统计7抽样推断精编版

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1、第七章 抽样推断,第一节 抽样推断的意义 第二节 抽样误差 第三节 抽样推断的方法 第四节 抽样调查的组织方式,2020/9/2,1,一、抽样推断的概念和特点,1、概念：,抽样推断是按随机原则从全部研究对 象中抽取部分单位(样本)进行观察，并根据 样本的实际数据对总体的数量特征作出具 有一定可靠程度的估计和判断。,第一节 抽样推断的意义,2020/9/2,2,扬州大学管理学院,2、意义：,（1）有些现象是无法进行全面调查的，为了测算全面资料，必须采用抽样调查的方法。例如，对无限总体不能采用全面调查。另外，有些产品的质量检查具有破坏性，不可能进行全面调查，只能采用抽样调查。,第一节 抽样推断的意

2、义,（2）从理论上讲，有些现象虽然可以进行全面调查，但实际上没有必要或很难办到，也要采用抽样调查。,2020/9/2,3,扬州大学管理学院,（3）抽样调查的结果可以对全面调查的结 果进行检查和修正。,第一节 抽样推断的意义,（5）利用抽样调查原理，可以对某些总体的假设进行检验，来判别这种假设的真伪，依决定行动的取舍。,（4）抽样调查可以用于工业生产过程的质 量控制。,2020/9/2,4,扬州大学管理学院,3、特点：,(1)它是由部分推断整体的一种认识方法。,(2)抽样推断建立在随机取样的基础上。,(3)抽样推断运用概率估计的方法。,(4)抽样推断的抽样误差是不可避免的， 但可以事先计算并加以

3、控制。,第一节 抽样推断的意义,2020/9/2,5,扬州大学管理学院,二、统计推断内容,1统计学: 描述统计学：研究如何全面收集被研究客观事 物的数据资料并进行简缩处理，描述其群体特征 和数量规律性。 推断统计学：研究如何有效地收集和使用被 研究客观事物的不完整并且带有随机干扰的数据 资料，以对其群体特征和数量规律性给出尽可能 精确、可靠的推断性结论。,2020/9/2,6,扬州大学管理学院,2推断统计 参数估计：由对部分进行观测取得的 数据对研究对象整体的数量特征取值给出 估计方法。 假设检验：由对部分进行观测取得的 数据对研究对象的数量规律性是否具有某 种指定特征进行检验。,2020/9

4、/2,7,扬州大学管理学院,统计推断的过程,2020/9/2,8,扬州大学管理学院,(一)全及总体和样本总体,全及总体(Population)是所要研究的对象，又称母体，简称总体，它是指所要认识的，具有某种共同性质的许多单位的集合体。 全及总体单位数（N）一般很大。,三、有关抽样的基本概念,2020/9/2,9,扬州大学管理学院,又称子样。是从全及总体中随机抽取出来 的，做为代表这一总体的部分单位组成的集 合体。样本单位总数用“n”表示。 样本选取的基本原则： 代表性：样本的每个分量都与总体有相同 的分布 独立性：样本的每个分量都是相互独立的,样本(Sample) ：,2020/9/2,10,

5、扬州大学管理学院,随着样本容量的增大，样本对总体 的代表性越来越高，并且当样本单位数 足够多时，样本平均数愈接近总体平均 数。 对于一次抽样调查，全及总体是唯 一确定的，样本总体不是这样，样本是 不确定的，一个全及总体可能抽出很多 个样本总体，样本的个数和样本的容量 有关，也和抽样的方法有关。,2020/9/2,11,扬州大学管理学院,（二）参 数 和 统 计 量,参数：,指反映总体数量特征的综合指标。,参数,研究总体中 的数量标志,总体平均数,总体方差,研究总体中 的品质标志,总体成数,成数方差,2020/9/2,12,扬州大学管理学院,统计量:,根据样本数据计算的综合指标。,研究数 量标志

