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1、4 如图,抛物线 yx24x3 与 x 轴交于 A、B 两点(A 在 B 的左边) ,与 y 轴交于点D在抛物线上是否存在一点 P,使得BDP 是直角三角形?若存在,请求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由 4 (1)由 yx24x3(x1)(x3),得 D(0,3),A(1, 0),B(3, 0) 所以 OBOD3,BD 与坐标轴的夹角为 45 设点 P 的坐标为(x, x24x3) 直角三角形 BDP 分三种情况讨论: 如图 1,当PBD90时,PBO45,所以 PHBH 解方程x24x33x,得 x2,或 x3(与 B 重合,舍去) 此时 P(2, 1) 如图 2,当PBD90时,PD
2、M45,所以 PMDM 解方程 x3(x24x3),得 x5,或 x0(与 D 重合,舍去) 此时 P(5,8) 如图 3,当BPD90时,PEBDFP,所以PEDFBEPF 解方程22(43)34xxxxxx,整理,得 x25x50解得552x 此时 P5551(,)22,或5551(,)22 第 4 题图 1 第 4 题图 2 第 4 题图 3 10.(2014 年福建省南安市中考模拟第 25 题) 如图, 在平面直角坐标系中, 矩形 OABC 的两边 OA、 OC 分别在 x 轴、 y 轴的正半轴上,OA4,OC2点 P 从点 O 出发,沿 x 轴以每秒 1 个单位长的速度向点 A 匀速
3、运动,当点 P 到达点 A 时停止运动, 设点 P 运动的时间是 t 秒 将线段 CP 的中点绕点 P 按顺时针方向旋转 90得点 D,点 D 随点 P 的运动而运动,连接 DP、DA (1)请用含 t 的代数式表示出点 D 的坐标; (2)求 t 为何值时,DPA 的面积最大,最大为多少? (3) 在点 P 从 O 向 A 运动的过程中, DPA 能否成为直角三角形?若能, 求 t 的值 若不能,请说明理由 (1)如图 1,过点 D 作 DEx 轴,垂足为 E 由COPPED,得2COOPPCPEEDDP 所以112PECO,1122EDOPt所以点 D 的坐标表示为1(1,)2tt (2)
4、SDPA2211111(4)(2)122244PA DEttttt 所以当 t2 时,DPA 的面积最大,最大值为 1此时 P 是 OA 的中点 (3)由于CPD90,所以DPA 不可能等于 90,直角三角形 DPA 存在两种可能: 如图 2,当DAP90时,点 D 落在 AB 上,E 与 A 重合, 此时2COPCPADP所以224t解得 t3 如图 3,当PDA90时,CP/DA,23 又因为2 与1 互余,所以3 与1 互余因此1345 此时DPA 和COP 都是等腰直角三角形,所以 OPOC3因此 t2 综上所述,经过 2 秒或 3 秒时,DPA 是直角三角形 第 10 题图 1 第
5、10 题图 2 第 10 题图 3 9(2014 年北京市海淀区中考模拟第 25 题) 对于平面直角坐标系 xOy 中的点 P(a, b),点 P的坐标为(,)bakabk(其中 k 为常数,且 k0),则称点 P为点 P 的“k 属派生点” 例如:P(1, 4)的“2 属派生点”为 P(412, 214),即 P(3, 6) (1)点 P(-1, -2)的“2 属派生点”P的坐标为_; 若点 P 的“k 属派生点” P的坐标为(3, 3),请写出一个符合条件的点 P 的坐标_; (2)若点 P 在 x 轴的正半轴上,点 P 的“k 属派生点”为 P点,且OPP为等腰直角三角形,则 k 的值为
6、_; (3)如图,点 Q 的坐标为(0, 4 3),点 A 在函数4 3yx (x0)的图像上,且点 A是点 B 的“3属派生点”,当线段 BQ 最短时,求点 B 的坐标 9(1)P的坐标为(2, 4) 点 P的坐标为(,)bakabk,它的几何意义是点 P在直线 ykx 上 当点 P的坐标为(3, 3)时,k1,因此 ab3 所以符合条件的点 P(a, b)有无数个,只要满足 ab3 就行,例如(1, 2)、(1, 4)等 (2) 如图 1, 如果OPP为等腰直角三角形, 不论OP P90还是O PP90, 点 P都在直线 yx 或直线 yx 上所以 k1 如图 2,当POP90时,P在 y
7、 轴上,此时 k0,不合题意 第 9 题图 1 第 9 题图 2 第 9 题图 3 (3)因为点 A 是点 B 的“3属派生点”,所以3k ,点 A 在直线3yx 上 联立方程3yx 和4 3yx ,解得点 A 的坐标为( 2,2 3) 设点 B 的坐标为(a, b),因为3k ,所以32 3ab 所以32 3ba,它的几何意义是点 B 在直线32 3yx上(如图 3) 设这条直线与 y 轴交于点 M,那么 M(0,2 3),且直线与 y 轴的夹角为 60 过点 Q 向这条直线作垂线,垂足就是符合条件的点 B 作 BHy 轴于 H 在 RtQBM 中,QMB30,2 3QM ,所以 BM3 在
