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1、第四章 随机变量的数字特征、极限定理,数学期望 方差 几种重要分布的数学期望与方差 矩、协方差和相关系数 分位点、众数与其它数字特征,3.1数学期望,例3.1 甲、乙两射手进行射击训练，已知在100次射击中命中环数与次数记录如下：,甲,乙,试问如何评定甲、乙射手的技术优劣？,甲平均射中的环数为：,乙平均射中的环数为：,(830+910+1060)100=80.3+90.1+100.6=9.3(环),(820+950+1030)100=80.2+90.5+100.3=9.1(环),因此从平均射中的环数看，甲的技术优于乙。,1.数学期望的定义一、离散型随机变量的数学期望,上述平均环数的计算可表示为
2、,我们称之为随机变量X的数学期望，或均值。,数学期望描述随机变量取值的平均特征,定义3.1 设X是离散型随机变量，其分布律为 XP(X=xi)=pi, i=1,2,n，,如果级数,绝对收敛，,并称级数,的和为随机变量X的数学期望，记作,则称X的数学期望存在，,E(X)，即,则称随机变量X的数学期望不存在。,注意：随机变量X的数学期望E(X)完全是由X的分布律确定的，而不应受X的可能取值的排列次序的影响，因此要求级数,绝对收敛。若级数,不绝对收敛，,例如，设离散型随机变量X的分布律为,则X的数学期望为,例4.2 掷一颗均匀的骰子，以X表示掷得的点数，求X的数学期望。,解 X的分布律为,例4.4
3、设X取,(k=1,2,)对应的概率为,，证明E(X)不存在。,证明,且,但级数,发散,所以E(X)不存在，但级数,(交错级数满足Leibniz条件)(收敛),要注意数学期望的条件：“绝对收敛”。,例4.3 设随机 变量X服从二项分布B(n,p),求数学期望E（X）?,解： X的概率函数为,则,k=m-1,例4.3 设随机 变量X服从二项分布B(n,p),求数学期望E（X）?,解： X的概率函数为,则,k=m-1,定义4.1.2 设X是连续型随机变量，概率密度函数为f(x),二、连续型随机变量的数学期望,若积分,绝对收敛，则称X的数学期望存在，,且称积分,为随机变量X的数学期望，记为E(X),即
4、,数学期望简称期望或均值。,n维随机向量的数学期望定义为各分量的期望构成的 向量.,例4.5 设有5个相互独立的元件，其寿命服从参数为0的指数分布，其概率密度为,(1)若将5个元件组成一个串联系统，求该系统的平均寿命；,(2)若将5个元件组成一个并联系统，求该系统的平均寿命；,解 (1)设Xk表示第k个元件的寿命，k=1,2,3,4,5，则X1, X2, X3, X4, X5相互独立，且Xkf(x)，同分布。,记Y为串联系统的寿命，则Y=min(X1, X2, X3, X4, X5)，分布函数为,密度函数为,所以数学期望为,(2) 记Z为并联系统的寿命，则Z=max(X1, X2, X3, X
5、4, X5)， Z的分布函数为,密度函数为,所以数学期望为,从本例可知：同样5个组件，并联系统的平均寿命是串联系统的平均寿命11.4倍。,例4.6 设随机变量X服从,(-x+),试讨论E(X)。此分布称为Cauchy分布。,解,此广义积分发散，因此数学期望E(X)不存在。 注意这里,三、随机变量函数的数学期望,定理4.1.1 设随机变量Y是随机变量X的函数，Y=g(X)(g()为连续函数),(1)设X为离散型随机变量，其分布律为P(X=xi)=pi,i=1,2,若级数,绝对收敛，则Y的数学期望存在，且,(2)设X为连续型随机变量，其概率密度为f(x)，,若积分,绝对收敛，则Y的数学期望存在，且
