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1、4. 函数单调性的判定法,一. 函数的单调性,直观定义：,当 f (x1) f (x2) , 则 f (x) 单调增加；,当 f (x1) f (x2) , 则 f (x) 单调减少。,现在用导数来研究函数的单调性。,0,x,y,0,x,y,(上升),（下降）,从几何上看, y = f (x) 在 a, b 上单增(或单减)，,其图形是一条沿 x 轴正向上升(或下降)的曲线。,上升的曲线每点处的切线斜率均为正，,下降的曲线每点处的切线斜率均为负，,a,b,a,b,定 理：, 函数单调性的判定法,此判定法的结论可推广到其他各种区间，包括无穷区间。,说明：,1.,2.,（这些点不组成一个区间）为
2、0 时定理仍成立。,但曲线仍单增，只在 x = 0 处有一条水平切线。,例1：,解：, y,解：,y,y, y 在(-,+)不单调。,有必要讨论函数在各个区间上的单调性。,例2：,解：,y,0,+,0,1,(-1,1), 1,x,y,+,不存在,0,x,解：,二. 函数单调性的一些应用,1. 证明一类不等式,例1：,证：,例2：,证：,2. 证明方程根的唯一性,例3：,有唯一的实根。,证：,先证明根的存在性：,由零点定理, f (x) = 0 在 (-1,0) 内至少有一根;,再证明根的唯一性：,则 f (x) 从负到正只穿过 x 轴一次，即 f (x) 至多有一根， f (x) 在 (-1,
3、0) 内只有唯一实根。,课外作业,习题 4 -3 （A）,1, 3（2, 4), 4, 5,2, 4(1, 3, 5), 6,习题 4-3 （B）, 5. 函数的极值及其求法,一. 极值的概念。,函数单调区间的分界点 x = -1, 1. 对在 x = - 1 附近的点 x，有 f (x) f (-1)= - 2 对在 x = 1 附近的点 x, 有 f (x) f (1) = 2,-2,2,定义：,若 f (x0) f (x), 则称 f (x0)为 f (x)的一个,极大值， x0 称为极大值点；,若 f (x0) f (x), 则称 f (x0)为 f (x)的一个,极小值， x0 称为
4、极小值点。,极大值(点)与极小值(点)统称极值(点)。,例2 中，f (-1) = -2 为极小值，x = -1为极小值点，,f (1) = 2 为极大值，x = 1 为极大值点。,说明：1.函数的极值概念是局部性的，相对的，是在极值点的某邻域内与其它点处的函数值相比较而得的。而函数的最值概念是整体性的，绝对的，是在函数的整个定义区间内与所有函数值相比较而得。所以极大（小）值不一定是最大（小）值。,2.在某一区间上函数可有许多极大值与极小值，且某些极大值可比极小值还要小。,由上图可知，函数取到极值处，曲线的切线都是水平的，但有水平切线的点不一定都是函数的极值点。,定理 1：（必要条件）,设 f
5、 (x)在 x0 处可导，且在 x0 处取得极值，则必有,二. 极值的求法.,可导函数的极值点必是驻点，,说明：,1.使导数 为 0 的点，称为 f (x) 的驻点。,2. 驻点与导数不存在的点是函数的极值点 的可疑点。,考察这些可疑点后求得函数的极值点。,但 驻点不一定是极值点。,定理 2. ( 第一充分条件 ),则 f (x) 在 x0 处取到 极大值；,则 f (x) 在 x0 处取到 极小值；,则 f (x) 在 x0 处 不取极值；,先直观地说明,x从左向右变动,x从左向右变动,x从左向右变动,证：,在 x0 的邻域内，f (x) 满足 L 定理，,(1),即 f (x0) 为极大值
6、。,(2) 同理可证明。,求函数极值点，极值的步骤：,极小,0 极大,y,+,0,不存在,+,0,x,例1：,解：,对一阶导数必须整理，才能找出驻点。,可利用驻点处二阶导数的符号判定极值，,有第二充分条件。,定理 3. ( 第二充分条件 ),f (x) 在 x0 处取到极大值；,f (x) 在 x0 处取到极小值。,则,（证略）,说明：,则本定理失效。用第一充分条件判定。,例2：,解：,不能判定，,只能利用第一充分条件判定。,0,1,+,(0,1),y,+,0,0,0,(-1,0),-1,x,-1,1,课外作业,习题 3-5（A）,1（单）,习题 3-5（B）,3，5,6 . 最大值、最小值问
7、题,函数取到最大值与最小值的几种情况：,(1) 函数 f (x) 在 a, b 单增时，,最大值 f (b),最小值 f (a);,(2) 函数 f (x) 在 a, b 单减时，,最小值 f (b),最大值 f (a),(3) f (x) 在 a, b 不单调时，,最大最小值只有在端点或极值点处才可能取到。,一、求函数的最大值与最小值,求函数最大值、最小值的步骤：,例题讨论,例1：,最大值与最小值。,解：,则 最小值 m = f (0) = 1 ,最大值 M = f (2) = 2 + 1 .,例2：,最大值与最小值。,解：,比较函数值的大小：,例4：,证明,证：,要证函数 f (x) =
