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1、计算流体动力学Computational fluid mechanics,机械与动力工程学院 凌祥,2,第二章 流体力学的控制方程,实际流体中应力与变形速度 流动模型 物质导数与速度散度 连续方程（ Continuity Equation） 动量方程（ Momentum Equation） 能量方程（ Energy Equation） 边界条件,3,4,实际流体中应力与变形速度,5,6,7,8,9,流动模型,有限控制体 （Finite Control Volume) 无穷小流体微团 (Infinitesimal Fluid Element),10,1、 有限控制体模型,空间位置固定的有限控制体
2、，流体流过控制体 随流体流动的有限控制体，同一批流体质点始终位于同一控制体内,流动模型,11,2、无穷小流体微团模型,空间位置固定的无穷小微团，流体流过微团 沿流线流动的无穷小微团，其速度等于流线上每一点的当地速度,流动模型,12,物质导数与速度散度,1 物质导数（Substantial Derivative）（运动流体微团的时间变化率）,流体微团在流场中的流动,13,物质导数与速度散度,1 物质导数（Substantial Derivative）（运动流体微团的时间变化率）,14,物质导数与速度散度,1 物质导数（Substantial Derivative）（运动流体微团的时间变化率）,1
3、5,物质导数与速度散度,1 物质导数（Substantial Derivative）（运动流体微团的时间变化率）,16,物质导数与速度散度,1 物质导数（Substantial Derivative）（运动流体微团的时间变化率）,代表流体微团密度在固定点1的时间变化率,代表流体微团通过1点时，流体微团密度的瞬时时间变化率,物理含义与数值均不同,17,物质导数与速度散度,1 物质导数（Substantial Derivative）,笛卡尔坐标下,物质导数,18,物质导数与速度散度,1、物质导数（Substantial Derivative）,（1）以向量的型式表示物质导数，对任意坐标系都成立 （
4、2）物质的导数可以用于任何流场变量，比如 、 等等。,19,物质导数与速度散度,1、物质导数（Substantial Derivative）,当地导数它在物理上是固定点处的时间变化率 迁移导数它在物理上表示由于流体微团从流场中的一点运动到另一点，流场的空间不均匀性引起的时间变化率,当地导数/Local Derivative,迁移导数/Convective Derivative,20,物质导数与速度散度,1、物质导数（运动流体微团的时间变化率）,物质导数,物理含义：流体微团经过流场中某一点时，微团温度的时间变化率，一部分是该点处流场温度本身随时间的涨落；另一部分则是由于流体微团正在流向流场中温度
5、不同的另一点（迁移导数）,21,物质导数与速度散度,1、物质导数（Substantial Derivative）,示例：人走过山洞,物质导数本质与全微分相同,22,2、速度散度-Divergence of the velocity,物质导数与速度散度,23,2、速度散度-Divergence of the velocity,物质导数与速度散度,24,2、速度散度-Divergence of the velocity,物质导数与速度散度,矢量分析中的散度定理,25,2、速度散度-Divergence of the velocity,物质导数与速度散度,26,物质导数与速度散度,2、速度散度-Di
6、vergence of the velocity,物理含义：每单位体积运动着的流体微团，体积相对的时间变化率,27,连续性方程（ Continuity Equation）,空间位置固定的有限控制体模型 随流体流动的有限控制体模型 空间位置固定的无穷小微团模型 随流体流动的无穷小微团模型 四种方程的转化,28,连续性方程（ Continuity Equation）,1、空间位置固定的有限控制体模型,通过控制面Sc流出控制体的净质量流量控制体内质量减少的时间变化率,29,连续性方程（ Continuity Equation）,1、空间位置固定的有限控制体模型,30,连续性方程（ Continuit
7、y Equation）,1、空间位置固定的有限控制体模型,31,连续性方程（ Continuity Equation）,2、随流体运动的有限控制体模型,考虑控制体随流体运动时质量m是一个常数。其物质导数等于0。,32,连续性方程（ Continuity Equation）,3 空间位置固定的无穷小微团模型,33,连续性方程（ Continuity Equation）,3、空间位置固定的无穷小微团模型,X方向净流出量,34,连续性方程（ Continuity Equation）,3、空间位置固定的无穷小微团模型,Y方向净流出量,35,连续性方程（ Continuity Equation）,3、空
8、间位置固定的无穷小微团模型,Z方向净流出量,36,连续性方程（ Continuity Equation）,3、空间位置固定的无穷小微团模型,净质量流量=,而微团内质量增加的时间变化率为,两者相等,37,连续性方程（ Continuity Equation）,4、随流体运动的无穷小微团模型,与随流体运动的流体微团，它的质量变化对时间的变化率为0,38,连续性方程（ Continuity Equation）,4、随流体运动的无穷小微团模型,39,连续性方程（ Continuity Equation）,四种方程的转化,空间位置固定的流动模型导出的方程定义为守恒型方程,40,连续性方程（ Contin