8、 RtHBM 中,1322BHBM,3 332MHBH 所以点 B 的坐标为3 7 3( ,)22 9 (2014 年温州市市直五校协作体中考模拟第 24 题) 如图 1,在平面直角坐标系中,直线 AB 与 x 轴,y 轴分别交于点 A(4, 0),B(0, 3),点 C的坐标为(0, m), 过点 C 作 CEAB 于点 E, 点 D 为 x 轴正半轴的一动点, 且满足 OD2OC,连结 DE,以 DE、DA 为边作平行四边形 DEFA (1)当 m1 时,求 AE 的长; (2)当 0m3 时,若平行四边形 DEFA 为矩形,求 m 的值; (3)是否存在 m 的值,使得平行四边形 DEF
9、A 为菱形?若存在,直接写出 m 的值;若不存在,请说明理由 9 (1)在 RtAOB 中,OA4,OB3,所以 AB5 当 m1 时,在 RtBCE 中,BC2,所以36=cos255BE BCB 此时 AEABBE565195 (2)如图 1,作 EHy 轴,垂足为 H 当四边形 DEFA 为矩形时,四边形 ODEH 也是矩形,此时 HEOD2m 在 RtBCE 中,BC3m,所以3cos(3)5BEBCBm 在 RtBHE 中,4312sin(3)(3)5525HEBEBmm 由 HEOD,列方程12(3)225mm解得1831m 第 9 题图 1 第 9 题图 2 第 9 题图 3 (
10、3)如图 2,设平行四边形 EDAF 的对角线 DF 与 AE 交于点 G 当四边形 EDAF 为菱形时,DF 与 AE 互相垂直平分 因此45AGAD所以85AEAD 按照点 C 的位置,分两种情况讨论: 如图 2,当 C 在 OB 上时,OCm,OD2m, 所以3cos(3)5BEBCBm,AD42m 因此385(3)(42 )55mm解得1619m 如图 3,当 C 在 x 轴下方时,设 OCn,那么 OD2n, 所以3cos(3)5BEBCBn,AD42n 因此385(3)(42 )55nn解得1613n 此时1613m 10 (2014 年南京市江宁区中考模拟第 27 题) 如图,在
11、 RtABC 中,ACB90 ,AC4,BC3,P 是射线 AB 上的一个动点,以点 P 为圆心,PA 为半径的P 与射线 AC 的另一个交点为 D,直线 PD 交直线 BC 于点 E (1)若点 D 是 AC 的中点,则P 的半径为 ; (2)若 AP2,求 CE 的长; (3)当以 BE 为直径的圆和P 外切时,求P 的半径; (4)设线段 BE 的中点为 Q,射线 PQ 与P 相交于点 I,点 P 在运动的过程中,能否使点 D、C、 I、P 构成一个平行四边形?若能,请求出 AP 的长;若不能,请说明理由 10 (1)P 的半径为54 (2)如图 1,因为A12,A 与B 互余,2 与E
12、 互余, 所以BE因此 PBPE,PBE 是等腰三角形 在 RtABC 中,AC4,BC3,所以 AB5 当 AP2 时,PD2,PBPE3,所以 DE1 在 RtDCE 中,3cos5CEDEE 第 10 题图 1 第 10 题图 2 (3)如图 2,设 BE 的中点为 Q,那么 PQBE设 AP 的长为 x 对于P,Rx;对于Q,3(5)5rx;圆心距 dPQ4(5)5x 当P 与Q 外切时,由 dRr,得43(5)(5)55xxx解得56x (4)因为 PQ 是等腰三角形 PBE 底边上的中线,所以 PQBE因此 DC/PI 当 DCPI 时,四个点 D、C、 I、P 构成一个平行四边形
13、 设 APx,那么 IPx,而 DC 的长要分两种情况: 如图 3,当 P 在 AB 上时,DEFBAB2AP52x, 此时 DC4(52 )5x解方程4(52 )5xx,得2013x 如图 4,当 P 在 AB 的延长线上时,DEFB2APAB2x5, 此时 DC4(25)5x 解方程4(25)5xx,得203x 第 10 题图 3 第 10 题图 4 11如图,菱形 ABCD 的边长为 4,B60,E、H 分别是 AB、CD 的中点,E、G分别在 AD、BC 上,且 AECG (1)求证四边形 EFGH 是平行四边形; (2)当四边形 EFGH 是矩形时,求 AE 的长; (3)当四边形 EFGH 是菱形时,求 AE 的长 11 (1)由 AEFCGH,得 EFGH 由 BFGDHE,得 FGHE 所以四边形 EFGH 是平行四边形 (2)如图 1,当 E、G 分别是 AD、BC 的中点时,菱形 ABCD 的中点四边形 EFGH是矩形,此时 AE2 如图 2,当 E、G 分别与 A、C 重合时,ADH 和BCF 正好是直角三角形,此时四边形 EFGH 是矩形,AE0 (3)如图 3,如果四边形 EFGH 是菱形,那么 EG 与 FH 互相垂直平分 在 RtAOE 中,OAE60,AO2,此时 AE1 第 11 题图 1 第 11 题图 2 第 11 题图 3