6、,此定理说明，在求随机变量X的函数Y=g(X)的期望时，不必知道Y的分布而只需知道X的分布即可。,定理4.1.2设(X,Y)是二维随机变量，Z=g(X,Y)，g(,)是连续函数。,(1)设(X,Y)是离散型随机变量，分布律为 P(X=xi,Y=yj)=pij，i,j=1,2,则当,绝对收敛时，Z的数学期望存在，且,(2)设(X,Y)是连续型随机变量，概率密度为f(x,y)，则当,绝对收敛时，Z的数学期望存在，且,例4.7 设随机变量XB(n,p)，,求E(Y),解 XB(n,p)，分布律为,其中p+q=1,例4.8 设二维随机变量(X,Y)具有概率密度,设Z=XY，试求Z的数学期望。,解,O
7、1 x,y,1,y=x,例4.9 设国际市场上每年对我国某种出口商品的需求量是随机变量X(单位吨)，它服从2000,4000上的均匀分布。若售出这种商品1吨，可赚3万元，但若销售不出去，则每吨需付仓储费1万元，问该商品应出口多少吨才可使平均收益最大？,解 由题意可知X的密度函数为,设每年出口该商品y吨，(2000y4000)，则收益,可知y=3500时，E(Y)取到最大值，故出口3500吨此商品才可使平均收益最大。,(1)、设C是常数，则E(C)=C; 证 将C看成是离散型随机变量，分布律P(X=C)=1，则 E(C)=C (2)、设设C是常数，X为随机变量，则E(CX)=CE(X); 证 设
8、X的密度函数为f(x)，则,2.数学期望的性质,(3)、设X,Y为任意两个随机变量，则有E(X+Y)=E(X)+E(Y);,证 设(X,Y)f(x,y)，边缘密度函数为fX(x)，fY(y),推广： Xi为随机变量，Ci为常数，i=1,2,n E(C1X1+ C2X2+ CnXn)=C1E(X1)+C2E(X2)+ CnE(Xn) 称为数学期望的线性性质.,(4)、若X，Y是相互独立的随机变量，则E(XY)=E(X)E(Y),证 设(X,Y)f(x,y)，由于X,Y相互独立，则 f(x,y)=fX(x)fY(y),推广： X1,X2,Xn相互独立，则 E(X1X2Xn)=E(X1)E(X2)E
9、(Xn),例4.10 设某种疾病的发病率为1%，在1000个人中普查这种疾病,为此要化验每个人的血。方法是，每100个人一组，把从100个人抽来的血混在一起化验，如果混合血样呈阴性，则通过；如果混合血样呈阳性，则再分别化验该组每个人的血样。求平均化验次数。,解 设Xj为第j组的化验次数，j=1,2,10， X为1000人的化验次数，则Xj的可能取值为1，101，且,例4.11 一民航机场的送客车载有20名乘客从机场开出，旅客有10个车站可以下车，如到达一个站无旅客下车就不停车，假设每位旅客在各站下车是等可能的，且旅客之间在哪一个站下车相互独立。以X表示停车次数，求平均停车次数E(X)。,解 X
10、的可能取值为1,2,10，又设,则 X=X1+X2+X10,按题意，对一位旅客而言，他在第i站下车的概率是1/10，在第i站不下车的概率是9/10。由于在各站旅客下车与否相互独立，故第i站无人下车的概率为(9/10)20，从而第i站有人下车的概率为1- (9/10)20， Xi的分布律为：,E(Xi)=11- (9/10)20+0 (9/10)20 =1- (9/10)20,E(X)=E(X1+X2+X10)= E(X1)+ E(X2)+E(X10) =101- (9/10)20=8.784,例4.12 Xe(2),Ye(4),求 (1)Z=2X3Y2 的数学期望. (2)X与Y相互独立时,Z
11、=3XY的数学期望.,解: (1) 先求Xe()的数学期望.,(2),令4y=t,则dy=1/4dt,4.2方差,1、方差的定义,例4.13 甲乙两部机床生产同一种机轴，轴的直径为10mm，公差为0.2mm，即直径在9.8mm到10.2mm的为合格品，超出范围的均为废品。现从甲乙两机床的产品中各随机地抽取6件进行测试，机轴的直径的测试尺寸如下：(mm) 甲9.89.910.010.010.110.2 乙9.09.29.410.610.811.0 易知，甲乙两组产品的直径的均值都为10.0mm，但两组的质量显然差异很大，甲组全为合格品，乙组全为废品。这里光看均值无差别，质量的差异的原因在于两组产