6、,样本平均数,样本标准差,研究品 质标志,样本成数,成数标准差,2020/9/2,13,扬州大学管理学院,（三）样本容量和样本个数,样本容量：,一个样本包含的单位数。用 “n”表示。 一般要求 n 30大样本,样本个数：,从一个全及总体中可能抽取的样本数目。,（四）重复抽样和不重复抽样,重复抽样：又称回置抽样。,不重复抽样：又称不回置抽样。,考虑顺序时，可能组成的样本数目：,不考虑顺序时，可能组成的样本数目：,考虑顺序时，可能组成的样本数目：,不考虑顺序时，可能组成的样本数目：,2020/9/2,14,扬州大学管理学院,抽样方法,不重复抽样,考虑顺序,不考虑顺序,4,3,2,是否考虑顺序,1,

7、1考虑顺序的重复抽样； 2不考虑顺序的重复抽样； 3考虑顺序的不重复抽样； 4不考虑顺序的不重复抽样。,重复抽样,2020/9/2,15,扬州大学管理学院,2020/9/2,16,扬州大学管理学院,四、抽样推断的理论基础 1、抽样推断的理论基础：大数（定律）法则 大数定律即关于大量的随机现象具有稳定 性质的法则。它说明如果被研究的总体是由大 量的相互独立的随机因素所构成，而且因素对 总体的影响都相对地小，那么对这些大量因素 加以综合平均的结果，因素的个别影响将相互 抵消，而呈现出它们共同作用的倾向，使总体 具有稳定的性质。,2020/9/2,17,扬州大学管理学院,大数定律证明，如果随机变量总

8、体存在着有限的平均数和方差，则对于充分大的抽样单位为n，可以以几乎趋近于1的概率，来期望平均数与总体平均数的绝对离差为任意小，即对于任意的正数a有： 式中： 为抽样平均数； 为总体平均数；n为抽样单位数。,2020/9/2,18,扬州大学管理学院,2、抽样推断的理论基础：中心极限定理 人们已经知道，在自然界和生产实践中遇到的 大量随机变量都服从或近似服从正态分布，正因 如此，正态分布占有特别重要的地位。那么，如 何判断一个随机变量服从正态分布显得尤为重要。 如经过长期的观测，人们已经知道，很多工程测 量中产生的误差X都是服从正态分布的随机变量。 在什么条件下， , 这是十八世纪 以来概率论研究

9、的中心课题，因而，从二十世纪 二十年代开始，习惯上把研究随机变量和的分布 收敛到正态分布的这类定理称为中心极限定理 （Central Limit Theorems）,2020/9/2,19,扬州大学管理学院,(林德伯格莱维（Lindeberg-Lvy）中心极限定理) 设 是一相互独立同分布随机变量序列， 则对任意的实数，总有,2020/9/2,20,扬州大学管理学院,本定理的证明在20世纪20年代由林德伯格和莱维给出，因证明较复杂，在此从略。 由定理可知，当n充分大时，,由于它对 的分布形式没有要求，因而得到广泛使用。,2020/9/2,21,扬州大学管理学院,第二节抽样误差 一、抽样误差 二

10、、抽样平均误差 三、抽样极限误差 四、抽样误差的概率度,2020/9/2,22,扬州大学管理学院,第二节 抽 样 误 差,一、抽样误差的含义,（一） 统计误差有两种： 1、登记性误差：由于调查整理过程中登记错误 和计算不准而产生的。 2、代表性误差：由于用样本资料代表总体资料 而产生的，全面调查中不存在这种误差，其中由 于不按照随机原则抽样造成的误差为系统性误差， 由于随机抽样的偶然因素使样本各单位的结构 不足以代表总体各单位的结构，而引起抽样指标和 全及指标之间的绝对离差为抽样误差。,2020/9/2,23,扬州大学管理学院,（二）影响抽样误差大小的因素,1、总体各单位标志值的变异程度,2、

11、样本的单位数,3、抽样方法,4、抽样推断的组织形式,2020/9/2,24,扬州大学管理学院,二、抽样平均误差,1、概念：抽样平均误差是抽样平均数或抽样成数的 标准差。反映了抽样平均数与总体平均数 抽样成数与总体成数的平均误差程度。,2、计算方法：,抽样平均数 的平均误差,抽样成数 平均误差,（以上两个公式实际上就是第四章讲的标准差。 但反映的是样本指标与总体指标的平均离差程度）,2020/9/2,25,扬州大学管理学院,抽样平均数平均误差的计算公式：,采用重复抽样：,此公式说明，抽样平均误差与总体标准差成正比， 与样本容量开方成反比。（当总体标准差未知时， 可用样本标准差代替）,通过计算可说

