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1、- 1 -第一章 概率论的基本概念1 设 为三个随机事件，用 的运算表示下列事件： CBA, CBA,(1)、 都发生； (2)、 发生 不发生； ,(3)、 都不发生； (4)、 中至少有一个发生而 不发生； ,(5)、 中至少有一个发生； CBA(6)、 中至多有一个发生；,(7)、 中至多有两个发生；(8)、 中恰有两个发生。 ,解：(1)、 ； ABC(2)、 或 ；(3)、 ；(4)、 或 ；)(CB(5)、 ；(6)、 或 ；ABABAC(7)、 或 ；(8)、 . C2 设 为三个随机事件 已知： ,， ， ， ， ， 。 3.0)(P8.0)(6.0)(CP2.0)(0)(P6
2、.0)(BC试求 ， ， 。 BABA解：； 9.8.3)()()( ； 102.06.68.3 )()()(ABPCPPP注 因为 ，所以 ，即 。 ACB0)()(AB0)(3 将一颗骰子投掷两次， 依次记录所得点数， 试求： (1)、两次点数相同的概率； (2)、两次点数之差的绝对值为 1的概率； (3)、两次点数的乘积小于等于 12的概率。 解：(1)、用 表示“两次投掷点数相同” ， 则： A(1 1) (2 2) (3 3) (4 4) (5 5) (6 6)。因为样本空间的样本点数为 36， 的样本点数为 6， 所以A- 2 -。 613)(AP(2)、用 表示“两次点数之差的绝
3、对值为 1” 则：B(1 2) (2 1) (2 3) (3 2) (3 4)(4 3) (4 5) (5 4) (5 6) (6 5)。 因为样本空间的样本点数为 36 的样本点数为 10 所以B。 185360)(P(3)、用 表示“两次点数的乘积小于等于 12” 则：C(1 1) (1 2) (1 3) (1 4) (1 5) (1 6)(2 1) (2 2) (2 3) (2 4)(2 5) (2 6) (3 1) (3 2)(3 3) (3 4) (4 1) (4 2) (4 3)(5 1) (5 2) (6 1) (6 2)。 因为样本空间的样本点数为 36 的样本点数为 23 所
4、以C362)(P4 设一袋中有编号为 1 2 3 9的球共 9只 某人从中任取 3只球 试求： (1)、取到 1号球的概率； (2)、最小号码为 5的概率； (3)、所取 3只球的号码从小到大排序，中间号码恰为 5的概率； (4)、2 号球或 3号球中至少有一只没有取到的概率。 解：(1)、用 表示 “取到 1号球” 则：A3928)(P(2)、用 表示“最小号码为 5”, 因为 发生表示其中一球的号码为 5 其它两个球BB的号码为 6 7 8 9。 因此1432)(P(3)、用 表示“所取号码从小到大排序，中间号码恰为 5”。 因为 发生表示其中一C C只球的号码为 5 其它两个球的号码分别
5、为 1 2 3 4和 6 7 8 9，因此21439)(P(4)、用 表示“2 号球没有取到” ， 表示“3 号球没有取到” ， 则 2号球或 3号球中DE至少有一只没有取到可表示为 ， 于是D- 3 -)()()( DEPEDP1239785 已知 ， ， ，试求：3.0)(A4.0)(B2.0)(A(1) ； (2) ； (3) ； (4) 。 | | )|B)|(BAP解：(1)、 ； 32.0)(|(P(2)、 ； 14|BA(3)、 ； 54)()()|( ABP(4)、 |PP。 532.0.1)()(1 A6 设有甲、乙、丙三个小朋友 甲得病的概率是 005 在甲得病的条件下乙得
6、病的概率是 040 在甲、乙两人均得病的条件下丙得病的条件概率是 080 试求甲、乙、丙三人均得病的概率。 解：用 表示“甲得病” 表示“乙得病” 表示“丙得病” 则：ABC， ， 0.80，05.)(AP40.)|(A)|(ABP所求概率为：。016.8.5| C7 设某人按如下原则决定某日的活动： 如该天下雨则以 02的概率外出购物，以 08的概率去探访朋友； 如该天不下雨，则以 09的概率外出购物，以 01的概率去探访朋友。设某地下雨的概率是 03。试求： (1) 那天他外出购物的概率； (2) 若已知他那天外出购物，则那天下雨的概率。 解：用 表示“该天下雨” 用 表示“外出购物” 则
7、：AB， ， ， , 。2.0)|(BP8.0)|(AP9.0)|(AP1.0)|(ABP3.)(1)、所求概率为：69.7.23.)|()|( (2)、所求概率为： )|()|(|)(|( ABPAPBAP 29.07.308 设在某一男、女人数相等的从群中 已知 5%的男人和 025%的女人患有色盲 今从该人群中随机地选择一人 试问 - 4 -(1) 该人患有色盲的概率是多少？(2) 若已知该人患有色盲 那么他是男性的概率是多少？解：用 表示“选到男” ，用 表示“所选的人是色盲” ，则AB， ， 21)(P105)|(A1025.)|(AP(1)、所求概率为：0265.1.2)|()|(
