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1、,空间解析几何与向量代数,第七章,7-3. 曲面及其方程,在前面，我们已知，空间平面对应于一 个三元一次方程.,反之，任意一个三元一次方程也对应于空间中的一个平面.,如果平面 的方程是(1)，其含义是平面 上任意动点(x, y, z)都是(1)的解. 而(1)的每一组解也对应于 上某一点.,(1),定义1：设空间曲面S. 及三元方程 F(x, y, z)=0. 如果 S 上任一点 M(x, y, z). 其坐标 x, y, z 都满足 F(x, y, z)=0. 反之，F(x, y, z)=0的任一解(x, y, z)对应的空间点(x, y, z)也在S上. 则称F(x, y, z)=0为 S
2、的方程. 而 S 则称为 F(x, y, z)=0的图形.,一、曲面方程的概念,例1. 建立球心在 M0(x0, y0, z0), 半径为R 的球面的方程.,解：,根据图形知，球面上任一点M到球心的距离为R.,设M点坐标为(x, y, z)，则根据两点间距离计算公式,或,(2),反之, 任取(x, y, z)满足(2). 则M(x, y, z)到M0的距离为R. 故(x, y, z)在球面上. 因此(2)即为所求球面的方程.,特例: x0=y0=z0=0. 则(2)变为,x2+y2+z2=R2.,(3),(3)表示中心在原点，半径为R的球面方程.,例2. 设 yz 平面有一已知曲线C，它的方程
3、为 f (y, z)=0. 将曲线绕 z 轴旋转一周，得一曲面. 求此旋转面的方程。,M1,M,d,d1,设旋转面上任一点 M(x, y, z), 于M作垂直于z轴的平面在 yz 平面上,与 z 轴交于M2(0, 0, z2).,与平面曲线 f (y, z)=0交于 M1(x1, y1, z1),M2,则x1=0, z1=z2=z, 从而y1满足 f (y1, z1) = f (y1, z)=0.,由旋转性质,d = d1= |y1|,故,故得,反之，若空间点(x, y, z)满足(4)，也可推知(x, y, z)在旋转面上，即(4)为所求.,(4),其它情形：平面曲线 f (y, z)绕 y
4、 轴所成旋转面之方程.,平面曲线 f (x, y)绕 x 轴所成旋转面之方程,几种重要曲面,1. 圆锥面,设过原点直线 l 绕另一直线 (比如 z轴)旋转，旋转而成曲面称为圆锥面.,称为圆锥面的半顶角.,其中 l 称为母线. z轴为中心轴. l与旋转轴夹角.,同前例，任取圆锥面上一点 M(x, y, z),由几何性质,故,即得曲面方程,M,M2,M1,过 M 作垂直于 z 轴的平面. 则交 z 轴于 M2(0, 0, z)，交 yz平面于M1.,2. 圆柱面,两平行直线，其中一条绕另一条旋转，所形成的曲面称为圆柱面.,如图,设直线 l 绕 z 轴旋转.柱面上任意点M(x, y, z). 过 M
5、 作垂直于z轴平面交 z 轴于M1(x1, y1, z1). 则(x1, y1, z1)=(0, 0, z).,3、二次曲面,下面接着介绍空间二次曲面的典型类型.,一般地，称,A11x2+A22y2+A33z2,+2A12xy+2A23yz+2A31zx+A+A1x+A2y+A3z=0,为三维空间R3中的二次曲面方程. 我们仅讨论几类典型情况.,1. 椭球面,( a, b, c均大于0).,易知，|x|a, |y|b, |z|c, 为了了解曲面形状，先以平行于 xy 面的平面z=z0(|z0|c)截曲面，得到截线方程为,z=0.,因,从而当,截线是平面,z=z0上一椭圆，,同理，以平面x=x0
