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1、第三章 Lyapunov指数的非线性控制,Instability Lyapunov exponents 不稳定性判据,1.1 初始条件敏感性 是导致系统不可预测的原因，其实是 系统固有的不稳定性在作用 1.2 指数分叉 （Exponents divergence) 李雅普诺夫指数 与等价的误差放大倍数 k 有： L.E.（李雅普诺夫指数 ）是1892年提出的， 直到近几年，才认识到它的重要性 它是判断有界非线性系统是否为混沌 系统的一个重要方法。,定义1,它是用来度量相空间中两条相邻轨迹随时 间变化按指数规律吸引或分离的程度。这 两条轨迹有不同的初始条件。一个正的李 雅普诺夫指数说明，在一个具
2、有有界轨道 的动力学系统中，存在着混沌运动。 （王东升 1985）,定义2 (公式定义) wolf 1985,对一n维相空间中的连续动力学系统，考虑 一个以 为中心， 为半径的n维无 穷小超球面的长时间演变行为，其中 。随着时间的变化，由于流形的 局部变形的本质，球面会逐渐演化成为一超 椭球面。按椭球第i个主轴的长度 可定 义系统的第i个李雅普诺夫指数：,或可定义为 其中式（1-1）， 的单位为比特/时间，表示单 位时间内系统信息损失的多少，适用于从信息论 的角度来考虑李雅普诺夫指数的含义。,x0,p1(0),t - time flow,p2(t),p1(t),p2(0),x(t),Defin
3、ition of Lyapunov Exponents,Given a continuous dynamical system in an n-dimensional phase space, we monitor the long-term evolution of an infinitesimal n-sphere of initial conditions. The sphere will become an n-ellipsoid due to the locally deforming nature of the flow. The i-th one-dimensional Lyap
4、unov exponent is then defined as following:,一种实用的计算方法：即发现系统由 方向定义 的椭球主轴长度按 倍数增加，由 两个 方向定义的面积按 倍数增加，由 三个方向定义的体积按 倍数增加，因 此，这提示人们利用椭球主轴定义的i维体积的变 化来计算李雅普诺夫指数。表：运动类型与李 雅普诺夫指数关系,表：运动类型与李雅普诺夫指数关系 最大李雅普诺夫指数 返回,The sign of the Lyapunov Exponent,0 - the system attracts to a fixed point or stable periodic orbi
5、t. These systems are non conservative (dissipative) and exhibit asymptoticstability. =0 - the system is neutrally stable. Such systems are conservative and in a steady state mode. They exhibit Lyapunov stability. 0 - the system is chaotic and unstable. Nearby points will diverge irrespective of how
6、close they are.,定义：最大李雅普诺夫指数,假设系统有n个Lyapunov exponents，将它们按 大小顺序排列起来，如： ，则称 这些数组成的集合为李雅普诺夫指数谱，记为 。其中 被称为最大李雅普诺夫指 数。 返回,Order: 1 2 n The linear extent of the ellipsoid grows as 21t The area defined by the first 2 principle axes grows as 2(1+2)t The volume defined by the first 3 principle axes grows a
7、s 2(1+2+3)t and so on The sum of the first j exponents is defined by the long-term exponential growth rate of a j-volume element.,由最大李雅普诺夫指数 可判断系统的运动性 质。 如当 时，由式（1-1）可知 即相轨迹上相邻的两点产生的两条轨道按指 数的规律发散。如果系统的变化是有界的， 系统为混沌运动。,当 时，同样由式（1-1）可知， 即相轨迹上相邻的两点产生的两条轨道的距离既不增加也不减少。 当 时，有 即相轨迹上相邻两点产生的两条轨道之间的距离在逐渐减小。随着
8、时间的推移，两者间的距离可任意小。因此，系统最终收敛为一个极限环或一个点。 1.3 从数据中测量最大指数,1.4 混沌运动中的几个重要概念,1.平衡点（不动点，the Fixed Point ） 对差分方程 （状态变量 ）而言，满足 的点成为平衡点。 对微分方程 （状态变量 ）而言， 满足 的点称为不动点（平衡点）。 平衡点又称不动点、静止点、奇点、临界点。 2.拓扑可迁 （Topologically Transitiue） 满映射f:JJ，如果对于任意的一对开集 存在k0，使 其中f满足 则称满映射f为拓扑可迁。,3.初值敏感性（Sensitive Dependence on Initial
