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1、1 椭圆知识点 知识要点小结：知识点一：椭圆的定义 平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数 ,这个动点的P 1 F 2 F)2( 2121 FFaPFPFP 轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：若，则动点的轨迹为线段；)( 2121 FFPFPFP 21F F 若，则动点的轨迹无图形.)( 2121 FFPFPFP 知识点二：椭圆的标准方程 1当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中x1 2 2 2 2 b y a x )0( ba 222 bac 2当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；注意：y1 2 2 2 2 b x a y )0( ba 222
2、 bac 1只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时， 才能得到椭圆的标准方程 ； 2在椭圆的两种标准方程中，都有和；)0( ba 222 bac 3椭圆的焦点总在长轴上. 当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；x) 0 , (c) 0 , ( c 当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，y), 0(c), 0(c 知识点三：椭圆的简单几何性质 椭圆：的简单几何性质1 2 2 2 2 b y a x )0( ba （1）对称性 ： 对于椭圆标准方程： 说明 ： 把换成、或把换成、或把、1 2 2 2 2 b y a x )0( baxxyyx 同时换成、原方程都不变，所以椭圆是以轴、
3、轴为对称轴的轴对称图形，并yxy1 2 2 2 2 b y a x xy 且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。 （2）范围： 椭圆上所有的点都位于直线和所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足，axbyax 。by （3）顶点：椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。 椭圆与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为 ，1 2 2 2 2 b y a x )0( ba)0 ,( 1 aA 2 ，)0 ,( 2 aA), 0( 1 bB), 0( 2 bB 线段，分别叫做椭圆的长轴和短轴，,。和分别叫做椭 21A A 21B BaAA2 21 bBB2 21 ab
4、圆的长半轴长和短半轴长。 （4）离心率： 椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用表示，记作。e a c a c e 2 2 因为， 所以的取值范围是。越接近 1， 则就越接近， 从而)0( cae) 10( eeca 22 cab 越小，因此椭圆越扁；反之，越接近于 0，就越接近 0，从而越接近于，这时椭圆就越接近于圆。 ecba 当且仅当时，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为。注意：椭圆ba 0cayx 22 的图像中线段的几何特征（如下图） ： （1）1 2 2 2 2 b y a x ；)2( 21 aPFPFe PM PF PM PF 2 2 1 1 ；) 2 ( 2 21 c
5、 a PMPM （2）；)( 21 aBFBF)( 21 cOFOF 22 21 baBABA （3）；caFAFA 2211 caFAFA 1221 caPFca 1 知识点四：椭圆 与 的区别和联系1 2 2 2 2 b y a x 1 2 2 2 2 b x a y )0( ba 标准方程 1 2 2 2 2 b y a x )0( ba 1 2 2 2 2 b x a y )0( ba 3 图形 焦点 ，) 0 , ( 1 cF ) 0 , ( 2 cF，), 0( 1 cF), 0( 2 cF 焦距 cFF2 21 cFF2 21 范围 ，axby，bxay 对称性 关于轴、轴和原点
6、对称xy 顶点 ，) 0 , ( a), 0(b，), 0(a)0 ,( b 轴长长轴长=，短轴长= a2b2 离心率 ) 10(e a c e 准线方程 c a x 2 c a y 2 性质 焦半径 ， 01 exaPF 02 exaPF， 01 eyaPF 02 eyaPF 注意：椭圆，的相同点：形状、大小都相同；参数间的关系都有1 2 2 2 2 b y a x 1 2 2 2 2 b x a y )0( ba 和，；不同点：两种椭圆的位置不同；它们的焦点坐标也不相同。)0( ba) 10(e a c e 222 cba 规律方法： 1如何确定椭圆的标准方程？ 任何椭圆都有一个对称中心，
7、两条对称轴。当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴， 椭圆的方程才是标准方程形式。此时，椭圆焦点在坐标轴上。 确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件；一个定位条件焦点坐标，由焦点坐标的ba, 形式确定标准方程的类型。 2椭圆标准方程中的三个量的几何意义cba, 椭圆标准方程中，三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的。分别表示cba, 4 椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：，)0( ba)0( ca 且。)( 222 cba 可借助右图理解记忆： 显然：恰构成一个直角三角形的三条边，其中 a 是斜边，b、c 为两条cba,
8、直角边。 3如何由椭圆标准方程判断焦点位置 椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标 准方程， 判断焦点位置的方法是：看，的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。4方程 2 x 2 y 是表示椭圆的条件均不为零）CBACByAx,( 22 方程可化为，即，所以只有 A、B、C 同号，且 AB 时，CByAx 22 1 22 C By C Ax 1 22 B C By A C x 方程表示椭圆。当时，椭圆的焦点在轴上；当时，椭圆的焦点在轴上。 B C A C x B C A C y 5求椭圆标准方程的常用方法 ： 待定系数法 ： 由已知条件确定焦点的位置，从而确定椭圆方程的类 型，设出标准方程，