8、)( B(2)、所求概率为：)|()|(|)(|( APAPBAP10529 设 、 是相互独立的随机事件， ， 。试求： 5.0a8.B(1) ；(2) ；(3) ； (4) 。 )()()()(|解：(1)、 ； 4.085.ABP(2)、 ；9.048.50)()()( ABP(3)、 ； 14.(4)、 9.)(|10 甲、乙、丙三门大炮对某敌机进行独立射击 设每门炮的命中率依次为07、08、09，若敌机被命中两弹或两弹以上则被击落。设三门炮同时射击一次，试求敌机被击落的概率。解：用 表示“甲命中” ， 表示“乙命中” ， 表示“乙命中” ， 表示“敌机被击落” 。ABCD则：， ，
9、。7.0)(AP8.0)(9.0)(P所求概率为：()CDP)()()() ABB= 。 902.8.079.803.92.071.807. - 5 -第二章 随机变量及其分布1 甲、乙、丙 3人进行独立射击 每人的命中率依次为 03、04、06，设每人射击一次，试求 3人命中总数之概率分布律。 解：用 表示 3人命中总数，则 的取值为 0，1，2，3。 XX用 表示 “甲命中” ， 表示 “乙命中” ， 表示 “命中” 。则： ABCP(X0)P( 0706040168 )CP(X1)P(ABC)P(ABC)P(ABC)0306040704040306060436 ,324.4.7. )2B
10、. 2)()(X0 1 2 3 kp0168 0436 0324 00722 设对某批产品的验收敛方案为 从该批产品中随机地抽查 5件产品 若次品数小于等于 1 则该批产品通过验收敛 否则不予通过 若某批产品的次品率为 005 试求该批产品通过验收敛的概率 解：用 表示 5件产品中的次品数，则 。于该批产品通过验收敛的概率为：X05.,bX)1()0()1(PXP415)9.(.9. 09774. 3 某份试卷有 10道选择题，每题共有 A B C D四个答案供选择， 其中只有一个答案是正确的。设某人对每道题均随机地选择答案，试求该生 10道题中恰好答对 6道题的概率是多少？解：用 表示 10
11、道题中答对的题目数 则 。于是该生 10道题中恰好答对 6X )41 ,0(bX道题的概率是：466)3()(410)( XP4 设随机变量 具有分布函数：- 6 -10)(3xxF试求： ， ， ， .)3(XP21(2XP)32|(X解：， 0F，8)()21(3，2169)3(13XP)()( ,2)|21( XPXP)32(1F.6437)2(135 设随机变量 具有概率密度X其 它 。,0,1)1)(2xAxf(1)、求常数 ，A(2)、求 的分布函数，(3)、求 的取值落在区间 内的概率。 X21,3解：(1)、由于 因此得 .4)()(10Adxdxf 4(2)、当 时， ；0x
12、F当 时， ；20)1()(x当 时， .1x综合以上即得分布函数 .1,1,0,)(42xxF(3)、 的取值落在区间 内的概率为：X1 ,3. 2965)32()()2()13( 44xP6 设随机变量 ，求 ， ， ， 以及4,5N5XPX)7(XP)1(P常数 的范围，使 .C90)(C解：- 7 -； 21)0(1)25()(1)5( XP363 )().().0(0.691510.84130.5328； 2537)3(XP ；682.01843.1)(1)( XP)25(3)11 (0.9772-0.9987+10.9785；，1)2()25()|5(| CXCPXP要使 ，只需
13、，即 查表得 ，9.09.095.0)2(58.2C故 .16C7 设某批鸡蛋每只的重量 (以克计)服从正态分布， . X,NX(1)、求从该批鸡蛋中任取一只 其重量不足 45克的概率； (2)、从该批鸡蛋中任取一只 其重量介于 40克到 60克之间的概率； (3)、若从该批鸡蛋中任取五只 试求恰有 2只鸡蛋不足 45克的概率； (4)、从该批鸡蛋中任取一只其重量超过 60克的概率； (5)、求最小的 ，使从中任选 只鸡蛋，其中至少有一只鸡蛋的重量超过 60克的概率nn大于 099.解：(1)、 ； 1587.043.1)()1(504()( XP(2)、 )2()(2504640 20.97
14、7210.9544；(3)、设 为 5只鸡蛋中重量不足 45克的鸡蛋数，则 ，故所求概率为：Y 1587.0,bY；32)41.0(87.()(YP(4)、 ； 2.9.(5601)60( XX(5)、设 表示 只鸡蛋中重量大于 60克的鸡蛋数，则 . Zn )08,(nbZ因为，nYP)92.(1)()(- 8 -所以要使 ，只需9.0)1(YP，.72n即 ，.9.0n解得 . 90l8.设随机变量 具有概率分布律：X3 2 1 0 1 2 3 4 5kp0.08 0.02 0.03 0.17 0.15 0.05 0.20 0.16 0.14试求 的概率分布律。2Y解:的取值为 0，1，2，3，4，5，其概率分布律为，7.)()(XP，18.05.30)1(，72Y，.)()(，6.4. 105XP即 Y0 1 2 3 4 5kp0.17 0.18 0.07 0.28
