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1、第 0 页 数学竞赛讲义 目录目录 第一章集合2第一章集合2 第二章函数15第二章函数15 2.1 函数及其性质15函数及其性质15 2.2 二次函数二次函数 2121 2.3 函数迭代 282.3 函数迭代 28 2.4 抽象函数 32抽象函数 32 第三章 数列37第三章 数列37 3.1 等差数列与等比数列37等差数列与等比数列37 3.2 递归数列通项公式的求法递归数列通项公式的求法 4444 3.3 递推法解题48递推法解题48 第四章 三角 平面向量 复数51第四章 三角 平面向量 复数51 第五章 直线、圆、圆锥曲线60第五章 直线、圆、圆锥曲线60 第六章 空间向量 简单几何体
2、68第六章 空间向量 简单几何体68 第七章 二项式定理与多项式75第七章 二项式定理与多项式75 第八章 联赛二试选讲 82第八章 联赛二试选讲 82 8.1 平几名定理、名题与竞赛题 8282 8.2 数学归纳法 9999 8.3 排序不等式 103103 第一章 集合第一章 集合 集合是高中数学中最原始、最基础的概念，也是高中数学的起始单元，是整个高中数学 的基础.它的基础性体现在：集合思想、集合语言和集合的符号在高中数学的很多章节如函 数、 数列、 方程与不等式、 立体几何与解析几何中都被广泛地使用.在高考试题和数学竞赛中， 很多问题可以用集合的语言加以叙述.集合不仅是中学数学的基础，
3、也是支撑现代数学大厦 的基石之一，本章主要介绍集合思想在数学竞赛中出现的问题. 1.1 集合的概念与运算集合的概念与运算 【基础知识】【基础知识】 一集合的有关概念一集合的有关概念 1集合：具有某些共同属性的对象的全体，称为集合.组成集合的对象叫做这个集合的 元素. 2集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性. 3集合的分类：无限集、有限集、空集. 4. 集合间的关系： 二集合的运算二集合的运算 1交集、并集、补集和差集 差集：记 A、B 是两个集合，则所有属于 A 且不属于 B 的元素构成的集合记作.BA 第 1 页 即且.AxBABx 2.集合的运算性质 (1),(幂等律);AAAAA
4、A (2), (交换律);ABBAABBA (3), (结合律);)()(CBACBA)()(CBACBA (4),(分配律);)()()(CABACBA)()()(CABACBA (5),(吸收律);AABA)(ABAA)( (6)(对合律);AACC UU )( (7), (摩根律)()()(BCACBAC UUU )()()(BCACBAC UUU (8),.)()()(CABACBA)()()(CABACBA 3.集合的相等 (1)两个集合中元素相同,即两个集合中各元素对应相等; (2)利用定义,证明两个集合互为子集; (3)若用描述法表示集合,则两个集合的属性能够相互推出(互为充要条
5、件),即等价; (4)对于有限个元素的集合,则元素个数相等、各元素的和相等、各元素之积相等是两集 合相等的必要条件. 【典例精析】【典例精析】 【例 1】在集合中,任意取出一个子集,计算它的各元素之和.则所有子集的元素之, 2 , 1n 和是 . 分析已知的所有的子集共有 n 2个.而对于,显然, 2 , 1n, 2 , 1ni, 2 , 1n 中包含的子集与集合的子集个数相等.这就说明在集合i, 1, 1, 2 , 1niii 的所有子集中一共出现次,即对所有的 求和,可得, 2 , 1n 1 2 n i).(2 1 1 n i n n iS 【解】集合的所有子集的元素之和为, 2 , 1n
6、 2 ) 1( 2)21 (2 11 nn n nn =.2) 1( 1 n nn 说明本题的关键在于得出中包含 的子集与集合的, 2 , 1ni, 1, 1, 2 , 1nii 子集个数相等.这种一一对应的方法在集合问题以及以后的组合总是中应用非常广泛. 【例 2】 已知集合且,求参数034|,023| 222 aaxxxBxxxABA a 的取值范围. 第 2 页 分析首先确定集合 A、B,再利用的关系进行分类讨论.BA 【解】由已知易求得0)3)( |,12|axaxxBxxA 当时,由知无解;0a3|axaxBBA 当时,显然无解; 0aB 当时, ,由解得0a3|axaxBBA .
