388编号初中圆知识点总结与练习

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1、1 圆圆 一圆的认识 知识点晴 1圆的定义 （1）在一个平面内，线段 OA 绕它的一个端点 O 旋转一周， 另一个端点 A 随之旋转所形成的图形叫做圆。固定的端点 O 叫做圆心，线段 OA 叫做半径，如右图所示。 （2）圆可以看作是平面内到定点的距离等于定长的点的集 合，定点为圆心，定长为圆的半径。 说明：圆的位置由圆心确定，圆的大小由半径确定，半 径相等的两个圆为等圆。 2圆的有关概念 （1）弦：连结圆上任意两点的线段。 （如右图中 的 CD） 。 （2）直径：经过圆心的弦（如右图中的 AB） 。 直径等于半径的 2 倍。 （3）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧。 （如 右图中的、） CD

2、CAD 其中大于半圆的弧叫做优弧，如，小 CAD 于半圆的弧叫做劣弧。 （4）圆心角：如右图中COD 就是圆心角。 3与圆相关的角 （1）与圆相关的角的定义 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角 圆周角：顶点在圆上且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一连轴和圆相切的角叫做弦切角。 （2）与圆相关的角的性质 圆心角的度数等于它所对的弦的度数； 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半； 同弧或等弧所对的圆周角相等； 半圆（或直径）所对的圆周角相等； 弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角； 两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等； 圆的内接四边形的对角互补，并且

3、任何一个外角都等于它的内对角。 4圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系。 （1）定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦的弦心距相等。 （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一 组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等 A O B C D O A r 2 例题精讲 【例1】 下面四个命题中正确的一个是（ ） A过弦的中点的直线平分弦所对的弧 B过弦的中点的直线必过圆心 C弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心 D弦的垂线平分弦所对的弧 【答案】C 二与圆有关的位置 关系 知识点晴 1点与圆的位置关系 如果圆的半径为 r，某一点到圆

4、心的距离为 d，那么： （1）点在圆外dr （2）点在圆上dr= （3）点在圆内dr （2）直线和圆相切，直线与圆有唯一交点；dr= （3）直线和圆相交，直线与圆有两个交点。dr+ （2）两圆外切；dRr=+ （3）两圆相交；()RrdRr Rr- （5）两圆内含。 （注意：如果为，则两圆为同心圆。 ）()dRr Rr0d = 4. 切线的性质与判定定理 （1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：且过半径外端MNOAMNOA 是的切线MNO （2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论 1：过圆心垂直于切线的直线必过

5、切点。 NM A O 3 推论 2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。 5. 切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这 点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 即：、是的两条切线 PAPB PAPB 平分POBPA 例题精讲 【例2】 已知O 的半径为 1，点 P 到圆心 O 的距离为 d，若关于 x 的方程 x22xd=0 有 实根，则点 P( ) A在O 的内部B在O 的外部 C在O 上D在O 上或O 的内部 【答案】D 【例3】 已知：如图，PA，PB 分别与O 相切于 A，B 两点求证：OP 垂直平分线段 AB 【答案】略 【例4】 已知：如图，PA 切O 于 A 点，PO

6、AC，BC 是O 的直径请问：直线 PB 是 否与O 相切?说明你的理由 【答案】直线 PB 与O 相切提示：连结 OA，证PAOPBO P B A O 4 【例 5】已知 ： 如图，O1与O2外切于 A 点，直线 l 与O1、O2分别切于 B，C 点，若O1 的半径 r1=2cm，O2的半径 r2=3cm求 BC 的长 【答案】cm62提示：分别连结 O1B，O1O2，O2C 【例 6】 如图， 点 A， B 在直线 MN 上， AB=11cm， A， B 的半径均为 1cm A 以每秒 2cm 的速度自左向右运动，与此同时，B 的半径也不断增大，其半径 r(cm)与时间 t(s) 之间的关

7、系式为 r=1t(t0) (1)试写出点 A，B 之间的距离 d(cm)与时间 t(s)之间的函数表达式； (2)问点 A 出发多少秒时两圆相切? 【答案】(1)当 0t5.5 时，d112t； 当 t5.5 时，d2t11 (2) 第一次外切，t3；第一次内切，; 3 11 t 第二次内切，t11；第二次外切，t13 三垂径定理及推论 知识点晴 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论 1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； 推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 O E DC B A O C

8、 D A B 5 即：在中，OABCD 弧弧ACBD 例题精讲 【例 7】在直径为 52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度 为 16cm，那么油面宽度 AB 是_cm. 【答案】 4 159 【例 8】如图，F 是以 O 为圆心，BC 为直径的半圆上任意一点，A 是的中点，ADBC 于 D，求证：AD=BF. 2 1 【答案】提示：连接 OF，证明 是全等三角形。,ADOFOEBOE 四圆周角定理 知识点晴 1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。 即：和是弧所对的圆心角和圆周角AOBACBAB 2AOBACB 2、圆周角定理的推论： 推论 1

