组合数学课件 第二章母函数与递推关系知识分享

《组合数学课件 第二章母函数与递推关系知识分享》由会员分享，可在线阅读，更多相关《组合数学课件 第二章母函数与递推关系知识分享（356页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、第二章 母函数与递推关系,组合数学,2.1 母函数,递推关系是计数的一个强有力的工具，特别是在做算法分析时是必需的。递推关系的求解主要是利用母函数。当然母函数尚有其他用处，但这主要是介绍解递推关系上的应用。例如,2.1 母函数,项的系数 中所有的项包括n个元素a1，a2， an中取两个组合的全体；同理项系数包含了从n个元素a1，a2， an中取3个元素组合的全体。以此类推。,2.1 母函数,另一方面：,2.1 母函数,比较等号两端项对应系数，可得一等式,2.1 母函数,同样对于 ，（设 ），用类似的方法可得等式：,正法如下：,2.1 母函数,比较等式两端的常数项，即得公式(2-1-3),2.1

2、 母函数,又如等式：,令x=1 可得,2.1 母函数,(2-1-2)式等号的两端对x求导可得：,等式(2-1-5)两端令x=1，得：,2.1 母函数,用类似的方法还可以得到：,定义：对于序列 构造一函数：,2.1 母函数,还可以类似地推出一些等式，但通过上面一些例子已可见函数 在研究序列 的关系时所起的作用。对其他序列也有同样的结果。现引进母函数概念如下：,称函数G(x)是序列 的母函数,序列 可记为 。,如若已知序列 则对应的母函数G(x)便可根据定义给出。反之，如若以求得序列的母函数G(x)，则该序列也随之确定。,2.1 母函数,例如 是序列 的母函数。,2.2 递推关系,利用递推关系进行

3、计数这个方法在算法分析中经常用到，举例说明如下：,例一.Hanoi问题：这是个组合数学中的著名问题。N个圆盘依其半径大小，从下而上套在A柱上，如下图示。每次只允许取一个移到柱B或C上，而且不允许大盘放在小盘上方。若要求把柱A上的n个盘移到C柱上请设计一种方法来，并估计要移动几个盘次。现在只有A、B、C三根柱子可用。,2.2 递推关系,Hanoi问题是个典型的问题，第一步要设计算法，进而估计它的复杂性，集估计工作量。,算法：,N=2时,第一步先把最上面的一个圆盘套在B上, ,第二步把下面的一个圆盘移到C上, ,最后把B上的圆盘移到C上,到此转移完毕,2.2 递推关系,对于一般n个圆盘的问题，,假

4、定n-1个盘子的转移算法已经确定。,先把上面的n-1个圆盘经过C转移到B。,第二步把A下面一个圆盘移到C上,最后再把B上的n-1个圆盘经过A转移到C上,2.2 递推关系,上述算法是递归的运用。n=2时已给出算法；n=3时，第一步便利用算法把上面两个盘移到B上，第二步再把第三个圆盘转移到柱C上；最后把柱B上两个圆盘转移到柱C上。N=4，5，以此类推。,2.2 递推关系,算法分析：令h(n)表示n个圆盘所需要的转移盘次。根据算法先把前面n-1个盘子转移到B上；然后把第n个盘子转到C上；最后再一次将B上的n-1个盘子转移到C上。 n=2时，算法是对的，因此，n=3是算法是对的。以此类推。于是有,2.

5、2 递推关系,算法复杂度为：,H(x)是序列 的母函数。给定了序列，对应的母函数也确定了。反过来也一样，求得了母函数，对应的序列也就可得而知了。当然，利用递推关系(2-2-1)式也可以依次求得 ，这样的连锁反应关系，叫做递推关系。,2.2 递推关系,下面介绍如何从(2-2-1)式求得母函数H(x)的一种形式算法。所谓形式算法说的是假定这些幂级数在作四则运算时，一如有限项的代数式一样。,2.2 递推关系,根据(2-2-1)，,或利用递推关系(2-2-1)有,2.2 递推关系,上式左端为：,右端第一项为：,右端第二项为：,2.2 递推关系,整理得,这两种做法得到的结果是一样的。即：,2.2 递推关