7、3 2 1a 综上知,参数的取值范围是.a 3 2 , 1 说明 本题中,集合的定义是一个二次三项式,那么寻于集合 B 要分类讨论使其取值范围数 字化,才能通过条件求出参数的取值范围. 【例 3】已知,集合.若, RyRx,1, 2 ,1, 1 2 y y yBxxxxABA 则的值是( ) 22 yx A.5 B.4 C.25 D.10 【解】,且及集合中元素的互异性知0) 1( 2 xxxx1 2 01 2 xx ,即,此时应有xxx1 2 1x . 1 1 2 xxxx 而,从而在集合 B 中, Ry. 2 1y y y 由,得BA )3( )2( ) 1 ( 1 2 11 2 yx y
8、 x yxx 由(2)(3)解得,代入(1)式知也满足(1)式.2, 1yx2, 1yx . 5 21 2222 yx 说明 本题主要考查集合相等的的概念,如果两个集合中的元素个数相等,那么两个集合中 对应的元素应分别相等才能保证两个集合相等.而找到这种对应关系往往是解决此类题目的 关键. 【例 4】 已知集合.若,求|,| , 0),lg(,yxBxyyxABA ) 1 () 1 ( 2 2 y x y x +的值.) 1 ( 2008 2008 y x 分析从集合 A=B 的关系入手,则易于解决. 第 3 页 【解】,根据元素的互异性,由 B 知.BA 0)lg( |)lg( xyxyx
9、yxxyxyx 0, 0yx 且,故只有,从而B0BA A00)lg(xy . 1 xy 又由及,得A1BA .1B 所以或,其中与元素的互异性矛盾! 1| 1 x xy 1 1 y xy 1 yx 所以代入得:, 1 yx +=()+2+()+2+()+2=0.) 1 () 1 ( 2 2 y x y x) 1 ( 2008 2008 y x222 说明 本题是例 4 的拓展,也是考查集合相等的概念,所不同的是本题利用的是集合相等的 必要条件,即两个集合相等,则两个集合中,各元素之和、 各元素之积及元素个数相等.这是解 决本题的关键. 【例 5】已知 A 为有限集,且,满足集合 A 中的所有
10、元素之和与所有元素之积相等,写 * NA 出所有这样的集合 A. 【解】设集合 A=且,由,) 1(, 21 naaa n n aaa 21 1 n aaa 21n aaa 21 ,得,即*)(Nnnan n na n aaa 21n aaa 21 )!1( nan)!1( nn 或(事实上,当3n时,有.2n3n)2) 1()2)(1()!1(nnnnn 当时,而2n1, 2,2 1122121 aaaaaaa . 2 ,11 22 naa 当时,3n3,3 213321321 aaaaaaaaa . 2 , 1 21 aa 由,解得 33 32aa . 3 3 a 综上可知,.3 , 2
11、, 1A 说明本题根据集合中元素之间的关系找到等式,从而求得集合 A.在解决问题时,应注意 分析题设条件中所给出的信息,根据条件建立方程或不等式进行求解. 【例 6】已知集合,若,求实数02|,023| 22 aaxxxSxxxPPS a 的取值组成的集合 A. 【解】,设.21 |xxPaaxxxf2)( 2 当,即时,满足;04)2( 2 aa10 aSPS 当,即或时,04)2( 2 aa0a1a 第 4 页 若,则,不满足,故舍去;0a0SPS 若时,则,满足.1a1SPS 当时,满足等价于方程的根介于 1 和 2 之间.04)2( 2 aaPS 02 2 aaxx 即. 034 01
12、 21 10 0)2( 0) 1 ( 2 2 )2( 1 0 a a a aa f f a 或 a 综合得,即所求集合 A.10 a10|aa 说明先讨论特殊情形(S=),再讨论一般情形.解决本题的关键在于对分类讨论,确定 的取值范围.本题可以利用数形结合的方法讨论a. 0 【例 7】(2005 年江苏预赛)已知平面上两个点集 R, 22 ( , )| |1|2(),Mx yxyxyx y R. 若 , 则 的取值范围是( , )| |1|1,Nx yxayx yMN a 【解】由题意知 是以原点为焦点、直线 M10 xy 为准线的抛物线上及其凹口内侧的点集， 是以 为N( ,1)a 中心的正
13、方形及其内部的点集(如图) 考察 时, 的取值范围:MN a 令 , 代入方程 ,1y 22 |1|2()xyxy 得 ，解出得 所以， 2 420 xx26x 当 时, 26116a MN 令 ，代入方程 , 得 . 解出得2y 22 |1|2()xyxy 2 610 xx 所以，当 时, 310 x 310a MN 因此, 综合 与 可知，当 ，即 时, 16310a16, 310a 故填 .MN 16,310 【例 8】已知集合,其中, 4321 aaaaA , 2 4 2 3 2 2 2 1 aaaaB 4321 aaaa .若,.且中的所有元素之和为 124,求Naaaa 4321
14、, 41 aaBA10 41 aaBA 第 5 页 集合 A、B. 【解】,且,又,所以 4321 aaaa, 41 aaBA 2 11 aa Na 1 . 1 1 a 又,可得,并且或10 41 aa9 4 a 4 2 2 aa . 4 2 3 aa 若,即,则有解得或(舍)9 2 2 a3 2 a,12481931 2 33 aa5 3 a6 3 a 此时有.81,25, 9 , 1,9 , 5 , 3 , 1BA 若,即,此时应有,则中的所有元素之和为 100124.不合题意.9 2 3 a3 3 a2 2 aBA 综上可得, .81,25, 9 , 1,9 , 5 , 3 , 1BA
15、说明 本题的难点在于依据已知条件推断集合 A、 B 中元素的特征.同时上述解答中使用发 分类讨论的思想.分类讨论是我们解决问题的基本手段之一,将问题分为多个部分,每一部分 的难度比整体都要低,这样就使问题变得简单明了. 【例 9】满足条件的函数形成了一个集合 M,其中|4| )()(| 2121 xxxgxg)(xg ,并且,求函数与集合 M 的关系.Rxx 21, 1, 2 2 2 1 xx)(23)( 2 Rxxxxfy 分析求函数集合 M 的关系,即求该函数是否属于集合 M,也就是判断23)( 2 xxxf 该函数是否满足集合 M 的属性. 【解】|3| )23()23( | )()(| 21212 2 21 2 121 xxxxxxxxxfxf 取时, 6 5 , 6 4 21 xx. |4| 2 9 | )()(| 212121 xxxxxfxf 由此可见,.)(Mxf 说明本题中 M 是一个关于函数的集合.判断一个函数是否属于 M,只要找至一个或)(xf 几个特殊的使得不符合 M 中的条件即可证明 i x)( i xf.)(Mxf 【例 10】对集合及每一个非空