6、(|x0|a)和平面y=y0(|y0|b)截椭球面所得截线与上述情况类似， 因此，椭球面的形状如图,而当 | z0|=c时，截线退缩成一点(0, 0, z0).,若a=b，,由旋转曲面的知识知，这个方程表示 xz 面上椭圆,绕 z 轴旋转而成的旋转曲面，称为,旋转椭球面.,若a=b=c，,方程变为,它表示一个球心在原点，半径为 a 的球面.,方程变为 x2+y2+z2=a2,2. 椭圆抛物面,不妨设 p, q 均大于0， 以平行于 xy 面的平面z=z0(z00)截椭圆抛物面，所得截线方程为,椭圆,以平行于 xz 面的平面 y=y0 截曲面，截线方程为,抛物线,同理，以平行于 yz 面的平面
7、x=x0 截曲面所得截线是平面 x=x0 上的一条抛物线.,特例：,若p, q均小于0，则椭圆抛物面的开口朝下.,若p= q, 方程变为,它是由 xz 面上曲线,绕 z 轴旋转而成的旋转曲面，称为旋转抛物面.,若p, q均大于0，则椭圆抛物面的开口朝上.,3. 双曲抛物面,4. 单叶双曲面,(a, b, c均大于0),以平行于 xy 面的平面 z=z0 截曲面，所得截线方程为, 椭圆,以平行于xz面的平面 y=y0截曲面， 所得截线方程为,双曲线,以平行于 yz 面的平面x=x0 截曲面，所得截线方程为：,双曲线,5. 双叶双曲面,(a, b, c均大于0),以平行于 xy 面的平面 z=z0
8、 截曲面，所得截线方程为, 双曲线,以平行于xz面的平面 y=y0截曲面， 所得截线方程为,双曲线,以平行于 yz 面的平面x=x0 截曲面，所得截线方程为：,双曲线,第四节、空间曲线及其方程,空间曲线：两空间曲面的交线.,其方程可描述为,F1(x, y, z)=0，,F2(x, y, z)=0.,交面式方程或一般方程,例1.,x2+y2=1,x+y+z=2.,表示圆柱面与平面的交线.,另外，和直线一样，我们也可用参数形式表示空间曲线.,x=x(t),y=y(t),z=z(t).,例2. 若空间中点 M 在圆柱面 x2+y2=a2上以角速度 绕 z 轴旋转，同时又以线速度 v 沿平行于 z 轴
9、的正方向上升 (其中, v都是常数). 则点M构成的图形为螺旋线. 试建立其方程.,设时间 t 为参数. 初始时刻 (t=0)，动点在A(a, 0, 0)处，经时刻 t , 动点运动到M(x, y, z).,解:,A,M,作 M 在 xy 平面的投影.,投影点为M，其坐标为(x, y, 0).,= a sin t.,参数方程,x = acos t,y = asin t ,z = vt.,M ,在讲直线与平面之关系时，曾介绍过如何求空间直线在某平面上的投影. 下面介绍一般的空间曲线在坐标面上的投影.,设空间曲线,F1(x, y, z)=0,F2(x, y, z)=0,(5),消去 z，得 H(x
10、, y)=0.,(6),曲面(6)可视为平行于 z 轴的柱面.,C :,若点 M(x, y, z)满足(5)，则 (x, y) 满足(6). 故 C 上的点均在柱面(6)上.,即 C 是柱面(6)上的一条曲线. 故 C 在 xy 平面的投影为,(7),(7)即为曲线 C 在 xy 面的投影曲线方程.,投影方程,例3. 求例4中螺旋线在 xy 平面上的投影.,解：由参数方程，即得 x2+y2=a2 (消去了z) .,故投影方程为,z=0.,x2+y2=a2,例4. 求球面 x2+y2+z2=1. 和x2+(y1)2+(z1)2=1的交线在 xy 面上的投影方程.,解：交线方程为,x2+y2+z2=1,x2+(y1)2+(z1)2=1.,z,x,y,投影方程：,x2+2y22y=0，,z=0.,两式相减：2y+2z=2. 即 z=1y. 代入第一个方程.,x2+y2+(1y)2=1,x2+2y22y=0.,