8、3x - x3 有最值 2 。,分析：,例5 ：,证明不等式：,证：, 0 ?, 0 ?,当 x 0 ,= 0,当 x 0 ,= 0 ,得证。,二、最值的应用题,函数 f (x) 在 a, b 只有一个极值f (x0) ， 若f (x0)是极大值时，则f (x0)是最大值， 若f (x0)是极小值时，则f (x0)是最小值。,说明：,(2)实际问题中如果 f (x) 在定义区间内部 只有一个驻点x0时，可根据问题的性质， 断定f (x0)是最大值或最小值。 (驻点唯一性）,例1：,用 6 米长的条形木料做窗框( 如图 )，,( 榫头忽略不计 ),问 窗框的长、宽尺寸如何选择，可使 窗户的面积最
9、大？求此最大面积。,x,例2：,求证：从点A(5,0) 向抛物线,抛物线的法线。,上的点P(x,y)作最短线段AP，则AP是,解：,例3：,求数列,中最大的一个数。,解：,这些数可看成是函数,课外作业,习题 3-5 （A）,2(2), 5, 8, 10,习题3-5 （B）,8，10，13,7. 曲线的凹凸与拐点,同样单增的函数，有时弯曲的方向不一样。,凹,凸,x1,x2,弦上弧下，则曲线为 凹 ；,弦下弧上，则曲线为 凸 。,x1,x2,一、曲线的凹凸,x1,x2,P,Q,(I),(II),取弦的中点 Q,与曲线弧上的相应点 P,定义：,设 f (x) 在区间 I 上连续，对 I 上任意两点
10、x1, x2 , 恒有,则称 f (x) 在 I 上的图形是 凹的 (凹弧)。 如(I),x1,x2,P,Q,则称 f (x) 在 I 上的图形是 凸的 (凸弧)。 如(II),二、判定定理,定理：,设 f (x) 在 a, b 上连续，在 (a, b)内 具有一阶与二阶导数。若在 (a, b)内,则 f (x) 在a, b上的图形是凹的；,则 f (x) 在a, b上的图形是凸的。,证明见书P.148,说明：,定理仍成立。,例：,0,例题讨论,判别下列曲线的凹凸性：,1., y 处处 凸.,2., y 处处 凹.,3.,凸,凹,定义：,连续函数上凹弧与凸弧的分界点,称为这曲线的 拐点（或扭转
11、点）。,说明：,(1),拐点的可疑点：,(2),拐点在曲线上，而不在 x 轴上，,其坐标为 ( x0, y0 )。,三、拐点的判别定理,定理 1.,设具有二阶连续导数的曲线 y = f (x),在 x = x0 处有,当 x x0 时，,当 x x0 时，,则 ( x0, f (x) ) 是 y = f (x) 的拐点。,则 ( x0, f (x) ) 不是 y = f (x) 的拐点。,例题讨论,例1：,求下列函数的凹凸区间及拐点：,(1),( 正态分布曲线 ),解：,x,y,0,0,+,+,(2),解：,x,y,4,不存在,+,2,拐点: (4, 2) .,例2：,解：,例3：,利用函数图
12、形凹凸性证明不等式：,解：,故函数图形是凹的，,课外作业,习题 3-4(A),8（2, 4, 6), 11,习题 3-4(B),10,8. 函数图形的描绘,一、渐进线,如果曲线 C 上的点 M 沿曲线 C 离原点无限远离时，M 与某一直线 L 的距离越来越近，趋近于零，则称 L 为 C 的一条渐进线。,. M,. M,. M,L,k,则 y = k 为 f (x) 的水平渐进线.,x0,则 x = x0 为 f (x) 的垂直渐进线.,(斜渐进线不作要求),例：,解：,= 0 ，, y = 0 为水平渐进线；, ,0, x = 0 为垂直渐进线 。,k ,则 水平渐进线：y = k .,x0,
13、则 垂直 渐进线: x = x0 .,斜渐进线 L: y=ax+b,(斜渐进线不作要求),二、作图,一般步骤：,曲线方程 y = f (x),考察函数的 奇偶性（对称性）、周期性。,2.,1.,3.,4.,用上述点把定义域分成若干小区间，列表确定各小区间上函数的单调性、凹凸性及极值点、拐点等。,5.,求渐进线。,6.,求出一些特殊点（如交点）处的函数值。,7.,描点作图，绘成光滑曲线。,确定函数的定义域（找出间断点），,例题讨论,例1：,解：,(1),奇函数；,(图形关于原点对称),(2),(3),f (1)=1.,(4),x,y,0,1,(0, 1),0,0,0,1,+,+,0,(5),=
14、0 ,y = 0 为水平渐进线。, ,？,无垂直渐进线。,(6),y (0) = 0.,(7),.1,.2,.,1.,列表,.,对函数进行全面讨论并画图：,解,所以，曲线有渐近线 y =0，,因,+,+,+,+,0,因 y(x) = y(x)，,图形关于原点对称。,1,0,1,0 (拐点),间断点,间断点,+,及 x =1，x = 1,x = 0,例2,(1,0),(0,1),1,1,.,列表,曲线过点(0,0),1,2,(1, 2),0,0,+,x,y,y,+,驻点：x =1,x =2,例3 函数作图,极大值,(拐点),故 y = 0为水平渐近线,因,图形：,1,渐进线 ：y = 0,(0,
15、0),2,.,.,(x +),列表,.,.,对函数进行全面讨论并画图：,解,所以，曲线有渐近线 x =0,0 (拐点),+,+,因,（牛顿三叉戟线）,0,0,+,+,3 极小值,+,例4,0,.,间断点,3,牛顿三叉戟线,.,列表,.,解,故曲线有渐近线 y =x+ 和 y =x.,因,+,+,0,因 y(x) = y(x)，,图形关于原点对称。,1,0,1,0 (拐点),极大值,极小值,+,+,0,0,+,.,.,对函数进行全面讨论并画图:,y = x 2arctan x,x = 0,例5,1,1,y = x 2arctan x,.,对函数进行全面讨论并画图:,课外作业,习题 3-6(A),1（单）、2（双）,习题 3-6(B),1（3，5）、2（1，3）,
