八种求数列通项的方法_已知递推公式_求通项公式[整理]

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1、1 求数列通项公式方法归纳 一、公式法 例 1 已知数列 n a满足 1 232 n nn aa， 1 2a，求数列 n a的通项公式。 解： 1 23 2 n nn aa两边除以 1 2 n ， 得 1 1 3 222 nn nn aa ， 则 1 1 3 222 nn nn aa ， 故数列 2 n n a 是 以1 2 2 2 a 1 1 为 首 项 ， 以 2 3 为 公 差 的 等 差 数 列 ， 由 等 差 数 列 的 通 项 公 式 ， 得 3 1(1) 22 n n a n，所以数列 n a的通项公式为 31 ()2 22 n n an。 二、累加法 例 2 已知数列 n a满

2、足 11 211 nn aana，求数列 n a的通项公式。 解：由 1 21 nn aan得 1 21 nn aan则 11232211 2 ()()()() 2(1) 12(2)1(22 1)(2 1 1) 1 2(1)(2)2 1(1) 1 (1) 2(1) 1 2 (1)(1) 1 nnnnn aaaaaaaaaa nn nnn nn n nn n 所以数列 n a的通项公式为 2 n an。 例 3、在数列 n a 中， 31a , )1( 1 1 nn aa nn ，求通项公式 n a . 解：原递推式可化为： 1 11 1 nn aa nn 则 , 2 1 1 1 12aa 3

3、1 2 1 23aa 4 1 3 1 34 aa ， nn aa nn 1 1 1 1 2 逐项相加得： n aan 1 1 1 . 故 n an 1 4 . 例 4 已知数列 n a满足 11 2313 n nn aaa，求数列 n a的通项公式。 解：由 1 231 n nn aa得 1 231 n nn aa则 所以31. n n an 例 5、已知数列 na满足11 32313 n nn aaa，求数列 na的通项公式。 解： 1 3231 n nn aa两边除以 1 3 n ，得 1 11 21 3333 nn nnn aa ， 则 1 11 21 3333 nn nnn aa ，故

4、 11223211 22321 11 122 122 ()()()() 33333333 212121213 ()()()() 333333333 2(1)11111 ()1 333333 nnnnnnn nnnnn nn nnn nnnn aaaaaaaaaa aa n 因此 11 (1 3) 2(1)211 3 1 331 3322 3 n n n nn ann ， 则 211 33. 322 nn n an 例 6 在数列 n a 中， 0 1 a 且 12 1 naa nn ，求通项 n a . 2 1 2 3211 3231n nn nan 小练： 已知 n a 满足 1 1 a ，

5、 )1( 1 1 nn aa nn 求 n a 的通项公式。 3 已知 n a 的首项 1 1 a ， naa nn 2 1 （ * Nn ）求通项公式。 已知 n a 中， 3 1 a ， n nn aa2 1 ，求 n a 。 三 、累乘法类型 nn anfa)( 1 型 例 7 已知数列 n a满足 11 2(1)53 n nn anaa，求数列 n a的通项公式。 解：因为 11 2(1)53 n nn anaa，所以0 n a，则 1 2(1)5 nn n a n a ，故 132 1 1221 1221 1(1)(2)2 1 (1) 1 2 2(1 1)52(2 1)52(21)

6、5 2(11) 5 3 2 (1)3 253 325! nn n nn nn nnn n n n aaaa aa aaaa nn n n n 所以数列 na的通项公式为 (1) 1 2 325!. n n n n an 例 8 已知数列 n a满足 11231 123(1)(2) nn aaaaanan， 求 n a的 通项公式。 解：因为 1231 23(1)(2) nn aaaanan 所以 11231 23(1) nnn aaaanana 用式式得 1 . nnn aana 则 1 (1)(2) nn anan 故 1 1(2) n n a nn a 所以 13 222 122 ! (1

7、)43. 2 nn n nn aaan aan naa aaa 4 由 1231 23(1)(2) nn aaaanan， 212 22naaa取得，则 21 aa， 又知 11a，则 2 1a，代入得 ! 1 3 4 5 2 n n an。 所以， n a的通项公式为 ! . 2 n n a 例 9在数列 n a 中， 1 1 a ， 1 1 n n a a n n ，求通项 n a . 解 ： 由 条 件 等 式 1 1 n n a a n n 得 ， nn n n n a a a a a a n n n n 1 2 1 1 21 1 2 2 1 1 ， 得 n an 1 . 练习： 1、

8、已知： 3 1 1 a ， 1 12 12 nn a n n a （ 2n ）求数列 n a 的通项。 2、已知 na 中， nn a n n a 2 1 且 2 1 a 求数列通项公式。 四、待定系数法 )1,0( 1 ccdcaa nn 型 例 10 已知数列 n a满足 11 23 56 n nn aaa， ，求数列 n a的通项公式。 解：设 1 1 52(5 ) nn nn axax 将 1 235 n nn aa代入式，得 1 2355225 nnn nn axax，等式两边消 去2 na，得 1 3 5525 nnn xx，两边除以5 n ，得352 ,1,xxx则代入式得 1

