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1、习题课1 误差分析基础,一、基本内容与学习要求,（一）掌握绝对误差、相对误差、有效数字、数据误差的影响以及设计算法时应注意的几个问题 。,二、典型例题分析,（二）初步了解计算方法研究的内容及其特点和简单的思想方法。,关于有效数字有以下几点说明：,1、用四舍五入法取准确值的前n位作为近似值，则x*必有n位有效数字；,2、有效数字位数相同的两个近似数，绝对误差限不一定相同；,3、将任何数乘以10m(m为整数)，等于移动该数的小数点，并不影响它的有效数字的位数；,4、准确值被认为具有无穷位有效数字.,1. 绝对误差 、相对误差 、有效数字,解：,例1.问3.142,3.141,22/7,分别作为 的
2、近似值,各具有几位有效数字?,解：,因为,所以,2. 数据误差的影响,例4 设x0，x的相对误差限为，求xn和lnx的相对误差限.,由条件知,由一元函数yf(x)的相对误差公式,解,例5 设计算球体积允许其相对误差限为1，问测量球半径的相对误差限最大为多少?,解 记球半径为R，球体积为V由题意知|er(V)|1,于是,因而,即测量球半径的相对误差限最大为0. 33,因而,易知当e(t) 固定时，e(s)随着t 的增加而增加，而er(s)随着t 的增加 而减少,例6 真空中自由落体运动距离s和时间t的关系是 。g是重力加速度现设g是准确的，而对t的测量有0.1秒的误差证明当 t 增 加时，距离的
3、绝对误差增加，而相对误差却减少,于是,例7 求二次方程x2-16x+1=0较小正根,要求有三位有效数字。,则具有三位有效数字.,改用,解:,例8 利用四位函数表计算 1-cos2,试用不同的方法并比较结果的误差。 cos2 0.9994, sin2 0.03490,1. 直接计算;,1.9994,0.034902,1-cos2 1- 0.9994=0.0006, 6.09210-4, 6.0910-4,1位有效数字,4位有效数字,3位有效数字,计算, 哪一个最好?,，,，,，,分析：衡量计算公式方法好坏，此时主要看结果误差限。 用函数的误差估计公式：,|e*(y)| | f (x*)|e*(x
4、)|, x*=1.4,|x-x*|0.02=，,解：,下列公式如何计算才比较准确:,(2),-,设y1nx当x=a(a0)时，如果已知对数1n a 的绝对误差限为 10-n，试估计真数a的相对误差限及有效数字位数 .,练习:,3. 设计算法与误差分析,在x2处的值p(2),例10 利用秦九韶算法计算多项式,解 将所给多项式的系数按降幂排列，缺项系数看成零,所以p(2)-9.,p(x)=( ( ( ( ( (x-2)x+0)x-3)x+4)x-1)x+6)x-1,注:计算模式: ax+b a,例11 已知递推公式,解:, 1.371610-4,27.9821371592664,解:,由,可得,此计算公式会使误差迅速传播,使用此公式会使误差迅速减小,；先估计y10:,由于0 1,所以 0.01536y100.01545. 取y10=0.0154计算:,y9=0.01692; y8=0.0188382222; ; y0=0.1823215568.,知,即,因而,由,记 ，递推可得,所以,(1),则由(1)知,
