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1、为了可以更加容易的理解卡尔曼滤波器，这里会应用形象的描述方法来讲解，而不 是像大多数参考书那样罗列一大堆的数学公式和数学符号。但是，他的5条公式是 其核心内容。结合现代的计算机，其实卡尔曼的程序相当的简单，只要你理解了他 的那5条公式。 在介绍他的5条公式之前，先让我们来根据下面的例子一步一步的探索。 假设我们要研究的对象是一个房间的温度。根据你的经验判断，这个房间的温度是 恒定的，也就是下一分钟的温度等于现在这一分钟的温度（假设我们用一分钟来做 时间单位）。假设你对你的经验不是100%的相信，可能会有上下偏差几度。我们 把这些偏差看成是高斯白噪声（WhiteGaussianNoise），也就
2、是这些偏差跟前后 时间是没有关系的而且符合高斯分配（GaussianDistribution）。另外，我们在房 间里放一个温度计，但是这个温度计也不准确的，测量值会比实际值偏差。我们也 把这些偏差看成是高斯白噪声。 好了，现在对于某一分钟我们有两个有关于该房间的温度值：你根据经验的预测值 （系统的预测值）和温度计的值（测量值）。下面我们要用这两个值结合他们各自 的噪声来估算出房间的实际温度值。 假如我们要估算k时刻的是实际温度值。首先你要根据k1时刻的温度值，来预测k时 刻的温度。因为你相信温度是恒定的，所以你会得到k时刻的温度预测值是跟k1时 刻一样的，假设是23度，同时该值的高斯噪声的偏差
3、是5度（5是这样得到的：如果 k1时刻估算出的最优温度值的偏差是3，你对自己预测的不确定度是4度，他们平 方相加再开方，就是5）。然后，你从温度计那里得到了k时刻的温度值，假设是25 度，同时该值的偏差是4度。 由于我们用于估算k时刻的实际温度有两个温度值，分别是23度和25度。究竟实际 温度是多少呢？相信自己还是相信温度计呢？究竟相信谁多一点，我们可以用他们 的covariance（协方差）来判断。因为Kg2=52/(52+42)，所以Kg=0.78，我们 可以估算出k时刻的实际温度值是：23+0.78*(2523)=24.56度。可以看出，因为温 度计的covariance比较小（比较相信
4、温度计），所以估算出的最优温度值偏向温度 计的值。 现在我们已经得到k时刻的最优温度值了，下一步就是要进入k+1时刻，进行新的最 优估算。到现在为止，好像还没看到什么自回归的东西出现。对了，在进入k+1时 刻之前，我们还要算出k时刻那个最优值（24.56度）的偏差。算法如下：(1 Kg)*52)0.5=2.35。这里的5就是上面的k时刻你预测的那个23度温度值的偏差，得 出的2.35就是进入k+1时刻以后k时刻估算出的最优温度值的偏差（对应于上面的 3）。 就是这样，卡尔曼滤波器就不断的把covariance递归，从而估算出最优的温度值。 他运行的很快，而且它只保留了上一时刻的covarian
5、ce。上面的Kg，就是卡尔曼增 益（KalmanGain）。他可以随不同的时刻而改变他自己的值，是不是很神奇！ 下面就要言归正传，讨论真正工程系统上的卡尔曼。 3卡尔曼滤波器算法 （TheKalmanFilterAlgorithm） 在这一部分，我们就来描述源于DrKalman的卡尔曼滤波器。下面的描述，会涉及 一些基本的概念知识，包括概率（Probability），随即变量（RandomVariable）， 高斯或正态分配（GaussianDistribution）还有StatespaceModel等等。但对于卡 尔曼滤波器的详细证明，这里不能一一描述。 首先，我们先要引入一个离散控制过程的
6、系统。该系统可用一个线性随机微分方程 （LinearStochasticDifferenceequation）来描述： X(k)=AX(k1)+BU(k)+W(k) 再加上系统的测量值： Z(k)=HX(k)+V(k) 上两式子中，X(k)是k时刻的系统状态，U(k)是k时刻对系统的控制量。A和B是系统 参数，对于多模型系统，他们为矩阵。Z(k)是k时刻的测量值，H是测量系统的参 数，对于多测量系统，H为矩阵。W(k)和V(k)分别表示过程和测量的噪声。他们被 假设成高斯白噪声(WhiteGaussianNoise)，他们的covariance分别是Q，R（这里 我们假设他们不随系统状态变化而
7、变化）。 对于满足上面的条件(线性随机微分系统，过程和测量都是高斯白噪声)，卡尔曼滤 波器是最优的信息处理器。下面我们来用他们结合他们的covariances来估算系统 的最优化输出（类似上一节那个温度的例子）。 首先我们要利用系统的过程模型，来预测下一状态的系统。假设现在的系统状态是 k，根据系统的模型，可以基于系统的上一状态而预测出现在状态： X(k|k1)=AX(k1|k1)+BU(k).(1) 式(1)中，X(k|k1)是利用上一状态预测的结果，X(k1|k1)是上一状态最优的结果， U(k)为现在状态的控制量，如果没有控制量，它可以为0。 到现在为止，我们的系统结果已经更新了，可是，