6、系,令,如何从母函数得到序列 ？下面介绍一种化为部分分数的算法。,2.2 递推关系,由上式可得：,即：,2.2 递推关系,因为：,2.2 递推关系,例2. 求n位十进制数中出现偶数个5的数的个数。,先从分析n位十进制数出现偶数个5的数的结构入手 是n-1位十进制数，若含有偶数个5，则 取5以外的0，1，2，3，4，6，7，8，9九个数中的一个，若 只有奇数个5，则取 ，使 成为出现偶数个5的十进制数。,2.2 递推关系,解法1：,令 位十进制数中出现5的数的个数， 位十进制数中出现奇数个5的数 的个数。,故有：,也有类似解释。,2.2 递推关系,(2-2-2)式中的 表达了含有偶数个5的n位十

7、进制数的两个组成部分。 表达由含有偶数个5的n-1位十进制数 ，令 取5以外的0，1，2，3，4，6，7，8，9九个数中的一个数构成的。 项表示当 是含有奇数个5的n-1位十进制数，令 而得 是含偶数个5的n位十进制数。,(2-2-2)是关于序列 和 的连立关系。,2.2 递推关系,设序列 的母函数为 ，序列 的母函数为 。,即：,2.2 递推关系,承前页：,2.2 递推关系,又：,故得关于母函数 和 得连立方程组：,2.2 递推关系,2.2 递推关系,2.2 递推关系,解法二： n-1位的十进制数的全体共 从中去掉含有偶数个5的数，余下的便是n-1位中含有奇数个5的数。故有：,2.2 递推关

8、系,令,2.2 递推关系,1）不出现某特定元素设为 ，其组合数为 ，相当于排除 后从 中取r个做允许重复的组合。,2.2 递推关系,例三：从n个元素 中取r个进行允许重复的组合。假定允许重复的组合数用 表示，其结果可能有以下两种情况。,2.2 递推关系,2）至少出现一个 ，取组合数为 相当于从 中取r-1个做允许重复的组合，然后再加上一个 得从n个元素中取r个允许重复的组合。,依据加法原则可得：,因 ，故令,2.2 递推关系,递推关系(2-2-3)带有两个参数n和r。,2.2 递推关系,(2-2-3)式是关于 的递推关系，但系数 不是常数。但,2.2 递推关系,由二项式定理,可得,2.3 母函

9、数的性质,2.3母函数的性质,一个序列和它的母函数一一对应。给了序列便得知它的母函数；反之，求得母函数序列也随之而定。这种关系颇像数学中的积分变换，特别酷似离散序列的Z变换。如2的例子所示的那样，为了求满足某种第推关系的序列，可把它转换为求对应的母函数 ， 可能满足一代数方程，或代数方程组，甚至于是微分方程。,2.3母函数的性质,最后求逆变换，即从已求得的母函数 得到序列 。关键在于要搭起从序列到母函数，从母函数到序列这两座桥。这一节便是以此为目的的。不特别说明下面假设 、 两个序列对应的母函数分别为 、,2.3母函数的性质,性质1：,若 则,证：,2.3母函数的性质,例. 已知,则,2.3母

10、函数的性质,性质2：若 ，,则,2.3母函数的性质,证：,2.3母函数的性质,例.,2.3母函数的性质,性质2：若 ，则,证：,2.3母函数的性质,2.3母函数的性质,例. 已知,2.3母函数的性质,类似可得：,2.3母函数的性质,性质2：若 收敛，则,2.3母函数的性质,2.3母函数的性质,性质5. 若 ，则 。,例.,则,2.3母函数的性质,性质5和性质6的结论是显而易见的。,性质6. 若 ，则,2.3母函数的性质,性质7. 若 则,2.3母函数的性质,证: 。,2.3母函数的性质,例. 已知 则,2.4 Fibonacci数列,2.4.1递推关系,Fibonacci数列是递推关系的又一个