9、 Conditions ） 满映射f:JJ ，对任意 、任意的x的邻域N，存 在 ，整数n0 以及小量 0 ，使 ，则称满映射f具有初值敏 感性（f大于8，不能对系统进行长期有效预测）。 4.吸引子（Attractor） 指相空间中的一个点集或一个子空间，随时间的流 逝，在暂态消失之后所有的相轨线都趋向于它，吸 引子即是稳定平衡点。,5.奇怪吸引子（strange Attractor） 即：Chaotic Attractor，指相空间中吸引子的集 合，在该集合中混沌轨道在运行。此吸引子不是 平衡点，也不是极限环，也不是周期吸引子，而 是具有分数维的吸引子。 6.流形（Manifold） 指相空
10、间中的一个子空间。凡是具有初始条件的 解位于此子空间中者，在微分或差分方程的作用 下，这个解仍在此空间中，这个子空间就叫流形。,7.混沌（Chaos） 如果满映射f:JJ满足下述条件，则称映射f为混沌的。 f具有初值敏感性不可长期预测 f为拓扑可迁的不可分为两个相关的子系统 f在定义域上周期轨道稠密表面随机，内有规律 混沌映射三要素： a不可预测性 Unpredictability b不可分解性 Indecomposability c含有规律性成分 Anelement of regularity,Lyapunov 指数的计算,一、一维离散非线性系统的李雅普诺夫指数的 计算 由Logistic映
11、射虫口模型 推出：,二、高维离散非线性系统李雅普诺夫指数的计算,1.数学基础奇异值 设A为nm维的复空间（或实空间），则 均为非负定的矩阵，且 即矩阵A的秩为r，而r为不大于min(n,m)的非负整， 所以有 均有r个正特征值。 ， ， 的第i个特征 值。 的其余特征值为0。,奇异值（Singular Value）定义： 的特征值为 ，则称 为A的非零奇异值。如何求 解？见下分解定理。 对任何矩阵 ，设rank A=r, 为奇异值，则 存在n阶正交矩阵U，m阶正交矩阵V，使A=UDV。 其中 ， ， 2.Lyapunov指数的计算： 如离散非线性系统 给定,其中 且有界， 在研究范围内 连续可
12、微，则上述系统在点Z处的Jacobian矩阵为 令 令 为矩阵 的第i个奇异值，其中i=1,2,，n. j=0,1,.，则系统由 点出发的轨道 对应的第i个 Lyapnov指数为,3.一类特殊系统的Lyapunov指数的计算 若在z点的Jacobian阵为常数对角阵 其中 为非0常数。则有,所以系统的奇异值为 所以 若 则Lypapunov 指数为,Lyapunov Exponents,Lyapunov A. M. (1857-1918),Alexander Lyapunov was born 6 June 1857 in Yaroslavl, Russia in the family of
13、the famous astronomer M.V. Lypunov, who played a great role in the education of Alexander and Sergey. Aleksandr Lyapunov was a school friend of Markov and later a student of Chebyshev at Physics Limit cycles: periodic solutions; Quasiperiodic orbits: periodic solutions with at least two incommensura
14、ble frequencies; Chaotic orbits: bounded non-periodic solutions.,Appears only in nonlinear systems,Attractor,A non-wandering set may be stable or unstable Lyapunov stability: Every orbit starting in a neighborhood of the non-wandering set remains in a neighborhood. Asymptotic stability: In addition
15、to the Lyapunov stability, every orbit in a neighborhood approaches the non-wandering set asymptotically. Attractor: Asymptotically stable minimal non-wandering sets. Basin of attraction: is the set of all initial states approaching the attractor in the long time limit. Strange attractor: attractor
16、which exhibits a sensitive dependence on the initial conditions.,Sensitive dependence on the initial conditions,Definition: A set S exhibits sensitive dependence if r0 s.t. 0 and xS y s.t |x-y|r for some n.,pendulum A: =-140,d/dt=0pendulum B: =-1401, d/dt=0,Demonstration,The sensitive dependence of the traje
