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1、1,第五节 平面及其方程,平面的点法式方程,平面的一般方程,两平面的夹角,小结 思考题 作业,(plane),点到平面的距离,第七章 空间解析几何与向量代数,2,在空间内,确定一个平面的几何条件,是多种多样的.,如:,点法确定、,相交两直线确定等.,不共线的三点确定、,3,如果一非零向量垂直于,法线向量的特征：,垂直于平面内的任一向量.,已知,设平面上的任一点为,必有,一、平面的点法式方程,一块平面可以有许多法向量.,一平面,这向量就叫做该平面,的,法线向量,(法向量).,5,解,取,平面方程为,化简得,平面的点法式方程,例,平面方程.,法一,6,平面方程.,解,所求方程的三点式为,平面方程为
2、,法二,7,平面的点法式方程,平面的一般方程,法向量,二、平面的一般方程,任意一个形如上式,的x、y、z的三元一次,方程都是平面方程.,8,平面一般方程的几种特殊情况,平面通过坐标原点；,平面通过 轴；,平面平行于 轴；,平面平行于xOy 坐标面；,类似地可讨论,类似地可讨论,轴,轴,xOz面,yOz面,(由柱面可知),平面的一般方程,9,设平面为,将三点坐标代入得,解,例,设平面与x, y, z 三轴分别交于,求此平面方程.,平面的截距式方程,10,今后,由截距式方程作平面的图形特别方便!,当平面不与任何坐标面平行,且不过原点时,才有截距式方程.,并作图.,?,化为截距式方程,平面的截距式方
3、程,11,设平面过点 及x轴,求其方程.,用平面的点法式方程.,由点法式方程得平面方程:,求法向量,练习,解,法一,即,12,用待定常数法.,设平面过点 及x轴, 求其方程.,即,法二,设平面方程是,从而平面方程是,即,从而平面方程是,得,点(0,0,0)及(1,0,0)在平面上,练习,13,易知平面上三点 O(0,0,0), P(1,0,0),设M(x,y,z)为平面上的任意一点,可得其方程,答 :有!,法三,设平面过点 及x轴, 求其方程.,练习,根据三向量,共面的充要条件,有,即,14,求平面方程常用两种方法:,利用条件定出其中的待定的常数, 此方法也称待定常数法.,主要是利用条件用向量
4、代数的方法找出平面的一个法向量.,(1) 用平面的点法式方程.,(2) 用平面的一般方程.,15,定义,（通常取锐角）,两平面法向量的夹角称为,三、两平面的夹角,两平面的夹角.,16,按照两向量夹角余弦公式有,两平面夹角余弦公式,两平面位置特征：,/,两平面垂直、平行的充要条件,取锐角,17,例 研究以下各组里两平面的位置关系:,解,两平面相交,夹角,18,两平面平行但不重合.,两平面平行,两平面重合,解,解,两平面平行,19,例,解,所求方程的三点式为,三点的平面方程为,设两平面的交角为,则,20,设平面为,所求平面方程为,解,例,1996考研数学(一), 3分,与平面,垂直且过原点及点,的
5、平面方程为( ).,21,与平面,垂直且过原点及点,的平面方程为( ).,解,平面的点法式方程,1996考研数学(一), 3分,22,设所求平面为,由所求平面与已知平面平行得,(向量平行的充要条件),解,例,所围成的四面体体积为一个单位的平面方程.,求平行于平面,而与三个坐标面,23,代入体积式,所求平面方程为,所围成的四面体体积为一个单位的平面方程.,求平行于平面,而与三个坐标面,24,取法向量,化简得,平面方程为,解,.,例,求过点(1,1,1)且与平面,和平面,都垂直的平面方程.,25,点到平面的垂直距离,外一点,四、点到平面的距离,并作向量,即,由于,26,的距离公式为,27,点到平面
6、距离公式,填空,解,28,解,例,求这平面方程.,设所求平面为,在已知平面,上任取一点,或,故所求平面为,或,29,1 . 两平行平面 与 间距离为( ),其 的方程分别为:,(A) 1,(B),(C) 2,(D) 21,A,选择题,提示,30,2.已知平面通过点(k, k, 0)与(2k, 2k, 0),其中k0,且垂直于xOy平面,则该平面的一般式方程 Ax + By + Cz + D = 0的系数必满足( ).,a,解答,分别得,31,(熟记平面的几种特殊位置,两平面的夹角,点到平面的距离公式,平面的点法式方程,(两平面垂直、平行的充要条件),四、小结,(关键确定平面的法向量),平面的一般方程,的方程),平面的截距式方程,(研究几何图形),32,思考题1,如何确定平面的法向量?,解答,确定平面的法向量是建立平面方程的关键,所在,平面法向量的确定要根据不同的条件采用,不同的方法:,(1),如果已知点M0(x0, y0, z0)在平面 上的垂足,为M1(x1, y1, z1),则,(2),如果平面 与已知平面,平行,则,(3),如果平面 过三点 A, B, C,则,33,思考题2 (是非题),非,平面,在x、y、z 轴的截距,分别是a 、b、c.,因为这是一过原点的平面.,34,作业,习题7-5(329页),1. 5. 8. 9.,