11、典型问题，数列的本身有着许多应用。,问题：有雌雄兔子一对，假定过两月便可繁殖雌雄各一的一对小兔。问过了n个月后共有多少对兔子？,设满n个月时兔子对数为 其中当月新生兔数目设为 对。第n-1个月留下的兔子数目设为 对。,2.4.1递推关系,但,即第n-2个月的所偶兔子到第n个月都有繁殖能力了。,由递推关系(2-3-1)式可依次得到,2.4.2问题的求解,设,2.4.2问题的求解,承前页,2.4.2问题的求解,承前页,2.4.2问题的求解,承前页,2.4.2问题的求解,其中,2.4.3若干等式,1）,证明：,2.4.3若干等式,2）,证明：,2.4.3若干等式,3）,证明：,2.4.4在选优法上的

12、应用,设函数 在区间 上有一单峰极值点，假定为极大点。,所谓单峰极值，即只有一个极值点 ，而且当x与 偏离越大，偏差 也越大。如下图：,2.4.4在选优法上的应用,设函数 在 点取得极大值。要求用若干次试验找到 点准确到一定的程度。最简单的方法，把 三等分，令：,如下图：,2.4.4在选优法上的应用,依据 的大小分别讨论如下：,当 ，则极大点 必在 区间上，区间 可以舍去。,2.4.4在选优法上的应用,当 ，则极大点 必在 区间上，区间 可以舍去。,2.4.4在选优法上的应用,当 ，则极大点 必在 区间上，区间 和 均可以舍去。,2.4.4在选优法上的应用,可见做两次试验，至少可把区间缩至原来

13、区间的2/3，比如 ，进一步在 区间上找极值点。若继续用三等分法，将面对着这一实事，即其中 点的试验没发挥其作用。为此设想在 区间的两个对称点 分别做试验。,2.4.4在选优法上的应用,设保留 区间，继续在 区间的下面两个点 处做试验，若,则前一次 的点的试验，这一次可继续使用可节省一次试验。由(2-3-6)式有,2.4.4在选优法上的应用,这就是所谓的0.618优选法。即若在 区间上找单峰极大值时，可在,点做试验。比如保留区间 ，由于 ，故只要在,点作一次试验。,2.4.4在选优法上的应用,优选法中可利用Fibonacci数列，和0.618法不同之点在于它预先确定试验次数，分两种情况介绍其方

14、法。,(a) 所有可能试验数正好是某个 。,2.4.4在选优法上的应用,这时两个试验点放在 和 两个分点上，如果 分点比较好，则舍去小于 的部分；如果 点更好，则舍去大于 的部分。在留下的部分共 个分点，其中第 和第 二试验点，恰好有一个是刚才留下来的试验可以利用。,可见在 个可能试验中，最多用n-1次试验便可得到所求的极值点,2.4.4在选优法上的应用,(b)利用Fibonacci数列进行优选不同于 0.618法之点,还在于它适合于参数只能取整数数值的情况.如若可能试验的数目比 小,但比 大时,可以虚加几个点凑成 个点，但新增加的点的试验不必真做，可认定比其他点都差的点来处理。,2.4.4在

15、选优法上的应用,下面给出两个定理作为这一节的结束。,定理：测试n次可将包含单峰极值点的区间缩小到原区间的 ，其中 是任意小的正整数，,2.4.4在选优法上的应用,证：对n用数学归纳法。,n=2时，将区间 平分成 段。在分点（包括端点a，b）分别标上 。在1点的两侧取 ，在 与 两点上测试，无论哪一点较优，保留下来的区间长度均为 ，命题成立。,2.4.4在选优法上的应用,假设对于n-1，命题成立,对于n，将 平分成 段，对分点（包括端点a，b）依次标上 。先在 点与 点测试，无论哪一点较优，保留下来的区间均为 段。根据归纳假设，再做n-1次测试（内含前两次测试之一）可将含极值点的区间缩小到 段，即原区间 的 。,2.4.4在选优法上的应用,因 ，当n较大时，可将相继的两个测试点取在待测区间的0.618及1-0.618处。由,可知，0.618法比 法最多多测试一次。0.618 法的优点是不必事先定测试次数。,2.4.4在选优法上的应用,定理：设在给定区间内有单峰极值点。如果包含极值点在内的可测点为 个，则测试n次必可找到极值点， 。,证：对n