12、明以下几点：,样本平均数的平均数等于总体平均数。,抽样平均数的标准差仅为总体标准差的,可通过调整样本单位数来控制抽样平均误差。,2020/9/2,26,扬州大学管理学院,例题：假定抽样单位数增加 2 倍、0.5 倍时，抽样平均误差怎样变化？,解：抽样单位数增加 2 倍，即为原来的 3 倍,则：,抽样单位数增加 0.5倍，即为原来的 1.5倍,则：,即：当样本单位数增加2倍时，抽样平均误差为原来的0.577倍。,即：当样本单位数增加0.5倍时，抽样平均误差为原来的0.8165倍。,2020/9/2,27,扬州大学管理学院,采用不重复抽样：,公式表明：抽样平均误差不仅与总体变异程度、 样本容量有关

13、，而且与抽样方法有关。,例题一：,随机抽选某校学生100人，调查他们的体 重。得到他们的平均体重为58公斤，标 准差为10公斤。问抽样推断的平均误差 是多少？,例题二：,某厂生产一种新型灯泡共2000只，随机 抽出400只作耐用时间试验，测试结果 平均使用寿命为4800小时，样本标准差 为300小时，求抽样推断的平均误差？,2020/9/2,28,扬州大学管理学院,例题一解:,即:当根据样本学生的平均体重估计全部学生的平均 体重时,抽样平均误差为1公斤。,例题二解:,计算结果表明：根据部分产品推断全部产品的平均使用寿命 时，采用不重复抽样比重复抽样的平均误差要小。,已知：,则：,已知：,则：,

14、2020/9/2,29,扬州大学管理学院,抽样成数平均误差的计算公式,采用重复抽样：,采用不重复抽样：,例题三：,某校随机抽选400名学生，发现戴眼镜的学 生有80人。根据样本资料推断全部学生中戴 眼镜的学生所占比重时，抽样误差为多大？,例题四：,一批食品罐头共60000桶，随机抽查300桶，发现有6桶不合格，求合格品率的抽样平均误差？,2020/9/2,30,扬州大学管理学院,例 题 三 解：,已知：,则：样本成数,即：根据样本资料推断全部学生中戴眼镜的学 生所占的比重时，推断的平均误差为2%。,2020/9/2,31,扬州大学管理学院,例 题 四 解：,已知：,则：样本合格率,计算结果表明

15、：不重复抽样的平均误差小于重复抽样， 但是“N”的数值越大，则两种方法计算 的抽样平均误差就越接近。,2020/9/2,32,扬州大学管理学院,三、抽 样 极 限 误 差,含义：,抽样极限误差指在进行抽样估计时，根据研究 对象的变异程度和分析任务的要求所确定的样 本指标与总体指标之间可允许的最大误差范围。,计算方法：,它等于样本指标可允许变动的上限 或下限与总体指标之差的绝对值。,抽样平均数极限误差：,抽样成数极限误差：,2020/9/2,33,扬州大学管理学院,四、抽样误差的概率度,含义：,抽样误差的概率度是测量抽样估计可靠 程度的一个参数。用符号“ t ”表示。,公式表示：,（t 是极限误

16、差与抽样平均误差的比值）,（极限误差是 t 倍的抽样平均误差）,上式可变形为：,2020/9/2,34,扬州大学管理学院,第三节 抽样估计的方法,一、作为优良估计量的条件,总体参数优良估计的标准,无偏性,一致性,有效性,2020/9/2,35,扬州大学管理学院,无偏性(unbiasedness),设,是未知参数的一个点估计量，若,满足,则称,是的无偏估计量，否则称为有偏估计量,2020/9/2,36,扬州大学管理学院,一致性(consistency),一致性：随着样本容量的增大，估计量的值越来越接近被估计的总体参数,2020/9/2,37,扬州大学管理学院,有效性(efficiency),有效性：对同一总体参数的两个无偏点估计 量，有更小标准差的估计量更有效,2020/9/2,38,扬州大学管理学院,第三节 抽样估计的方法,二、总体参数的点估计,总体参数点估计的特点： 直接使样本指标等于总体指标：即令,2020/9/2,39,扬州大学管理学院,三、总体参