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1、第20卷第1期大学数学Vol . 20,. 1 2004年2月COLL EGE MA THEMA T ICSFeb.2004 广义特征向量几种算法的比较 黄力民 (中国计量学院 数学系,杭州310034) 关于求一个矩阵Jordan标准型的变换矩阵问题须计算矩阵的广义特征向量,目前常见的矩阵理论 教材中有下述两种方法.下设A是nn阶矩阵,是A的某特征值,其代数重数为r,几何重数为s且 rs. 方法1由方程(A-I)x= 0解出A的特征向量p,由(A-I)x=p解出第一个广义特征向量q,这 里的p不能是任一特征向量而应是A的 特征子空间内使方程(A-I)x=p有解的那一个.设A的 特征子空间的基
2、是p1,p2,ps,当s 1时正确的说法是:通过选择系数k1,k2,ks由方程(A-I)x =k1p1+k2p2+ksps解出第一个广义特征向量q. 教材1, 2, 3, 4均采用本解法,解法在理论上严格成立,但显然实际的计算较繁.而且方程(A-I) x=p在有解时必定是无穷多解,选择哪一个作为q才能由方程(A-I)x=q解出第二个广义特征向量 呢?类似的问题将会一再地出现,除教材2外1, 3, 4也未就此作出说明. 教材5未提及方程(A-I)x=p可能无解的问题,该书所举例恰好也只限于s= 1的情形.教材 7考虑到方程(A-I)x=p可能无解的问题,但不是用上述待定ki的办法,而是要求p同时
3、满足 (A-I)x= 0与Bx= 0,这里矩阵B由方程B(A-I)x=O确定(顺便指出7p. 83例4的一处错误:在 解方程(A-I)x=p时得到的解集合不能是子空间 ), 这在实际计算方面与表达方式方面都使问题更加 复杂. 方法2由方程(A-I)x= 0解出A的特征向量p,由方程(A-I) 2x= 0 解出A的第一个广义特 征向量q等等,教材6采用此法.但本解法有可能发生错误的结果:虽然式(A-I) (A-I)q= 0表 明 ( A-I)q是A的特征向量 , ( A-I)q却不一定等于p,也就是关系式Aq=q+p可能不成立.例 如6第4章例 22( p. 135): A= 0004 100-
4、 4 010- 3 0014 ,= 2, 2, 1, - 1. 对于特征值2已得特征向量 1= (2, - 1, - 2, 1) T, 但在解(A- 2I) 2x= 0 时称 “可选 2= (- 1, 0, 1, 0) T” (6p. 137第4行)是不妥的,因为若取 2= (0, 1, 0, - 1) T 也是(A- 2I) 2x= 0 的解,却使A2= 22+1 不成立.此处应改为 “在(A- 2I) 2x= 0 的解中选取 2= (- 1, 0, 1, 0) T 以使等式A2= 22+1成立”. 鉴于以上两种解法均有缺陷,本文提出一种较好的解法: 仍设A是nn阶矩阵,是矩阵A的某特征值,
5、其代数重数为r、 几何重数为s且rs,对应的 Jordan块最大阶数是n1(可根据关系式rank(A-I) n1= rank (A-I) n1+ 1确定矩阵A 关于 的Jordan 块最大阶数n1 ), 则有rank(A-I) n1= n-r.矩阵A关于 的全部特征向量、 广义特征向量都属于方程 (A-I) n1x= 0 的解空间,因而它们也是该解空间的基. 收稿日期 2002209227 第一步求方程(A-I) n1x= 0 的解,记为p1=k1x1+k2x2+ksxs; 第二步依次计算 p2 = ( A-I)p1,p3 = ( A-I)p2,pn1 = ( A-I)pn1- 1.(1) 计
6、算中保持每个pi均表示为s个列向量的线性组合,即 pi=k1(A-I) i- 1x 1+k2(A-I) i- 1x 2+ks(A-I) i- 1x s. 以下称这s个列向量的组为对应于pi的向量组; 第三步非零的pn1是矩阵A属于 的特征向量,pn1- 1,p1是广义特征向量,其组数或n1阶 Jordan块的个数是对应于pn1的向量组的秩数,将对应于pn1的向量组中最大线性无关组之一向量的系 数取为1其余ki值均取0, (1)式便给出了对应于n1阶Jordan块的一组特征向量、 广义特征向量,其余 各组(若有的话)可类似获得; 第四步在pn1的表达式中取不全为零的ki使pn1= 0,在这组ki