8、对应于X(k|k1)的covariance(协 方差)还没更新。我们用P表示covariance： P(k|k1)=AP(k1|k1)A+Q(2) 式(2)中，P(k|k1)是X(k|k1)对应的covariance，P(k1|k1)是X(k1|k1)对应的 covariance，A表示A的转置矩阵，Q是系统过程的covariance。式子1，2就是卡尔 曼滤波器5个公式当中的前两个，也就是对系统的预测。 现在我们有了现在状态的预测结果，然后我们再收集现在状态的测量值。结合预测 值和测量值，我们可以得到现在状态(k)的最优化估算值X(k|k)： X(k|k)=X(k|k1)+Kg(k)(Z(k
9、)HX(k|k1)(3) 其中Kg为卡尔曼增益(KalmanGain)： Kg(k)=P(k|k1)H/(HP(k|k1)H+R)(4) 到现在为止，我们已经得到了k状态下最优的估算值X(k|k)。但是为了要另卡尔曼滤 波器不断的运行下去直到系统过程结束，我们还要更新k状态下X(k|k)的 covariance： P(k|k)=（IKg(k)H）P(k|k1)(5) 其中I为1的矩阵，对于单模型单测量，I=1。当系统进入k+1状态时，P(k|k)就是式 子(2)的P(k1|k1)。这样，算法就可以自回归的运算下去。 卡尔曼滤波器的原理基本描述了，式子1，2，3，4和5就是他的5个基本公式。根
10、据这5个公式，可以很容易的实现计算机的程序。 下面，用Matlab程序举一个实际运行的例子。 4简单例子 （ASimpleExample） 这里我们结合第二第三节，举一个非常简单的例子来说明卡尔曼滤波器的工作过 程。所举的例子是进一步描述第二节的例子，而且还会配以程序模拟结果。 根据第二节的描述，把房间看成一个系统，然后对这个系统建模。当然，我们见的 模型不需要非常地精确。我们所知道的这个房间的温度是跟前一时刻的温度相同 的，所以A=1。没有控制量，所以U(k)=0。因此得出： X(k|k1)=X(k1|k1).(6) 式子（2）可以改成： P(k|k1)=P(k1|k1)+Q(7) 因为测量
11、的值是温度计的，跟温度直接对应，所以H=1。式子3，4，5可以改成以 下： X(k|k)=X(k|k1)+Kg(k)(Z(k)X(k|k1)(8) Kg(k)=P(k|k1)/(P(k|k1)+R)(9) P(k|k)=（1Kg(k)）P(k|k1)(10) 现在我们模拟一组测量值作为输入。假设房间的真实温度为25度，我模拟了200个 测量值，这些测量值的平均值为25度，但是加入了标准偏差为几度的高斯白噪声 （在图中为蓝线）。 为了令卡尔曼滤波器开始工作，我们需要告诉卡尔曼两个零时刻的初始值，是 X(0|0)和P(0|0)。他们的值不用太在意，随便给一个就可以了，因为随着卡尔曼的工 作，X会逐
12、渐的收敛。但是对于P，一般不要取0，因为这样可能会令卡尔曼完全相 信你给定的X(0|0)是系统最优的，从而使算法不能收敛。我选了X(0|0)=1度， P(0|0)=10。 该系统的真实温度为25度，图中用黑线表示。图中红线是卡尔曼滤波器输出的最优 化结果（该结果在算法中设置了Q=1e6，R=1e1）。 clear N=200 w(1)=0 w=randn(1,N) x(1)=0 a=1 fork=2:N x(k)=a*x(k1)+w(k1) end V=randn(1,N) q1=std(V) Rvv=q1.2 q2=std(x) Rxx=q2.2 q3=std(w) Rww=q3.2 c=0
13、.2 Y=c*x+V p(1)=0 s(1)=0 fort=2:N p1(t)=a.2*p(t1)+Rww b(t)=c*p1(t)/(c.2*p1(t)+Rvv) s(t)=a*s(t1)+b(t)*(Y(t)a*c*s(t1) p(t)=p1(t)c*b(t)*p1(t) end t=1:N plot(t,s,r,t,Y,g,t,x,b) 用matlab做的kalman滤波程序,已通过测试 还有下面一个Matlab源程序，显示效果更好。 clear clc N=300 CON=25%房间温度，假定温度是恒定的 %kalman filter% x=zeros(1,N) y=20.5*rand
14、n(1,N)+CON%加过程噪声的状态输出 x(1)=1 p=10 Q=cov(randn(1,N)%过程噪声协方差 R=cov(randn(1,N)%观测噪声协方差 fork=2:N x(k)=x(k1)%预估计k时刻状态变量的值 p=p+Q%对应于预估值的协方差 kg=p/(p+R)%kalmangain x(k)=x(k)+kg*(y(k)x(k) p=(1kg)*p end %Smoothness Filter% Filter_Wid=10 smooth_res=zeros(1,N) fori=Filter_Wid+1:N tempsum=0 forj=iFilter_Wid:i1 t
15、empsum=tempsum+y(j) end smooth_res(i)=tempsum/Filter_Wid end %figure(1) %hist(y) t=1:N figure(1) expValue=zeros(1,N) fori=1:N expValue(i)=CON end plot(t,expValue,r,t,x,g,t,y,b,t,smooth_res,k) legend(expected,estimate,measure,smoothresult) axis(0N2030) xlabel(Sampletime) ylabel(RoomTemperature) title(SmoothfilterVSkalmanfilter)
