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1、1 初中数学几何模型初中数学几何模型 中点模型中点模型 【模型【模型 1】倍长】倍长 1、倍长中线；、倍长中线；2、倍长类中线；、倍长类中线；3、中点遇平行延长相交、中点遇平行延长相交 E D A B C F D A B C E 【模型【模型 2】遇多个中点，构造中位线】遇多个中点，构造中位线 1、直接连接中点；、直接连接中点；2、连对角线取中点再相连、连对角线取中点再相连 【例【例 1】在菱形 ABCD 和正三角形 BEF 中，ABC=60，G 是 DF 的中点，连接 GC、GE （1）如图 1，当点 E 在 BC 边上时，若 AB=10，BF=4，求 GE 的长； （2）如图 2，当点 F
2、 在 AB 的延长线上时，线段 GC、GE 有怎样的关系，写出你的猜想；并给予证明； （3）如图 3，当点 F 在 CB 的延长线上时，(2)问中关系还成立吗？写出你的猜想，并给予证明. 图 3图 2图 1 G F D C G F D C G F D C AB E E BA E BA 【例【例 2】如图，在菱形 ABCD 中，点 E、F 分别是 BC、CD 上一点，连接 DE、EF，且 AE=AF， BAFDAE (1)求证：CE=CF； (2)若，点 G 是线段 AF 的中点，连接 DG，EG求证：DG 上 GE120ABC 【例【例 3】如图，在四边形 ABCD 中，AB=CD，E、F 分
3、别为 BC、AD 中点，BA 交 EF 延长线于 G，CD 交 EF 于 H求证：BGE=CHE 2 E AB C O D E AB C O D B O A C H G E F A B D C 角平分线模型角平分线模型 【模型【模型 1】构造轴对称【模型】构造轴对称【模型 2】角平分线遇平行构造等腰三角形】角平分线遇平行构造等腰三角形 【例【例 4】如图，平行四边形 ABCD 中，AE 平分BAD 交 BC 边于 E，EFAE 交 CD 边于 F，交 AD 边于 H，延长 BA 到点 G，使 AG=CF，连接 GF若 BC=7，DF=3，EH=3AE，则 GF 的长为. H G F E A D
4、 B C 手拉手模型手拉手模型 【条件】【条件】OAOBOCODAOBCOD ， 【结论】【结论】OACOBD；AEBOABCOD （即都是旋转角）；OEAED平分； - 【例【例 5】如图，正方形 ABCD 的边长为 6，点 O 是对角线 AC、BD 的交点，点 E 在 CD 上，且 DE=2CE， 过点 C 作 CFBE，垂足为 F，连接 OF，则 OF 的长为. 3 C D A B E F E C D B A F E B D A C F E G CD AB G F E CD BA 【例【例 6】如图，中，AB=AC，ADBC 于点 D，点 E 在 AC 边上，连结 BE，AGBEABC9
5、0BAC 于 F，交 BC 于点 G，求DFG G F D CB A E 【例【例 7】如图，在边长为的正方形 ABCD 中，E 是 AB 边上一点，G 是 AD 延长线上一点，BEDG，6 2 连接 EG，CFEG 于点 H，交 AD 于点 F，连接 CE、BH。若 BH8，则 FG 18图 图 H G F E D C B A 16图 图 O C B A 邻边相等对角互补模型邻边相等对角互补模型 【模型【模型 1】 【条件】如图，四边形 ABCD 中，AB=AD，180BADBCDABCADC 【结论】AC 平分BCD E B D A C 【模型【模型 2】 【条件】如图，四边形 ABCD
6、中，AB=AD，90BADBCD 【结论】452ACBACDBCCDAC 【例【例 8】如图，矩形 ABCD 中，AB=6，AD=5，G 为 CD 中点，DE=DG，FGBE 于 F，则 DF 为. 第第 8 题题 第第 9 题题 第第 10 题题 【例【例 9】如图，正方形 ABCD 的边长为 3，延长 CB 至点 M，使 BM=1，连接 AM，过点 B 作，BNAM O N DC A B M 4 F E B C DA H N M E F BC AD F E D B A C 垂足为 N，O 是对角线 AC、BD 的交点，连接 ON，则 ON 的长为 . 【例【例 10】如图，正方形 ABCD
7、 的面积为 64，是等边三角形，F 是 CE 的中点，AE、BF 交于点 G，BCE 则 DG 的长为 . 半角模型半角模型 【模型【模型 1】 【条件】如图，四边形 ABCD 中，AB=AD， ， 180BADBCDABCADC 【结论】 1 2 EAFBADEBCFCD，点 在直线上, 点 在直线上 BEDFEF、满足截长补短关系 【模型【模型 2】 【条件】在正方形 ABCD 中，已知 E、F 分别是边 BC、CD 上的点，且满足EAF=45，AE、AF 分别与 对角线 BD 交于点 M、N. 【结论】 (1) BE+DF=EF；(2) SABE+SADF=SAEF；(3) AH=AB；
