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1、3 . 幂级数,一、函数项级数的概念,定义：,简称 (函数项) 级数。,称为数集 D (或区间 I )上的函数项无穷级数，,函数项级数可看成是一族常数项级数，从而可用数项级数的有关方法来研究函数项级数。,收敛点全体称为它的收敛域。,发散点全体称为它的发散域。,对于 中的每一点，不是收敛点就是发散点。,对收敛域内任意一点 x ，函数项级数为,一收敛的常数项级数， 有一确定的和 S,且与 x 有关。,收敛域上函数项级数的和就是 x 的函数，,记为 S(x) ,称为函数项级数的和函数，,其定义域就是,（注意，与一般项 un(x) 的定义域不同）,例1.,解：, 的收敛域为 (-1,1) 。,例2.,
2、解：,由例1 ,例3.,在 0, 1 的和函数。,解：,（非 un ）,1,un(x) 在 0, 1 上连续，,但 S(x) 在x = 1处间断，,S(x)的定义域小于级数的定义域 , 级数的收敛域一般小于或等于其定义域。,二. 幂级数及其收敛性,定义：,的级数称为幂级数。,其中常数 称为幂级数的系数,形如,显然，幂级数的定义域为,显然是幂级数的收敛点。,幂级数是函数项级数中最常见且简单的一种，,定理1 （阿贝尔定理）,其收敛域如何？,证明：,反证：,若有一点 x1 , 适合,并使 (*) 收敛, 则由 (1) 知,矛盾！,即幂级数的收敛点与发散点不可能互相混杂。,(1),收敛半径,记为 R
3、.,(2),在收敛与发散点之间的分界点:,上, 幂级数可能收敛也可能发散，,推论：( P. 209 ),也不是在整个数轴上都收敛，则必有一个完全确定的正数 R 存在，使得：,则 R = 0 ,收敛区间,收敛域。,若：,证明：,考察正项级数：,由比值法：,例题讨论,求解下列幂级数的 收敛半径，,解：,由定理 2：,收敛区间 与 收敛域。,例：,解：,(-5, 5),解：,( 用根值法 ),解一：,用比值法,解二:,解：,= R,解：,用比值法：,课外作业,习题 6 4,1（1 , 3, 5, 6, 7）,三. 幂级数的运算,1）加减法,1. 代数运算,2) 乘法,3) 除法,2 . 分析运算,性
4、质1. 幂级数的和函数 在 其收敛域内连续.,性质2. 幂级数的和函数 在 其收敛域内可导，且有逐项求导公式:,（ 反复用上述结论，可知 S(x) 在收敛域内有任意阶导数）,性质 3. 幂级数的和函数,在其收敛域内可积，且有逐项积分公式：,虽然收敛半径不变，但在端点 处的敛散性可能会改变。,求积后所得幂级数的收敛域不小于原级数的收敛域。,一般，求导后所得幂级数的收敛域不大于,原级数的收敛域。,例：,用逐项求导或逐项积分的方法，可求得,一些级数在收敛域内的和函数。,例题讨论,解：,不必先求收敛域，在求和函数的过程,求下列幂级数的收敛域与和函数：,中可求得收敛域。,先逐项求导：,先逐项积分：,可见，关键在于求导或积分后,所得的幂级数能写出和函数。,写出和函数时要注意：,0,1,- x,1,先求积消去 (2n-1),先求导，,？,x0,先求导后积分时要判别端点处的敛散性。,课外作业,习题 6 4,2（1，2，3，4 ）,