12、品关于均值的离散程度不同。甲组离散程度小，质量较稳定，乙组的离散程度大，质量不稳定。,为衡量一个随机变量X关于均值的离散程度，可用|X-EX|的均值来表示，称为X的绝对离差，用E|X-EX|记，这在实际统计中有一定的作用。但由于绝对值得均值不易计算，常用随机变量与均值差的平方的均值来描述离散程度。,定义4.2.1 设X是随机变量，若EX-EX2存在，则称EX-EX2为随机变量X的方差，记为D(X) ，即 D(X)=EX-EX2 在应用上，常用与随机变量X具有相同量纲的量.,称为随机变量X的均方差或标准差。,方差是衡量随机变量取值波动 程度的一个数字特征。,由方差的定义可知，D(X)0。 (1)
13、当X为离散型随机变量时，且分布律为P(X=xk)=pk，则,(2)当X为连续型随机变量时，且密度函数为f(x)，则,在实际计算中，通常使用如下公式,即方差是“随机变量平方的期望减去随机变量期望的平方”。,例4.13 已知随机变量X的分布律如下，求D(X)。,解 数学期望E(X)=7/8，,例4.14 设随机变量,求D(X),解,2、方差的性质,(1)、设C是常数，则D(C)=0，且D(X+C)=D(X); (2)、设C是常数，X为随机变量，则D(CX)=C2D(X); 证,(3)、设X,Y为任意两个随机变量，则有 D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2EX-E(X)Y-E(Y);,证明 由方差定
14、义可得 D(X+Y)=E(X+Y)-E(X+Y)2 =E(X-E(X)+(Y-E(Y)2 =EX-E(X)2+EY-E(Y)2+2EX-E(X)Y-E(Y) = D(X)+D(Y)+2EX-E(X)Y-E(Y),特别地，当X,Y相互独立时，E(XY)=E(X)E(Y) 由于EX-E(X)Y-E(Y)=EXY-XE(Y)-YE(X)+E(X)E(Y) =E(XY)-E(X)E(Y)-E(X)E(Y)+E(X)E(Y) =E(XY)-E(X)E(Y)=0， 所以 D(X+Y)=D(X)+D(Y) 推论：若随机变量X1, X2,Xn相互独立，则 D(X1+X2+Xn)=D(X1)+D(X2)+D(X
15、n) 又X,Y相互独立， C1，C2为常数，则 D(C1X+C2Y)= C12 D(X)+C22D(Y) 特别注意： D(X-Y)=D(X)+D(Y),(4)、D(X)=0的充分必要条件是X以概率1为常数，即 P(X=C)=1(事实上C=EX),例4.15 XH(n,m,N)(超几何分布,即N个球中m红N-m白,任取n个中红球的数目X服从的分布).求数学期望.,解:,本问题直接计算较烦琐,故这里利用期望的线性性质计算.,先计算概率P(Xi=1),解法(1):,令事件A为:第i次摸到红球.,则A发生=,先从m只红球中取一只放在第i个位置上,再从剩下的N-1只球中取出n-1只放在剩余的n-1个位置
16、上.,样本空间看作从N个球中任取n个进行排列.,解法(2):,将N个球编号并依次排列,共有N!种排列方法.,事件A发生可以看作:将红球中取出1个,放在第i个位置上,其余的球任意排列.,解法(3):,将N个球编号并依次排列,前面1m个是红球. 取到第k号球的概率都是1/N.,故有,解法(4):,将N个球编号并依次排列,前面1m个是红球. 后面N-m个是白球.,X:任取n个中红球的数目,则,例4.16 设随机变量X的期望和方差都存在.且 方差大于零.令:,求证:,证:,常数的方差为0,称X*为X的标准化随机变量.,4.3几个重要分布的数学期望和方差,1、01分布 XB(1,p)， P(X=1)=p，P(X=0)=1-p=q E(X)=1p+0(1-p)=p， E(X2)=12p+02(1-p)=p D(X)= E(X2)-(E(X)2=p-p2=pq=p(1-p),2、二项分布XB(n,p),分布律为P(X=k)=Cnkpkqn-k，(p+q=1)，k=0,
