工具变量方法原理[文]

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1、1 工具变量原理 教学目的及要求： 1、理解引入随机解释变量的目的及产生的影响 2、理解估计量的渐进无偏性和一致性 3、掌握随机解释变量OLS的估计特性 4、应用工具变量法解决随机解释变量问题 第一节随机解释变量问题 一、随机解释变量问题产生的原因 多元（k）线性回归模型： ikikiii UXXXY 22110 （ 8-1） 其矩阵形式为： UXBY （ 8-2 ） 在多元（ k）线性回归模型中，我们曾经假定，解释变量 j X是非随机的。如果 j X是随机的， 则与随机扰动项 i U不相关。即： Cov iij UX ,0),2, 1;,2, 1(nikj（8-3 ） 许多经济现象中，这种假

2、定是不符合实际的，因为许多经济变量是不能用控制的方法进行观测 的，所以作为模型中的解释变量其取值就不可能在重复抽样中得到相同和确定的数值，其取值很难 精确控制，也不易用实验方法进行精确观测，解释变量成为随机变量。又由于随机项 U包含了模型 中略去的解释变量，而略去的解释变量往往是同模型中相关的变量，因而就很有可能在X是随机变 量的情况下与随机项U相关，这样原有的古典假设就不能满足，产生随机解释变量。 在联立方程模型以及模型中包含有滞后内生变量等情况下，如果扰动项是序列相关的，那么均 有扰动项和解释变量之间的相关性的出现，模型就存在随机解释变量问题。 例如，固定资产投资与国民收入的关系满足如下模

3、型： 2 tttt uIYI 1210 其中， t I为t期的固定资产投资， 1t I为1t期的固定资产投资， t Y为t期的国民收入， 因为 1t I 是随机变量，故模型中存在随机解释变量。 再如，消费与收入之间的影响关系模型为 tttt uCYC 1210 其中， tC 为t期的消费支出， 1tC 为1t期的消费支出， tY是t期的收入，因为1tC 是随机变 量，故模型中存在随机解释变量。 二、随机解释变量问题的后果 模型中，在解释变量为随机变量并且与扰动项相关的情况下，应用普通最小二乘法估计参数可 能会出现估计的不一致性，使得估计值产生很大的偏误，造成拟合优度检验的全面失准，F检验失 效

4、，t检验失去意义。 在这种情况下，各种统计检验得到的是虚假的结果，不能作为判别估计式优劣 的依据。 随机解释变量带来何种结果取决于它与随机误差项是否相关： 1）随机解释变量与随机误差项不相关 2）随机解释变量与随机误差项在小样本下相关，在大样本下渐进无关 3）随机解释变量与随机误差项高度相关 4）滞后被解释变量与随机误差项相关 第二节随机解释变量模型的估计特性 我们讨论的估计量的性质（包括无偏性、最小方差性）都是在样本容量一定的情况下的统计性 质，在数理统计上叫做小样本性质。在某些情况下，小样本时的估计量不具有某种统计性质，但是 随着样本容量的增大，一个估计量在小样本时不具有的性质，大样本时就

5、逐渐具有这种统计性质了， 这种性质我们叫做大样本性质或叫做估计量的渐近统计性质。常用的渐近统计性质有渐近无偏性和 一致性。 3 一、估计量的渐近无偏性 记 )( ? n 代表模型中参数的估计量， 其上标n表示样本容量。一般来说，n取如下的样本容量， k nnn 21 ， )( ? n 为一随机变量。随着样本容量n的增大，估计量 )( ? n 构成一个估计量 （随机 变量）序列： )( ? n )( 1 ? n ， )( 2 ? n ， )( ? kn ， （8-4 ） 所谓渐近理论就是讨论当n变得很大时，以上这些序列会有怎样的结果。 序列 )( ? n 如果满足： E n lim（ )( ?

