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1、专训 2根与系数的关系的四种应用类型 名师点金： 利用一元二次方程的根与系数的关系可以不解方程，仅通过系数就反映出 方程两根的特征在实数范围内运用一元二次方程的根与系数的关系时，必须注意0 这个前提，而应用判别式 的前提是二次项系数不为0. 因此，解题时要注意分析题目中有 没有隐含条件0和 a0. 利用根与系数的关系求代数式的值 1设方程4x 27x30 的两根为 x 1， x2，不解方程求下列各式的值 (1)(x13)(x23)；(2) x2 x11 x1 x21；(3)x 1x2. 利用根与系数的关系构造一元二次方程 2构造一个一元二次方程，使它的两根分别是方程5x22x30 各根的负倒数
2、 利用根与系数的关系求字母的值或取值范围 3【 2015 潜江】已知关于x 的一元二次方程x24xm0. (1)若方程有实数根，求实数m 的取值范围； (2)若方程两实数根分别为x1，x2，且满足5x12x22，求实数m 的值 巧用根与系数的关系确定字母系数的存在性 4已知 x1，x2是关于 x的一元二次方程4kx24kxk 10 的两个实数根，是否存在 实数 k，使 (2x1x2)(x1 2x2) 3 2 成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由 答案 1解： 根据一元二次方程根与系数的关系，有 x1x2 7 4， x 1x2 3 4. (1)(x13)(x23)x1x23(x1x2
3、) 9 3 43 7 493. (2) x2 x11 x1 x21 x2（x21） x1（x11） （x21）（ x11） x12x22x1x2 x1x2x1x21 （x1x2） 2 2x 1x2（ x1x2） x1x2（ x1x2） 1 7 4 2 2 3 4 7 4 3 4 7 41 101 32 . (3)(x1x2)2(x1x2)24x1x2 7 4 2 4 3 4 97 16， x1x2 97 16 1 4 97. 2解： 设方程 5x22x30 的两根为 x1，x2， 则 x1x2 2 5，x 1x2 3 5. 设所求方程为y2pyq0，其两根为y1， y2， 令 y1 1 x1，
4、y 2 1 x2. p (y1y2) 1 x1 1 x2 1 x1 1 x2 x1x2 x1x2 2 3， qy1y2 1 x1 1 x2 1 x1x2 5 3. 所求的方程为y2 2 3y 5 30，即 3y 22y50. 3解： (1)方程 x24xm0 有实数根， b24ac(4)2 4m0， m4. (2)方程 x24xm0 的两实数根为 x1，x2， x1x24， 又 5x12x22， 联立解方程组得 x1 2， x2 6. mx1x2 26 12. 4解： 不存在理由如下： 一元二次方程4kx 24kxk10 有两个实数根， k0，且 (4k) 244k(k1) 16k0， k0. x1，x2是方程 4kx24kxk10 的两个实数根， x1x21，x1x2k1 4k . (2x1x2)(x12x2)2(x1x2)2 9x1x2 k9 4k . 又 (2x1x2)(x12x2) 3 2， k 9 4k 3 2 ， k 9 5. 经检验， k 9 5是方程 k9 4k 3 2的解 又 k0，不存在实数k，使 (2x1x2)(x12x2) 3 2成立