7、值下计算pn1- 1,若pn1- 10,则 pn1- 1也是矩阵A属于 的特征向量,类似于第三步求出对应于(n1 - 1) 阶Jordan块的一组或几组特征 向量、 广义特征向量;若pn1- 1= 0但pn1- 20则应计算对应于(n1 - 2) 阶的Jordan块的特征向量、 广义 特征向量,依此类推.最后,使p2= 0的不全为零的ki值代入p1表达式得到对应于一阶Jordan块的(一 个或几个)特征向量. 例1 (6,p. 135例 22) A= 0004 100- 4 010- 3 0014 ,= 2, 2, 1, - 1. 解解方程(A- 2I) 2x= 0, 得 p1=k1(- 1,
8、 0, 1, 0) T+ k2(0, - 1, 0, 1) T. 计算 p2 = ( A- 2I ) k1(- 1, 0, 1, 0) T+ k2(0, - 1, 0, 1) T =k1(2, - 1, - 2, 1) T+ k2(4, - 2, - 4, 2) T, 取k1= 0,k2= 1,得特征向量p2= (4, - 2, - 4, 2) T 及广义特征向量p1= (0, - 1, 0, 1) T, 或者取k1= 1, k2= 0,得特征向量p2= (2, - 1, - 2, 1) T 及广义特征向量p1= (- 1, 0, 1, 0) T. 例2 (1,p. 15例119之(2)A=
9、31- 1 - 202 - 1- 13 ,= 2, 2, 2. 解由于(A- 2I) 2= O,取方程(A- 2I) 2x= 0 之解为 p1=k1(1, 0, 0) T+ k2(0, 1, 0) T+ k3(0, 0, 1) T, (2) 计算 p2 = ( A- 2I)p1=k1(1, - 2, - 1) T+ k2(1, - 2, - 1) T+ k3(- 1, 2, 1) T, 取k1= 1,k2=k3= 0,得特征向量p2= (1, - 2, - 1) T 及广义特征向量p1= (1, 0, 0) T; 任取满足(A- 2I)p1 = 0的2k1= 2k2=k3= 2,由(2)式得(
10、1, 1, 2) T 是另一特征向量. 例3A= 10270- 3 020000 0235- 2- 3 00- 1- 212 0- 1132- 1 01- 2- 715 ,= 2, 2, 2, 2, 2, 1. 解易得特征值2的Jordan块最大阶数为3,解方程(A- 2I) 3x= 0, 得 p1=k1(0, 1, 0, 0, 0, 0) T+ k2(1, 0, 1, 0, 0, 0) T+ k3(4, 0, 0, 1, 0, 0) T +k4(0, 0, 0, 0, 1, 0) T+ k5(- 2, 0, 0, 0, 0, 1) T, (3) p2 = ( A- 2I)p1 911第1期黄
11、力民:广义特征向量几种算法的比较 =k1(0, 0, 2, 0, - 1, 1) T+ k2(1, 0, 1, - 1, 1, - 2) T+ k3(3, 0, 5, - 4, 3, - 7) T +k4(0, 0, - 2, 1, 0, 1) T+ k5(- 1, 0, - 3, 2, - 1, 3) T, (4) p3 = ( A- 2I)p2 =k1(1, 0, 1, - 1, 1, - 2) T+ k2(0, 0, 0, 0, 0, 0) T+ k3(0, 0, 0, 0, 0, 0) T +k4(0, 0, 0, 0, 0, 0) T+ k5(0, 0, 0, 0, 0, 0) T.
12、 (5) 1) 取k1= 1,k2=k3=k4=k5= 0,从(5)式得特征向量(1, 0, 1, - 1, 1, - 2) T, 从(4), (3)式得广义特征 向量(0, 0, 2, 0, - 1, 1) T, (0, 1, 0, 0, 0, 0)T; 2) 在(5)式中取k1= 0,即有p3= 0且p20,由(4), (3)式确定2阶Jordan块对应的特征向量、 广义 特征向量.由于此时p2向量组的秩为2,其中(1, 0, 1, - 1, 1, - 2) T 已在前一步出现,因此取k2=k4=k5 = 0,k3= 1,从(4)式得特征向量(3, 0, 5, - 4, 3, - 7) T
13、, 从(3)式得广义特征向量(4, 0, 0, 1, 0, 0) T. 以上表明本文提出的方法的特点是:对于一个特征值只须解一个线性方程组(且是齐次的); (1)式 即给出了矩阵A关于 的全部特征向量及广义特征向量. 参考文献 1徐仲,等.矩阵论简明教程M .北京:科学出版社, 2001. 2戴华.矩阵论M .北京:科学出版社, 2001. 3吴雄华,等.矩阵论M .上海:同济大学出版社, 1994. 4史荣昌.矩阵分析M .北京:北京理工大学出版社, 1996. 5程荣鹏.矩阵论M .西安:西北工业大学出版社, 1999. 6陈大新.矩阵理论M .上海:上海交通大学出版社, 1997. 7黄有度,等.矩阵论及其应用M .合肥:中国科学技术大学出版社, 1995. 021大学数学第20卷