8、(4) CECF=2AB； (5) BM2+DN2=MN2； (6) ANMDNFBEMAEFBNADAM； (由 AO：AH=AO：AB=1：可得到ANM 和AEF 的相似比为 1：)；22 (7) SAMN=S四边形 MNFE；(8) AOMADF，AONABE； (9) AEN 为等腰直角三角形，AEN=45；AFM 为等腰直角三角形，AFM=45. (1. EAF=45；2.AE：AN=1：)；2 (10)A、M、F、D 四点共圆，A、B、E、N 四点共圆，M、N、F、C、E 五点共圆. 【模型【模型 2 变型】变型】 【条件】 在正方形ABCD中， 已知E、 F分别是边CB、 DC延
9、长线上的点， 且满足EAF=45【结论】 BE+EF=DF 5 F E B C D A H G F C B D A E 【模型【模型 2 变型】变型】 【条件】 在正方形ABCD中， 已知E、 F分别是边CB、 DC延长线上的点， 且满足EAF=45【结论】 DF+EF=BE 【例【例 11】如图，和是两个全等的等腰直角三角形，的顶ABCDEF90EDFBACDEF 点 E 与的斜边 BC 的中点重合将绕点 E 旋转，旋转过程中，线段 DE 与线段 AB 相交于点ABCDEF P，射线 EF 与线段 AB 相交于点 G，与射线 CA 相交于点 Q若 AQ=12，BP=3，则 PG=. 来源:学
10、科网 【例【例 12】如图，在菱形 ABCD 中，AB=BD，点 E、F 分别在 AB、AD 上，且 AE=DF.连接 BF 与 DE 交于 点 G，连接 CG 与 BD 交于点 H，若 CG=1，则. BCDG S 四边形 一线三等角模型一线三等角模型【条件】【结论】EDFBCDEDF ，且BDECFD E F BC A D 【例【例 13】如图，正方形 ABCD 中，点 E、F、G 分别为 AB、BC、CD 边上的点，EB=3，GC=4，连接 EF、 FG、GE 恰好构成一个等边三角形，则正方形的边长为 . E DA CB F G 最短路径模型最短路径模型【两点之间线段最短】【两点之间线段
11、最短】 1、将军饮马、将军饮马 6 H G F B C A D E P Q A C D A B C B P P P B A B P A B PQ A B 2、费马点【垂线段最短】、费马点【垂线段最短】 C A b P P A B 【两边之差小于第三边】【两边之差小于第三边】 【例【例 16】如图，矩形ABCD是一个长为 1000 米，宽为 600 米的货场，A、D是入口现拟在货场内建一 个收费站P，在铁路线BC段上建一个发货站台H，设铺设公路AP、DP以及PH之长度和为l求l的 最小值 600m 1000m H P D CB A B E A BC D F 【例【例 17】如图，E、F 是正方形
12、 ABCD 的边 AD 上两个动点，满足 AE=DF，连接 CF 交 BD 于 G，连接 BE 交 AG 于点 H，若正方形的边长为 2，则线段 DH 长度的最小值是. 【例【例 18】如图所示，在矩形 ABCD 中，E 是线段 AB 的中点，F 是线段 BC 上的动点，4,4 2ABAD 沿直线 EF 翻折到，连接，最短为 .BEFB EFDBDB 三垂直模型三垂直模型 7 8 图 3图 2图 1 A E B F C DA E B F C G D A E BF C G D 课后练习题课后练习题 【练习【练习 1】 问题 1： 如图 1，在等腰梯形 ABCD 中，ADBC，AB=BC=CD，点
13、 M，N 分别在 AD，CD 上，MBN= 1 2 ABC，试探究线段 MN，AM，CN 有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想； 问题 2：如图 2，在四边形 ABCD 中，AB=BC，ABC+ADC=180，点 M，N 分别在 DA，CD 的延长线 上，若MBN=ABC 仍然成立，请你进一步探究线段 MN，AM，CN 又有怎样的数量关系？写出你的 1 2 猜想，并给予证明. 【练习【练习 2】已知：如图 1，正方形 ABCD 中，E 为对角线 BD 上一点，过 E 点作 EFBD 交 BC 于 F，连接 DF，G 为 DF 中点，连接 EG，CG 求证：EG=CG 且 EGCG； 将图 1 中BEF 绕 B 点逆时针旋转 45，如图 2 所示，取 DF 中点 G，连接 EG，CG问中的结论是否 仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由 将图 1 中BEF 绕 B 点旋转任意角度，如图 3 所示，再连接相应的线段，问(1)中的结论是否仍然成立？
