 可以 【答案解析】 首先从读书数最多的学生中找一人甲由题设，甲至少有一本书未读过，记为C设B是甲读过的书中一本，由题意知，可找到学生乙，乙读过B、C由于甲是读书数最多的学生之一，乙读书数不能超过甲的读书数，而乙读过C书，甲未读过C书，所以一定可以找出一本书A，使得甲读过而乙
4、未读过，否则乙就比甲至少多读过一本书这样一来，甲读过A、B，未读过C；乙读过B、C未读过A因此可以找到满足要求的两个学生 【答疑编号10304526】 3、【正确答案】 对 【答案解析】 先考虑A和其他5个点的连线，由抽屉原理，其中必定有3条同色，不妨如图设AB、AD和AE都是红色；再考虑B、D、E三点间的连线：如果BD、BE、DE同色，则三角形BDE已经是三边同色如果BD、BE、DE不同色，则其中必定至少有某两点间的连线是红色，于是这两点和A点则构成了一个三边同色的三角形因此，不管怎样连接，至少存在一个三边同色的三角形【答疑编号10304527】 4、【正确答案】 对 【答案解析】 设这4个
5、人是A、B、C、D把他们两两搭配成6组：AB、AC、AD、BC、BD、CD下面计算每组中赠送礼品数：如果互相之间没有赠礼品，则为0；如果一方给了另一方礼品，另一方没有回赠，则为1；如果双方都给了对方礼品，则为2另一方面，共有礼品248件因为每件礼品都会在某一组计算赠送礼品数时被计算一次，所以8还等于这6组刚才计算出的赠送礼品数之和于是本题变为“6个小于等于2的自然数之和等于8，证明其中至少有2个2”反证：如果只有一个2，则总和最大是21111178，矛盾！得证 【答疑编号10304528】 5、【正确答案】 16 【答案解析】 因为88的国际象棋盘上的每行、每列都正好有偶数格，若某行（某列）有
6、空格，必空偶数格而斜线上的格子数有奇也有偶，不妨从左上角的斜线看起：第一条斜线只有1格，必空；第三条有3格，必至少空1格；第五、七条分别有5、7格，每条线上至少空1格由对称性易知共有16条斜线上有奇数格，且这16条斜线没有共用的格子，故至少必空出16格其实，空出两条主对角线上的16个格子就合题意此时，最多可放置48枚棋子，放在除这两条主对角线外的其余格子中，如下图所示【答疑编号10304529】 6、【正确答案】 对 【答案解析】 假设任意三位数学家都没有共同会的语言，这表明每种语言至多有两人会说设这九位数学家为A、B、C、D、E、F、G、I由于一位数学家最多会三种语言，而每种语言至多有两人会
7、说，所以一位数学家至多能和另外三人通话，即至少与五人语言不通不妨设A不能与B、C、D、E、F通话同理，B也至多能和三人通话，因此在C、D、E、F中至少有一人与B语言不通，设为C则A、B、C三人中任意两人都没有共同语言，与题意矛盾这表明假设不成立，结论得证 【答疑编号10304530】 7、【正确答案】 (1)可以；(2)不可以 【答案解析】 （1）可以，如（1989，989，89）（1900，900，0）（950，900，950）（50，0，50）（25，25，50）（0，0，25）（2）因为操作就两种，每堆取走同样数目的小石子，将有偶数堆石子堆中一半移至另一堆，所以每次操作石子总数要么减少3
8、的倍数，要么不变现在共有1989989893067，不是3的倍数，所以不能将3堆中所有石子都取走 【答疑编号10304531】 8、【正确答案】 16 【答案解析】 15辆车不一定能一次运完例如这批货物共有65只箱子，64只箱子都是301千克，1只箱的重量是236千克，那么总重量为3016423619500（千克），恰好符合19.5吨的要求由于30151505（千克）超过1.5吨因此，每辆汽车最多只能装4只重量为301千克的箱子，15辆汽车最多只能装41560（只）重量为301千克的箱子这样，必然有4只重量为30l千克的箱子无法再装运了16辆汽车一定能一次运完全部箱子首先让12辆汽车装到刚刚超过1.5吨，即若取下最后装的一只箱子就不超过1.5吨再从这12辆汽车上把每辆车最后装的那只箱子卸下来，并把这12只箱子分别装上另外3辆空车，每车4箱，由于每车4箱总重量不超过43531412（千克）因此也不超过1.5吨这时，12315辆车就装完原来前12辆车上的全部货物，总重量超过1.51218（吨）而且每辆车载重不超过1.5吨于是，剩下未装车箱子总重量不足19.5181.5（吨）可以把它们全部装在第16辆车上运走 【答疑编号10304532】 第4页