9、：同弧或等弧所对的圆周角相等； 同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧； 即：在中，、都是所对的圆周OCD角 CD D C B A O C B A O 6 推论 2：半圆或直径所对的圆周角是直角； 圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直 径。 即：在中，是直径 OAB 或90C 90C 是直径AB 推论 3：若三角形一边上的中线等于这边的一半， 那么这个三角形是直角三角形。 即：在中，ABCOCOAOB 是直角三角形或ABC90C 例题精讲 【例 9】已知：如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB 于 E，ACD=30，AE=2cm求 DB 【答案】cm.34 【例 10】已知：如图，O 的

10、直径 AE=10cm，B=EAC求 AC 的长 【答案】提示：连结 CE不难得出cm.25AC C BA O C BA O 7 五 与圆有关的计算 知识点晴 1 圆周长：2cRp= 2 弧长：； 180 n R l p = 3 圆面积：； 2 SRp= 4 扇形面积：； 2 1 2360 n R SlR p = 扇形 例题精讲 【例 11】如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条 AB，AC 夹角为 120，AB 的长为 30cm， 贴纸部分 BD 的长为 20cm，则贴纸部分的面积为( ) A 2 cm100B 2 cm 3 400 C 2 cm800D 2 cm 3 800 【答案】D 【例

11、12】 已知 ： 如图， 以线段 AB 为直径作半圆 O1， 以线段 AO1为直径作半圆 O2， 半径 O1C 交半圆 O2于 D 点试比较与的长 【答案】的长等于的长提示：连结 O2D 8 六圆幂定理 知识点晴 1.相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。 即：在中，弦、相交于点，OABCDP PA PBPC PD 推论：如果弦与直径垂直相交， 那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比 例中项。 即：在中，直径，OABCD 2 CEAE BE 2. 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段 长的比例中项。 即：在中，是切线，是割线OPAPB

12、 2 PAPC PB 3. 割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的 积相等（如上图） 。 即：在中，、是割线OPBPE PC PBPD PE 例题精讲 【例 13】如图，P 是O 外一点，PC 切O 于点 C，PAB 是O 的割线，交O 于 A、B 两点， 如果 PA：PB1：4，PC12cm，O 的半径为 10cm，则圆心 O 到 AB 的距离是_ P O D C B A OE D C B A D E C B P A O 9 【答案】9 七正多边形与圆 知识点晴 1.正三角形 在中是正三角形，有关计算在中进行：；OABCRt BOD:1: 3:2OD B

13、D OB 2.正四边形 同理，四边形的有关计算在中进行，：Rt OAE:1:1:2OE AE OA 3.正六边形 同理，六边形的有关计算在中进行，. .Rt OAB:1:3:2AB OB OA 例题精讲 【例 13】已知正多边形的边长为 a 与外接圆半径 R 之间满足，则这个多边形是12 a R （ ） A. 正三边形B. 正四边形C. 正五边形D. 正六边形 【答案】C 提示：正多边形的边数越多，则边长越小，而有RaR2 E CB AD O B A O D C B A O 10 因为，所以aR 6 aR 4 2aaa 64 则，是正五边形，应选 C。aaa 654 八课后练习题 【例 1】若

14、 P 为半径长是 6cm 的O 内一点，OP2cm，则过 P 点的最短的弦长为( ) A12cmBcm22Ccm24Dcm28 【答案】D 【例 2】若O 的半径长是 4cm，圆外一点 A 与O 上各点的最远距离是 12cm，则自 A 点 所引O 的切线长为( ) A16cmBcm34Ccm24Dcm64 【答案】B 【例 3】O 中，AOB100，若 C 是上一点，则ACB 等于( ) A80B100C120D130 【答案】A 【例 4】三角形的外心是( ) A三条中线的交点B三个内角的角平分线的交点 C三条边的垂直平分线的交点D三条高的交点 【答案】C 【例 5】如图，A 是半径为 2

15、的O 外的一点，OA4，AB 是O 的切线，点 B 是切点， 弦 BCOA，则的长为( ) 7 题图 A 3 2 B 3 8 CD3 3 2 【答案】A 11 【例 6】 如图， 图中的五个半圆， 邻近的两半圆相切， 两只小虫同时出发， 以相同的速度从 A 点到 B 点，甲虫沿，路线爬行，乙虫沿路线爬行， 则下列结论正确的是( ) 8 题图 A甲先到 B 点B乙先到 B 点 C甲、乙同时到 B 点D无法确定 【答案】C 【例 7】如图，同心圆半径分别为 2 和 1，AOB120，则阴影部分的面积为( ) 9 题图 AB 3 4 C2D4 【答案】C 【例 8】如图，在O 中，AB 为O 的直径，弦 CDAB，AOC60，则B_ 【答案】30 【例 9】如图，将半径为 2cm 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心 O，则折痕 AB 的长为 _ 【答案】cm.32 12 【例 10】已知：如图，在两个同心圆中，大圆的弦AB切小圆于 C 点，AB12cm 求两个圆之间的圆环面积 【答案】36cm2提示：连接 OC,OA. 【例 11】如图，在桌面上有半径为 2 cm 的三个圆形纸片两两外切，现用一个大圆片把这三 个圆完全覆盖，