9、再由条件确定方程中的参数的值。其主要步骤是“先定型，再定量”；cba, 定义法：由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。 6共焦点的椭圆标准方程形式上的差异 共焦点，则 c 相同。与椭圆共焦点的椭圆方程可设为1 2 2 2 2 b y a x )0( ba1 2 2 2 2 mb y ma x ，此类问题常用待定系数法求解。)( 2 bm 7判断曲线关于轴、轴、原点对称的依据： xy 若把曲线方程中的换成，方程不变，则曲线关于轴对称；xxy 若把曲线方程中的换成，方程不变，则曲线关于轴对称；yyx 若把曲线方程中的、同时换成、，方程不变，则曲线关于原点对称。xyxy 8如
10、何求解与焦点三角形PF1F2（P 为椭圆上的点）有关的计算问题？ 思路分析 ： 与焦点三角形PF1F2有关的计算问题时，常考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、 三角形面积公式相结合的方法进行计算解题。 2121 sin 2 1 21 PFFPFPFS FPF 将有关线段，有关角 ()结合起来，建立、 2121 FFPFPF、 21PF F 21PF F 21BF F 21 PFPF 之间的关系. 21 PFPF 9如何计算椭圆的扁圆程度与离心率的关系？ 5 长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化。离心率，因为，) 10(e a c e 222 bac0 ca 用表示为。ba、) 10(
11、)(1 2 e a b e 显然：当越小时，越大，椭圆形状越扁；当越大，越小，椭圆形状越趋近 a b ) 10( ee a b ) 10( ee 于圆。 （一）椭圆及其性 质 1、椭圆的定义 （1）平面内与两个定点 F1，F2的距离的和等于常数（大于|F1 F2|）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫 椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。 （2） 一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个内常数， 那么这个点的轨迹叫做椭) 1 , 0(e 圆 其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数就是离心率e 2、椭圆的标准方程 3、椭圆的参数方程)( sin cos 为参数 by ax 4、离心率
12、: 椭圆焦距与长轴长之比 a c e 2 )(1 a b e10 e 椭圆的准线方程 左准线 右准线 c a xl 2 1: c a xl 2 2 : （二） 、椭圆的焦半径椭圆的焦半径公式： （左焦半径） （右焦半径） 其中是离心率 01 exar 02 exare 焦点在 y 轴上的椭圆的焦半径公式： （ 其中分别是椭圆的下上焦点） 02 01 eyaMF eyaMF 21,F F （三） 、直线与椭圆问题（韦达定理的运用）1、弦长公式： 若直线与圆锥曲线相交与、两点，则bkxyl:AB),(), 2211 yxByxA（ 弦长 2 21 2 21 )()(yyxxAB 2 21 2 21
13、 )()(kxkxxx 21 2 1xxk 21 2 21 2 4)(1xxxxk 例 1. 已知椭圆及直线 yxm。（1）当直线和椭圆有公共点时，求实数 m 的取值范围； （2）求被椭圆截得的最长弦所在的直线的方程。 6 2、已知弦AB的中点，研究AB的斜率和方程AB是椭圆1(ab0)的一条弦，中点M坐标为(x0，y0)， x2 a2 y2 b2 则AB的斜率为.运用点差法求AB的斜率，设A(x1，y1)， b2x0 a2y0 B(x2，y2)A、B都在椭圆上，Error!两式相减得 0，0， x1 2x2 2 a2 y1 2y2 2 b2 x1x2x1x2 a2 y1y2y1y2 b2 即
14、.故kAB. y1y2 x1x2 b2x1x2 a2y1y2 b2x0 a2y0 b2x0 a2y0 例、过椭圆内一点引一条弦，使弦被点平分，求这条弦所在直线的方程。1 416 22 yx ) 1 , 2(MM （四） 、（四） 、四种题型与三种方法四种题型与三种方法四种题型四种题型 1：已知椭圆：已知椭圆 C： 内有一点内有一点 A（2，1） ，） ，F 是椭圆是椭圆 C 的左焦点，的左焦点，P 为椭圆为椭圆 C 上的上的1 1625 22 yx 动点，求动点，求PA+ PF的最小值。的最小值。 3 5 2： 已知椭圆内有一点A（2，1），F为椭圆的左焦点，P是椭圆上动点，求PA+PF|的1
15、 1625 22 yx 最大值与最小值。 3：已知椭圆外一点A（5，6），l为椭圆的左准线，P为椭圆上动点，点P到l的距离为d，1 1625 22 yx 求|PA|+的最小值。d 5 3 4：定长为d()的线段 AB 的两个端点分别在椭圆上移动，求 AB 的中点 M a b d 2 2 )0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 到椭圆右准线 的最短距离。 三种方法 1：椭圆的切线与两坐标轴分别交于 A,B 两点， 求三角形 OAB 的最小面积 。 22 22 1 xy ab 7 2：已知椭圆 和直线 l:x-y+9=0 ，在 l 上取一点 M ，经过点 M 且以椭圆的焦 22 1 12
16、3 xy 点为焦点作椭圆，求 M 在何处时所作椭圆的长轴最短，并求此椭圆方程 。 12 ,F F 3：过椭圆的焦点的直线交椭圆 A,B 两点 ，求面积的最大值 。 22 22xyAOB 课后同步练习课后同步练习 1.椭圆的焦点坐标是 , 离心率是_，准线方程是_.1 16925 22 yx 2.已知 F1、F2是椭圆的两个焦点，过 F1的直线与椭圆交于 M、N 两点，则MNF2的周长为1 916 22 yx ( )A8 B16 C25 D32 3.椭圆上一点P到一个焦点的距离为 5，则P到另一个焦点的距离为（ ）1 925 22 yx A.5 B.6 C.4 D.10 4.已知椭圆方程为,那么它的焦距是 （ ） 1 1120 22