9、1 52(5 ) nn nn aa 由 1 1 56510a及式得50 n n a，则 1 1 5 2 5 n n n n a a ，则数列5 n n a是 以 1 1 51a为首项，以2 为公比的等比数列，则 1 52 nn n a，故 1 25 nn n a。 例 11 已知数列 na满足11 35241 n nn aaa，求数列 na的通项公式。 5 解：设 1 1 23(2) nn nn axyaxy 将 1 3524 n nn aa代入式，得 1 352423(2) nnn nn axyaxy 整理得(52 )24323 nn xyxy。 令 523 43 xx yy ，则 5 2

10、x y ，代入式得 1 1 5223(522) nn nn aa 由 1 1 5221 12130a及式， 得5220 n na，则 1 1 5 22 3 5 22 n n n n a a ， 故数列522 n n a是以 1 1 5221 1213a为首项，以3 为公比的等比数列， 因此 1 522133 nn n a，则 1 133522 nn n a。 例 12 已知数列 n a满足 2 11 23451 nn aanna， ，求数列na的通项公式。 解：设 22 1 (1)(1)2() nn ax ny nzaxnynz 将 2 1 2345 nn aann代入式，得 222 2345

11、(1)(1)2() nn annx ny nzaxnynz，则 22 2(3)(24)(5)2222 nn ax nxynxyzaxnynz 等式两边消去2 n a，得 22 (3)(24)(5)222x nxynxyzxnynz， 6 解方程组 32 242 52 xx xyy xyzz ，则 3 10 18 x y z ，代入式，得 22 1 3(1)10(1)182(31018) nn annann 由 2 1 3 110 1 18131320a及式，得 2 310180 n ann 则 2 1 2 3(1)10(1) 18 2 31018 n n ann ann ，故数列 2 3101

12、8 n ann为以 2 1 3 110 1 1813132a为首项，以2 为公比的等比数列，因此 21 31018322 n n ann，则 42 231018 n n ann。 例 13数列 n a 满足 212 11 aaa nn ， ，求 n a . 解：设 axax nn1 2() ，即 ,21xaann 对照原递推式，便有 x1. 故由 , 12 1nn aa 得 )1(21 1nn aa ，即 2 1 1 1 n n a a ，得新数列 1 n a 是以 1121 1 a 为首项，以2 为公比的等比数列。 （n=1,2,3 ） ， 1 21 n n a ，即通项 12 1n n a

13、 练习： 1、已知 n a 满足 3 1 a ， 12 1nn aa 求通项公式。 2、已知 n a 中， 1 1 a ， 23 1nn aa （ 2n ）求 n a 。 分析：构造辅助数列， )1(31 1nn aa ，则 13 n n a 同类变式 1、已知数列 na 满足 )12(2 1 naa nn ，且 2 1 a ，求通项 n a 分析： （待定系数） ，构造数列 bknan 使其为等比数列， 即 )(2)1( 1 bknabnka nn ，解得 1, 2 bk 求得 1225 1 na n n 7 2、已知： 1 1 a ， 2n 时， 12 2 1 1 naa nn ，求 n

14、a 的通项公式。 解：设 )1( 2 1 1 BnAaBAna nn BAAnaa nn 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 2 2 1 BA A 解得： 6 4 B A 364 1 a 64nan 是以 3 为首项， 2 1 为公比的等比数列 1 ) 2 1 (364 n n na 64 2 3 1 na nn 3、已知数列 a n 满足 3a132a3a 1 n n1n ， ，求数列 a n 的通项公式。 解： 132a3a n n1n 两边除以 1n 3 ，得 1nn n 1n 1n 3 1 3 2 3 a 3 a ， 则 1nn n 1n 1n 3 1 3 2 3

15、a 3 a ， 故 3 a ) 3 a 3 a () 3 a 3 a () 3 a a a () a a 3 a ( 3 a 1 1 1 2 2 3n 3n 2n 2n 2n 2n 1n 1n 1n 1n n n n n 3 3 ) 3 1 3 2 () 3 1 3 2 () 3 1 3 2 () 3 1 3 2 ( 22n1nn 1) 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 ( 3 ) 1n(2 22n1nnn 因此 n 1n n n n 32 1 2 1 3 n2 1 31 )31( 3 1 3 ) 1n(2 3 a ， 则 2 1 3 2 1 3n 3 2 a nn n 8 例 7 已知

16、数列 n a 的前 n 项和 n S 满足 naS nn 22 （1） 写出数列的前3 项 321 ,aaa ； （2） 求数列 n a 的通项公式 . 解： （1）由 22 111 aSa ，得 2 1 a . 由 42 2221 aSaa , 得 6 2 a , 由 321 aaa62 33 aS , 得 14 3 a (2) 当 2n 时, 有 22 11nnnnn aaSSa , 即 22 1nn aa 令 1 2 nn aa , 则 1 2 nn aa , 与比较得 , 2 2 n a 是以 42 1 a 为首项 , 以 2 为公比的等比数列. 11 22)4(2 nn n a ,故 22 1n n a 引申题目： 1、已知 n a 中， 1 1 a ， n nn aa22 1 （ 2n ）求 n a 2、在数列 n a 中， ,342, 1 1 11 n nn aaa 求通项公式 n a 。 解：原递推式可化为： )3(23 1 1 n n n n aa 比较系数得=-