9、uity Equation）,积分方程偏微分方程,41,守恒形式非守恒形式,连续性方程（ Continuity Equation）,42,积分方程的变换,连续性方程（ Continuity Equation）,导数展开,速度散度,43,连续性方程（ Continuity Equation）,四种方程的转化,结论：四种方程是同一个方程（连续性方程）的四种不同的形式，区别在于每个方程中的各项都有略微不同的物理含义。,44,动量方程（Momentum Equation）,动量方程推导的基本物理学原理：,本节采用运动流体微团模型进行推导，其它3种方式也可以导出不同形式的动量方程，但太繁琐,45,动量方
10、程（Momentum Equation）,运动流体微团模型示意图,46,动量方程（Momentum Equation）,作用于流体微团上的力的总和 微团质量微团运动时的加速度,仅考虑x方向的分量,x方向受到的力,体积力,表面力,表面压力,切应力、正应力,47,动量方程（Momentum Equation）,推出x方向总表面力,48,x方向总力：,动量方程（Momentum Equation）,49,动量方程（Momentum Equation）,方程右边：,综合得到：,同样，y、z方向的方程：,50,动量方程（Momentum Equation）,为了更好的了解动量方程的物理含义，将牛顿第2定
11、律表示如下：,可更好的理解方程中各项的物理含义。,51,动量方程（Momentum Equation）,运用牛顿流体的假设，可以从以上得到的动量方程形式导出著名的 Navier-Stokes方程（仅写出x方向）,具体推导过程见后页,52,动量方程（Momentum Equation）,Navier-Stokes方程（x方向）,以上动量方程左边写成：,由：,连续性方程的左边，等于0,NEXT,53,动量方程（Momentum Equation）,Navier-Stokes方程（x方向）,此方程就是Navier-Stokes方程的守恒型式。（x方向）,17世纪末牛顿指出，流体的切应力与应变的时间变
12、化率，也就是速度梯度，是成正比的。这样的流体称为牛顿流体。对与这样的流体，斯托克斯1845年得到：,NEXT,54,动量方程（Momentum Equation）,Navier-Stokes方程（x方向）,其中 是分子粘性系数， 是第二粘性系数，斯托克 斯提出假设,得到完整的Navier-Stokes方程的守恒型式。（x方向）,NEXT,55,动量方程（Momentum Equation）,此方程就是完整的Navier-Stokes方程的守恒型式。（x方向）,56,能量方程（Energy Equation）,流体微团内能量的变化率=流入微团的净热流量+体积力和表面力对微团做功的功率,能量守恒,
13、57,能量方程（Energy Equation）,计算C: 作用在运动物体上的力，对物体所做的功率等于该力乘以速度在该力作用方向上的分量,体积力,表面力,58,能量方程（Energy Equation）,1、作用在面adhe和bcgf上的压力做功功率为,考虑x方向：,表面力做功功率：,59,能量方程（Energy Equation）,考虑x方向：,表面力做功功率：,2、作用在面adcd和efgh上的q切应力做功功率为,x方向所有切应力做功功率为,60,能量方程（Energy Equation）,考虑x方向：,表面力做功功率：,那么上图中所有表面力对流体微团做功的功率为：,3、体积力做功功率为:
14、,61,能量方程（Energy Equation）,总结x方向：,体积力,表面力,压力,粘性力,x方向表面力做功功率为上述2者之和。,62,能量方程（Energy Equation）,三个方向汇总：,63,能量方程（Energy Equation）,计算进入微团的总热量B,微团的体积加热,热传导对微团的加热，x方向上：面adhe和bcgf,64,能量方程（Energy Equation）,再考虑y和z方向上的热输运,65,傅立叶热传导定律,傅立叶（Fourier,Jean Baptiste Joseph,1768-1830）也译作傅里叶，法国数学家、物理学家。,66,能量方程（Energy E
15、quation）,67,能量方程（Energy Equation）,研究A：微团能量变化率,运动流体既有动能又有内能，两者之和就是总能量 1）分子随机运动产生的（单位质量）内能 e 2）流体微团平动时具有动能。单位质量的动能,68,能量方程（Energy Equation）,能量方程的最终形式：,69,能量方程（Energy Equation）,能量方程的另一种形式（非守恒）：,70,能量方程（Energy Equation）,由上节动量方程推导时斯托克斯得到的式子带入方程：,得到完全用流场变量表示的能量方程。,71,能量方程（非守恒守恒推导）：,能量方程（Energy Equation）,把
16、这两个式子带入第一个式子得到：,0,72,能量方程（非守恒守恒推导）：,能量方程（Energy Equation）,得到守恒形式：,73,流体力学控制方程总结,粘性流动的纳维斯托克斯方程 无粘流欧拉方程 连续性方程 动量方程 能量方程 控制方程的注释,守恒型 非守恒型,74,控制方程的注释,流体力学控制方程总结,这些方程都是由偏微分方程耦合而成的方程组，解析解的求得十分困难； 对动量方程和能量方程，守恒和非守恒形式的差别仅在方程左端项； 控制方程的守恒形式有时叫做散度形式； 方程中正应力和切应力都是速度梯度的函数,75,边界条件,适合粘性流动的物理边界条件：,速度边界条件：,假定流体流过固定物面，紧挨物面的气流与物面相对速度为0，称为无滑移条件：,在物面（对粘性流动）,温度边界条件：（3种类型）,在物面（1）,在物面（2）,在物面（3）,76,边界条件,在上面的温度边界条件中： （1）最易使用，（3）次之。,适合无粘流动的物理边界条件：,速度边界