6、n ） (8-5) 则称 )( ? n 为的渐近无偏估计。也就是说，当样本容量越来越大，n趋于时， )( ? n 的均值越 来越接近参数的真值。 这里需要注意的是，有些估计量在小样本下是有偏的，但在大样本下是无偏的，即是渐近无偏 的。例如随机变量的样本方差 2 1 2 )( 1 n i ix XX n S 容易证明（在数理统计中已有证明） ) 1 1()( 22 n SE x 其中， 2 为总体方差。很明显，在小样本下， 2 x S作为 2 的估计量是有偏的，但随着n的无限 增大，)( 2 x SE 趋于总体的真正方差 2 ，因此是渐近无偏的。可见，通过增加样本容量，可以改善参 数估计的精度。

7、 二、估计量的一致性 如果随着样本容量的增大，估计量 )( ? n 几乎处处趋近于真值，我们说 )( ? n 为的一致估计量， 或称 )( ? n 依概率收敛于。如果样本容量无限增大时， )( ? n 的分布收敛于， )( ? n 的方差趋于零， )( ? n 就是的一致估计量。 一致估计量可以记为：1 ? lim )(n n P或简记为 )( ? lim n n P。式中 n Plim表示概率极限。 4 为简单起见，可略去上标n，记作 ? limP 概率极限有下列运算法则： )Xlim()Xlim(cPcPc为常数 22112211 XlimXlim)XXlim(PcPcccP 21,c c

8、为常数 )Xlim()Xlim()XXlim( 2121 PPP 0)Xlim(, )Xlim( )Xlim( ) X X lim( 2 2 1 2 1 P P P P 1 1 )Xlim()Xlim(PP 这里需要弄清楚一点是，无偏性与一致性是两个截然不同的概念，无偏性可以对任何样本容量 成立，而一致性则是对大样本而言的，是一种渐近性质。在大样本的条件下，一致估计量具有很高 的精度，但在小样本时一致性不起作用。 可以证明， )( ? n 为的一致估计量，当且仅当 ) ? (lim )(n n E0) ? var(lim )(n n （8-6 ） 时成立。此充分必要条件说明， ?是渐近无偏的，

9、且当样本容量无限增大时?的方差趋于零。 上面的讨论是对随机变量而言的，对于随机向量同样有类似的结论。 三、随机解释变量模型OLS估计特性 计量经济模型中一旦出现了随机解释变量，如果仍用最小二乘法估计模型参数，不同性质的随 机解释变量会出现不同的结果。 为了简单起见，我们用一元线性回归模型进行说明。给定一元线性回归模型： iii UXY 10 ),.,2, 1(ni（8-7 ） 假设为一随机变量，模型满足其他古典假设条件。 对式（ 8-7 ） ，其离差形式为： iii uxy 1 （8-8 ） 其中，YYy ii ，XXxii ，UUu ii 应用普通最小二乘法，则有 5 2 1 ? i ii

10、x yx （8-9 ） 把 (8-8) 中的 i y代入（ 8-9） ，则可以得到 2 1 2 1 2 1 )( ? i ii i iii i ii x ux x uxx x yx （8-10 ） 而 1122 2222 ()() iinn iiii x ux u x ux u EE xxxx )()()()()()( 2 2 2 2 1 2 1 n i n ii uE x x EuE x x EuE x x E（8-11 ） 下面分三种情况讨论： 1 和U是独立的 2 11) ? ( i ii x ux EE 因 i x和 i u相互独立，并且0)( i uE 0)( 2 i ii x ux

11、 E 故有) ? (E 2 i x与 i u小样本下相关，大样本下渐近无关 小样本：0)( iiuxE 所以 11) ? (E，最小二乘法估计是有偏的。 大样本：0) 1 (lim ii n ux n P 对式（ 8-10 ）两边取概率极限可有 2 11 lim) ? lim( i ii x ux PP 1 2 1 lim 1 ii i x u n P x n （8-12 ） 因此，在假定0) 1 (lim 2 i x n P的情况下，有 6 ) ? lim(P （8-13） 说明最小二乘估计式也具有一致性特性。 3 i x与 i u高度相关 0) 1 (lim ii n ux n P 讨论一

12、般情况下回归模型（8-8 ）式 iiiuxy1),.2, 1(ni （ 8-14 ） 假设： 2 )( xi xVar， 2 )( ui uVar， i x和 i u之间的相关系数是，如果采用普通最小二乘 法估计上式，可以得到： 2 11 lim) ? lim( i ii x ux PP 2 1 1 lim 1 lim i ii x n P ux n P )( ),( xVar uxCov u x （8-15 ） 因为： 22 ()() cov( , ) ()() iiii xu ii XXUUxu x u XXUU 代入上式即可。 可见，如果很高，只有当 x u 是很小的情况下， （8-15

13、 ）式的渐近误差才是可以忽略的。否 则，最小二乘估计式将存在着很大的偏误。 第三节随机解释变量模型的处理 如果模型中存在随机解释变量问题，则一般的随机解释变量与随机误差项之间是相关的，最小 二乘估计量有偏且不一致，需要利用其他估计方法对模型参数进行估计。 一、工具变量法 工具变量（ Instrument Variable, IV）法就是当随机解释变量与随机误差项相关时，寻找一个 与随机解释变量高度相关，但与随机误差项不相关的变量，用该变量替代模型中的随机解释变量， 进行模型的参数估计。我们称这一替代随机解释变量的变量为工具变量。 7 （一）选择工具变量的要求 作为工具变量，必须满足以下四个条件

14、： 第一，工具变量必须是有明确经济含义的外生变量； 第二，工具变量与其替代的随机解释变量高度相关，而又与随机误差项不相关； 第三，工具变量与模型中的其他解释变量也不相关，以免出现多重共线性； 第四，模型中的多个工具变量之间不相关。 （二）工具变量的应用 工具变量对随机解释变量的替代并不是“完全的”替代，即不是用工具变量代换模型中对应的 随机解释变量，而是在最小二乘法的正规方程组中用工具变量对随机解释变量进行部分替代。 对于一元线性回归模型（8-7 ）和（ 8-8 ） iii uxy 1 若x与u不相关，u满足所有的统计假定。应用OLS法，利用微分求极值的办法求出正规方程： 2 1 01 iii

15、 ii x yx YX （8-16） 现采用另一种方法来导出OLS正规方程。我们以 i x（), 2, 1ni同乘以 1iii yxu两边， 得n个式子，求和得： 2 1iii x yx + ii x u （8-17 ） 因为x与u不相关，从而可以略去0 ii xu，就可以得OLS正规方程。 如果x与u相关，则0 ii xu ，不能用 OLS法来估计参数。 现在，我们要寻找一个变量Z，Z 与X高度相关而与U无关，用 i z的离差乘以 1iii yxu的两边，然后求和得到一个类似于OLS 正规方程的方程。在这里，Z就是工具变量。 1iiii z yz x iiu z（8-18 ） 由于z与u无关

16、，所以 0 1 lim 1 n i ii n uz n P 得： 8 1iiii z yz x （8-19 ） 上式称为拟正规方程，从而求得 1 01 ()(YY) ? ()(XX) ? YX iiii iiii z yZZ z xZZ（8-20） 因此， 工具变量法的基本原理在于：用工具变量代替随机解释变量X，从而利用cov(,)0Z U 克服cov(X,)0U产生的对模型参数估计的不利影响，形成有效正规方程组并最终获得模型参数的 估计量。从这一原理理解，OLS 法也可以看作是一种工具变量法，即利用模型中的各解释变量作为 他们自身的工具变量。 容易证明，参数工具变量估计量是有偏的、一致的估计量。 在实际经济分析中，对于工具变量的选择，一般的做法是： 对于时间序列资料，如果被解释变量 i Y、随机解释变量 i X、随机误差项 i u三者之间的关系有 0),Xcov( ii u，但0),Xcov( 1ii u，0),Ycov( 1ii u，则可用 1 Xi 或 1 Yi 作